圆锥体积计算器

V ＝ πr²h ÷ 3 l ＝ √(r² ＋ h²) 侧面积 ＝ πrl 表面积 ＝ πr(l ＋ r)

r

底面圆的半径，按厘米读。必填，且允许为 0：半径为零的圆锥是一段立在点上的竖直线段

h

从底面圆心垂直向上到顶点的高，按厘米读。必填，它不是母线——除开高为零那个退化情形，这两个数在任何圆锥上都不相等

l

母线，从顶点沿侧面到底边圆周的距离。它是半径、高与侧面围成那个三角形的斜边，所以永远比另外两个都长。它也是四个输出里唯一经常是精确值的，因为整数半径加整数高可以给出整数母线

V

体积，单位立方厘米，等于底面积乘高除以三。那个三分之一正是这一页与圆柱那一页的全部差别——同一条式子在那边没有除数

侧面积

只算曲面，等于 π 乘半径再乘母线，不含底面。注意它用的是母线而不是高，这是这个形状上最常见的代错

表面积

曲面加底面圆，化简之后是 π 乘半径再乘「母线加半径」。它由半径与母线一步算出，而不是把两块面积分别舍过之后相加，所以它不总等于屏幕上的侧面积加 πr²

两位小数

每个输出的显示宽度。体积与两块面积对几乎每一个输入都是无理数；母线上只要半径与高构成勾股数就是精确的，这也是页面默认那一组印出来带尾零的原因

已知半径和高、要算体积与用料，就是这一页；而圆锥体积公式里那个三分之一，也正是它与圆柱之间唯一的差别。最直接的用法是手上就有一个圆锥、需要关于它的某个数。一堆圆锥形的砂石或粮食，底面宽度与高度量得到，而母线埋在料里面；一个圆锥形屋顶或塔尖，要盖的是那块斜面，而报价正是按母线算的；漏斗、料斗、纸杯、派对帽——体积告诉你它装多少，侧面积告诉你做它要多少材料，这是两个不同的问题，在同一个页面上有各自不同的答案。页面回答的第三个问题是对比。在容器与仓储上，圆锥与圆柱之间怎么选是一个真实的决定，而这个比较永远是同一个三倍：同底同高的圆柱装的恰好是三倍，所以同样占地的一只圆锥形料斗装的是圆柱形料斗的三分之一。两个习惯值得带走。母线是侧面那个三角形三条边里最长的一条，所以母线算出来比高还短，说明两个格子填反了——母线是你在外面量得到的那一条，它不可能是小的那个。还有：侧面积永远小于总表面积，因为总的是侧面积加底面，所以总数比侧面积还小，说明某处做的是减法而不是加法。

1. 半径三、高四

   1. 母线：√(3² ＋ 4²) ＝ √25 ＝ 5
   2. 体积：π × 3² × 4 ÷ 3 ＝ π × 36 ÷ 3 ＝ 12π ＝ 37.6991…，舍到两位是 37.70
   3. 侧面积：π × 3 × 5 ＝ 15π ＝ 47.1239…，舍到两位是 47.12
   4. 表面积：π × 3 × (5 ＋ 3) ＝ 24π ＝ 75.3982…，舍到两位是 75.40

   表单的默认值，也是这五组里唯一每一步都能心算的一组：三与四给出正好为五的斜边，所以母线是整数，两块面积都是 π 的整数倍。留意体积那一步的算术——底面积是 9π，它的三分之一乘四等于 12π，这就是答案略小于三十八而不是略大于一百的原因。这个尺度的圆锥大约装三十八毫升，知道这件事在你看到一个差了三倍的结果时很有用。

2. 半径五、高十二

   1. 母线：√(25 ＋ 144) ＝ √169 ＝ 13
   2. 体积：π × 25 × 12 ÷ 3 ＝ 100π ＝ 314.1592…，舍到两位是 314.16
   3. 侧面积：π × 5 × 13 ＝ 65π ＝ 204.2035…，舍到两位是 204.20
   4. 表面积：π × 5 × (13 ＋ 5) ＝ 90π ＝ 282.7433…，舍到两位是 282.74

