球体体积计算器
结果
体积
球体体积计算器拿到一个球的一项尺寸——半径、直径或周长——回给你这个球占多大空间，单位是立方厘米。它是隔壁球体页剥掉其余一切之后的样子。那一页同样的三格输入、一次回答五个问题；这一页只回答大多数人真正带着来的那一个：一个球能装多少、排开多少、用了多少料。球体积公式是三分之四乘 π 再乘半径的三次方，而这个形状值得看两眼。这一组立体里几乎每一条体积公式都是底面积乘高，因为它们几乎都能被切成一层层薄片摞起来。球不行。它的每一层大小都不一样，中间那些层最宽、靠近两极的那些小得可怜，把它们加起来正是微积分被发明出来要干的事。三分之四就是这个和算出来的结果，而记住它最舒服的方式是：球恰好等于「刚好套住它的那个圆柱」的三分之二。阿基米德算出了这个结果，并且看重到要求把球与圆柱刻在自己墓碑上。另一件值得知道的事是这个数涨得有多快。体积随半径的三次方走，所以球大一号，体积翻八倍；大两号，翻二十七倍。这就是为什么直径上一点小小的变化会让罐子的容量大变，也是为什么这一页的答案能又快又大地跑出日常单位之外。
从三个方向分别填进去的球，各自占多大空间
| 填的是 | 半径（厘米） | 直径（厘米） | 体积（立方厘米） |
|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 523.5988 |
| d | 6 | 12 | 904.7787 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 135.0949 |
| r | 10 | 20 | 4188.7902 |
| r | 1 | 2 | 4.1888 |
| r | 0.5 | 1 | 0.5236 |
| r | 0 | 0 | 0 |
| d | 50 | 100 | 523598.7756 |
八个球、四列，比隔壁球体页窄两列——那一页同样的三格输入，还要把表面积与周长一并印出来。第一列说明填的是哪个框，没有这一列这张表就读不通，因为每一行都把半径与直径印了出来。第一行是页面打开时的默认输入，第四行是值得与它对照的一行：半径 5 对半径 10，半径翻了一倍，体积从 523.5988 走到 4188.7902——八倍，三次方律一步就能看见。第三行是打算自己动手算的人最该读的一行：按周长 20 填，体积是 135.0949，而拿旁边印着的半径 3.1831 去立方会得到 135.0950。第五行是单位球，体积 4π/3，而球体页给同一个球的表面积是 4π——数值上正好是它的三分之一。第七行半径是零，球什么都装不下，那个答案是真实的而不是缺失的。最后一行直径 100，体积五百多万立方厘米——半个立方米的球，也是这个量跑出日常单位有多快的提醒。表中每个数都是页面构建时按各自填进去的那一项现算的，单位是厘米，四位小数与结果面板用的是同一个宽度。
公式
V ＝ 4⁄3 × πr³ r ＝ d ÷ 2 r ＝ C ÷ 2π
- 半径
- 圆心到球面的距离，单位是厘米。体积真正是由它算出来的那一个数——另外两个框只是走到它的不同路径
- 直径
- 穿过球心的一条直线段的长度，单位是厘米，页面把它对半折成半径。球就在手边、拿尺子横过去量最省事的时候，填的就是它
- 周长
- 绕着最粗那一圈走一圈的长度，单位是厘米，页面把它除以 2π 得到半径。只够得到外面、围得起来却跨不过去的时候用它
- 体积
- 球占多大空间，单位是立方厘米。它是这一页唯一的输出，也是这里唯一随尺寸的三次方走的量，而不是随尺寸本身
- 4⁄3 πr³
- 公式，其中三分之四才是那个有含义的部分。它让球恰好等于「刚好套住它的圆柱」的三分之二，这是球本身的性质，不是算式的癖好
- r³
- 半径的立方，也是这一页能从平淡的输入里报出大数的原因。半径翻倍，体积翻八倍；球是一颗弹珠还是一颗行星，规律都一样
- 四位小数
- 读数印多宽。体积永远拖着 π 和一个三次方，所以除非半径是零，它从不精确——这四位是显示宽度而不是精度声明
这一页给容量、排开与用料三件事用，而这三件事合起来基本覆盖了人们对一个球想要的全部。容量：球形罐、气柜、水塔能装多少，一个足球里有多少空气，一勺冰淇淋有多少。排开：一个浮球或船体推开多少水，那与它的体积是同一件事，决定了它浮不浮得起来、能载多少。用料：一颗滚珠轴承里有多少钢，一个穹顶的填充要多少混凝土，一团面团或陶土在知道密度之后有多重。它也是许多只是「差不多是个球」的东西的形状，而这个近似通常够用——鸡蛋、液滴、冰雹、赤道微微鼓起的行星。还有一种反过来的用法：给定一个容器必须装下的体积，这一页告诉你那个球得有多大，因为两者之间只隔着一个开三次方。
算例
半径 5 的球
- 把半径立方：5³ ＝ 125
- 乘 π 再乘三分之四：(4 ÷ 3) × π × 125 ＝ 500π ÷ 3
- 500π ÷ 3 ＝ 523.5987…，舍入到 523.5988
页面打开时的默认输入，也是拿来对公式的那一行：体积是 500π/3，整个数是一个干干净净的 π 的倍数。五厘米比网球略小，答案五百多毫升略多一点，是个值得有手感的分量——食谱和小容器经手的正是这个量级。
直径 12 的球
- 半径：12 ÷ 2 ＝ 6
- 把半径立方：6³ ＝ 216
- 乘 π 再乘三分之四：(4 ÷ 3) × π × 216 ＝ 288π
- 288π ＝ 904.7786…，舍入到 904.7787