   另一组众所周知的整数勾股数，而且比默认那一组更高更瘦。留意体积离一个整数有多近：一百个 π 是 314.16，所以半径五、高十二的圆锥几乎正好装一升。用厘米计算时这种巧合值得当作核对手段——一百 π 立方厘米就是一百个一厘米小方块的体积再乘 π，屏幕上的数应当略大于三百。

3. 半径六、高八：两个答案撞在一起

   1. 母线：√(36 ＋ 64) ＝ √100 ＝ 10
   2. 体积：π × 36 × 8 ÷ 3 ＝ 96π ＝ 301.5928…，舍到两位是 301.59
   3. 侧面积：π × 6 × 10 ＝ 60π ＝ 188.4955…，舍到两位是 188.50
   4. 表面积：π × 6 × (10 ＋ 6) ＝ 96π ＝ 301.5928…，舍到两位是 301.59

   下面那张表里会被当成错误报上来的一行。体积与总表面积是同一个数 301.59，而那是算术的结果，不是印重了一列：体积算出来是 96π，总表面积也算出来是 96π，因为母线为十时，πr(l ＋ r) 就是 π × 6 × 16，与体积那一步是同一个九十六 π。两者不是同一种量——一个是立方厘米、一个是平方厘米——所以这个巧合只在数字上，别处没有。它之所以发生，是因为这个圆锥的母线等于八、而半径与高构成一组勾股数；它不是一条规律，相邻那些行并不共享它。

4. 半径与高相等

   1. 母线：√(100 ＋ 100) ＝ √200 ＝ 14.1421…，舍到两位是 14.14
   2. 体积：π × 100 × 10 ÷ 3 ＝ 1000π ÷ 3 ＝ 1047.1975…，舍到两位是 1047.20
   3. 侧面积：π × 10 × 14.14214 ＝ 444.2883…，舍到两位是 444.29
   4. 表面积：π × 10 × (14.14214 ＋ 10) ＝ 758.4479…，舍到两位是 758.45

   高与底面半径一样长的圆锥，侧面那个三角形于是成了等腰直角三角形，母线正好是半径的 √2 倍。那个方根是无理数，所以这一组才是常态：母线写不完，两块面积跟着它写不完。它也是体积公式最好读的一组——一千个 π 除以三——而漏掉那个三分之一的人会落在 3141.59 上，正好大了三倍。三倍这个系数是本页最常见的错误。

5. 高为零

   1. 母线：√(16 ＋ 0) ＝ 4，也就是半径，因为顶点根本没有被拎起来
   2. 体积：π × 16 × 0 ÷ 3 ＝ 0，没有高就撑不出任何体积
   3. 侧面积：π × 4 × 4 ＝ 16π ＝ 50.2655…，舍到两位是 50.27
   4. 表面积：π × 4 × (4 ＋ 4) ＝ 32π ＝ 100.5310…，舍到两位是 100.53

   一个合法输入，却给出一行令人意外答案：体积是零，另外三个不是。高为零的圆锥是一张平放的圆片——底面之上什么也没有，所以它装不下东西；可它的曲面并没有消失，只是摊平成了与底面同样大小的第二张圆片，两个面的总面积因此是一张圆片的两倍。这一档值得见一次，因为「体积为零而旁边三个都不是零」看起来像算了一半就失败了，其实不是。它也是能抓住上面那条算术捷径的输入：这里的总表面积是 πr² ＋ πr²，正好是侧面积的两倍，而一个「把两块面积分别舍过再相加」的页面在这一行会得到同一个数、在第一行却会得到不同的数。

所有输出都以厘米、平方厘米与立方厘米报出，不管两个输入下拉框设在哪一档。选英寸改变的是你的数读进来的方式，不改变结果，所以按四英寸乘六英寸填进去的圆锥，回来的是以立方厘米为单位的体积。这是有意的，参考表也遵循同一套约定，但你要是想在原来那个单位上读答案，换算得自己做。体积以立方厘米报出，不是升也不是毫升——那是同一个量纲下的另一个单位；要升就除以一千，要毫升则立方厘米的数值就是毫升数。四个答案里有三个含 π，对几乎每一个输入都是无理数，所以两位小数是切断而不是完整的答案。四个答案由你填进去的半径与高直接算出、从不互相推，所以总表面积不总等于屏幕上的侧面积加屏幕上的底面积——它是同一条式子在一步里求值，拿印出来的侧面积去复原可能在末位差一。本页收两个测量、给四个答案；它不做从体积反推半径，也没有母线那一格，所以一个你量得到母线、而高埋在料里的圆锥，没法原样填进来。高是垂直高而不是母线，而页面分辨不出这两个被填混了——把母线填进高那一格，四个答案会内部自洽地全错。两个输入至少要有一个非零才谈得上有意义的答案，不过两个都填零也行，那时你得到的是算术而不是形状。最后，这是一个顶点正对底面圆心的直圆锥；歪向一边的圆锥、或者底面是椭圆的锥体，是不同的立体，这里的公式不适用于它们。

体积为什么要除以三？

因为圆锥装的恰好是同底同高圆柱的三分之一。底面积乘高得到的是那个圆柱的体积，圆锥就是它的三分之一。棱锥与套住它的棱柱之间也是同一条关系，而这是整个计算里最常被忘掉的一个系数——一个大了三倍的结果，几乎总是漏了除以三，而不是算错了数。

高和母线是一回事吗？

不是，而这正是这个形状最容易招来的错误。高是从底面圆心垂直向上量到顶点的；母线是沿曲面从顶点量到底边圆周的，所以它是半径、高与侧面围成的那个三角形的斜边，永远比另外两个都长。体积用的是高，侧面积用的是母线。把两者混起来会得到一个错数，错多少取决于圆锥有多高，而页面察觉不出来。

母线怎么求？

半径的平方加高的平方再开方，也就是勾股定理用在圆锥侧面那个三角形上。半径三、高四给出正好为五的母线，这正是页面加载时用那一组的原因：每一步都能心算。多数数对没有这么整齐，母线那时就是一个舍到两位小数的无理数。

总表面积为什么不等于侧面积加底面积？

在精确算术里它等于，页面用的也是合并后的形式 πr(l ＋ r)，而不是把两块分别舍过的数相加。差别出在印出来的数字上：侧面积在你看到它之前就已经舍到两位了，你自己再加底面积，可能比页面给的答案差一百分之一。页面那个数是由半径与母线一步算出来的，以它为准。

我填的是英寸，答案为什么是厘米？

因为这一页无论下拉框怎么设，都用厘米、平方厘米与立方厘米报出一切，这样结果与下面的参考表永远一致。下拉框改的是你的数怎么读进去。要换算的话，长度除以 2.54、面积除以 6.4516、体积除以 16.3871；或者干脆到最后再改答案的单位，那样通常更省事。

半径或高可以是 0 吗？

可以，而且两个都给真答案而不是空答案。高为零把圆锥压成一张圆片：底面之上什么也没有，所以体积是零，但曲面只是变成了第二张同样的圆片，于是侧面积等于底面积、总表面积是它的两倍。半径为零把圆锥塌缩成一段竖直线段：体积与两块面积都是零，而母线等于高。两个都填零则处处为零。

• Cone（圆锥）——由圆底面与一个顶点围成的立体，体积是底面积乘高的三分之一、侧面积是 πrl，两者本页都算；该条目把三分之一这条结果追溯到欧多克索斯，并记有阿基米德《论球与圆柱》与欧几里得《几何原本》第十二卷第 10 命题的后续证明 — Wolfram MathWorld（美国）
• Pythagorean theorem（勾股定理）——由半径与垂直高求母线所用的关系，因为那两个正是圆锥侧面直角三角形的两条直角边 — Wolfram MathWorld（美国）
• Pi（圆周率）——体积与两块面积里的常数，也是本页四个答案里有三个对几乎每一个输入都是无理数的原因 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；圆锥的体积与侧面积、母线是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部