球就在手里时该填的一格：直径是尺子横过中间量到的那个数，也是绝大多数球的标称方式。答案又是 π 的整倍数 288π，半径是整数时就会这样。与上一行比一比：半径从 5 涨到 6，只多了五分之一，体积却从 523.5988 涨到 904.7787，多了三分之二还多。
绕着赤道量出来的球
- 半径：20 ÷ (2π) ＝ 3.1830988…
- 把半径立方：3.1830988…³ ＝ 32.2519…
- 乘 π 再乘三分之四：(4 ÷ 3) × π × 32.2519… ＝ 4000 ÷ 3π²
- 4000 ÷ 3π² ＝ 135.0948…，舍入到 135.0949
如果你打算自己动手算一遍，这一行最该读，因为它正是「提前舍入会咬人」的那一行。球体页把这一格的半径印成 3.1831，看着挺精确，其实已经舍过了——拿它去立方再乘出来，得到的是 135.0950。页面报 135.0949，而页面是对的，因为真答案属于你填进去的那个 20，不属于屏幕上那个舍过的半径。两者只差最后一位，而这正是能躲过一切粗略检查的那类错误。
半径 1 的球
- 把半径立方：1³ ＝ 1
- 乘 π 再乘三分之四：(4 ÷ 3) × π × 1 ＝ 4π ÷ 3
- 4π ÷ 3 ＝ 4.18879…，舍入到 4.1888
单位球，也是看清三分之四到底是什么的一行：体积是 4π/3，而球体页给同一个球印的表面积是 4π。体积在数值上正好是表面积的三分之一——这是半径恰好为 1 的巧合、不是通例，但这一对数好记，也让两条公式不容易混。
半径为零的球
- 把半径立方：0³ ＝ 0
- 乘 π 再乘三分之四：(4 ÷ 3) × π × 0 ＝ 0
没有大小的球是一个点，什么都装不下。零是合法输入而不是空框，所以这是一个真实的答案——页面把它与「三个框全空着」区分开来，后者什么都不显示，因为没有东西可以拿来算。
局限
这一页只算球：球面上每一点到球心的距离都相同。鸡蛋、橄榄球、赤道微微鼓起的行星都不是，半球也不是——那是球被切开，体积恰好是这里算出来的二分之一，而它的表面积不是一半。体积填不进去，所以「按能装多少来标称的球」得先在别处换回半径。读数一律是立方厘米，跟下拉框无关，所以按英寸填进去的直径会拿回一个厘米的答案，要自己换——而且这是体积，换算是个三次方：立方英寸换立方厘米要乘约 16.4，不是 2.54。四位小数是显示宽度而不是精度声明，因为体积永远拖着 π 和一个三次方。三个框里只能填一个，填两个会被拒绝而不是悄悄取一个。这里也处理不了空心球的壁厚、球是什么材料做的，以及它有多重；这一页也不给表面积——隔壁球体页对同样的三格输入会把表面积连同体积一起印出来。
常见问题
- 这一页与球体计算器有什么区别？
- 输入一模一样——同样三格、同样只填一个。区别在回来的东西。球体页印五个读数：体积、表面积，以及那三个长度。这一页只印体积，别的什么都不印，因为那通常就是人们来这儿想要的那一个，把其余的剥掉之后它就独占整个屏幕。
- 为什么体积比直径涨得快那么多？
- 因为体积随半径的三次方走，而直径只随半径本身走。球的直径翻倍，体积涨八倍；直径涨到三倍，体积涨二十七倍。这就是为什么罐子尺寸上一点变化会让容量大变，也是为什么这一页能从一个看着不大的输入报出一个很大的答案。
- 那个三分之四是怎么来的？
- 它让球恰好等于「刚好套住它的圆柱」的三分之二——同样半径，高度是半径的两倍。阿基米德证明了这一点，并且看重到要求把球与圆柱刻在自己墓碑上。它也是公式里为什么会有分数的原因：球不是一层层平片摞出来的，把它那些弯曲的层加起来，算出来的就是三分之四。
- 我自己算出来是 135.0950，页面却说 135.0949，哪个对？
- 页面。那个球的半径是 10/π，也就是 3.1830988…，而屏幕上印的半径舍成了 3.1831。拿这个舍过的数去立方，得到的才是 135.0950——差别只在最后一位，完全来自提前舍入。真答案属于你填进去的那个数，页面内部一直保留着精确半径，直到最后一步才舍。
- 能从体积反推出半径吗？
- 这一页不能——体积是输出不是输入。反推本身完全做得到，半径等于「三倍体积除以四 π」开三次方，但那是另一道运算，页面不替你做。要是你知道一个容器必须装多少、想知道那个球得多大，那是另一件要单独算的事。
- 答案应该是立方厘米还是升？
- 页面印的是立方厘米，而一千立方厘米是一升——所以 523.5988 立方厘米大约是 0.524 升，一毫升与一立方厘米是一回事。球大起来这个数涨得很快：直径一米的球能装半个多立方米，也就是五百多升。下拉框改的是你填进去的那个数的单位，不是输出的单位。
参考资料
- Sphere — 球本身；本页算的体积公式在这一条里，也包括它与外接圆柱之间那个三分之二的关系 — Wolfram MathWorld（美国）
- Volume — 体积这个量在一般意义上的定义，以及曲面立体的体积是怎么定义的——正是球上摞不出平薄片的那一部分 — Wolfram MathWorld（美国）
- Cylinder — 球刚好装得进去的那个立体，球恰好占它体积的三分之二，也是与球最便于对照的形状 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；球的体积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部