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棱锥体积计算器

范围：0 cm² – 1,000,000,000,000,000,000 cm²

范围：0 cm – 1,000,000,000 cm

结果

48.00 cm³

体积

棱锥体积计算器要底面的面积与棱锥的高，读回它围出的体积：底面积乘高除以三。这是本站最短的公式，也是常数最出人意料的一个。三个完全相同的棱锥正好填满一个同底同高的棱柱，无论底面是什么多边形——正方形、三角形、六边形——这就是除以三的来源，也是锥体与柱体之间那条一比三关系的来源：棱锥的体积正好是同样占地、同样高度的盒子的三分之一。这条关系值得记住，因为它把难题变成简单题：算得出棱柱的体积，就已经知道棱锥的了。这一页要底面填的是面积而不是两条边长，这是有意的。棱锥的底可以是任何多边形——正方形、三角形、六角灯罩、五边形的帐篷底——而公式只通过「底面占了多少地」来用到它，所以问两条边长只会把页面限制在矩形底上，算术一步也省不下。它同时也意味着这一页给不出斜高，斜高是从顶点沿着一个面的中线量到底边中点的距离：那个距离取决于底面的形状而不只是它的面积，细长的底与紧凑的底面积相同时斜高差得很远。底面积本身通常要另算一步，而矩形、正方形、三角形、圆的面积计算器本站都有；这一页接的是那一步的结果，做的是三维的那一部分。两个例子把这个量级定下来。底面积 36 平方厘米、高 4 的棱锥体积是 48 立方厘米，而同底同高的棱柱装得下三个它，144。而人类建过的最大的金字塔——吉萨大金字塔——底面积约 52900 平方米（一边 230 米），原高约 146.6 米，算出来约 260 万立方米。那正是「除以三」不再是个冷知识、而是「一堆石头」与「一座山」之间的差别的尺度。表格从底面积 1 平方厘米一路排到那座金字塔，而最后一行是这一页最小的合法答案：没有底面积或没有高的棱锥没有体积，那是一个结果而不是错误。

从底面积 1 平方厘米到吉萨大金字塔的八个棱锥

底面积（平方厘米）高（厘米）体积（立方厘米）
36448
110.33
1009300
48348
10012400
25001210000
529000000146602585046666666.67
000

八个棱锥与一个空的。第一行是页面打开时的尺寸。第三行是拿来验算术的，因为里面每个数都是精确的：底面积 100 平方厘米、高 9 的棱锥体积是 300，而同底同高的盒子装 900——棱柱永远是棱锥的三倍，表上每一行都成立。第二行是除以三露出本色的一处：底面积 1、高 1 得到 0.33，也就是三分之一，正是这一页印两位小数而不是四位的原因。第五行与第六行是同一个棱锥在两个尺度上，而倒数第二行是吉萨大金字塔，它的底面积 529000000 平方厘米就是 52900 平方米（230 米见方），高 14660 厘米就是 146.6 米。那一行按这一页的单位印成立方厘米；除以一百万就是 258.5 万立方米的石头。最后一行是全零，那是一个没有底面积或没有高的棱锥，是答案而不是错误。表中每个数都是构建时从它那一行重算出来的，单位是平方厘米与立方厘米。

公式

V ＝ A × h ÷ 3

A
底面的面积，单位是平方厘米。它收面积而不是两条边长，是因为底可以是任何多边形：公式只通过「底面占了多少地」用到它，所以 36 平方厘米的正方形底与 36 平方厘米的六边形底在同一个高下体积完全一样。把面积算出来是另一步，本站的矩形、三角形、圆、正多边形面积计算器都能做
h
高，单位是厘米：从底面竖直量到顶点的垂直距离，不是沿着斜棱量的距离。这是棱锥上唯一一个没法拿卷尺贴着表面量出来的尺寸，也是人们最常弄错的一个——一条侧棱永远比高长，因为它是直角三角形里的斜边，另外两条边是高与底面的一半
V
体积，单位是立方厘米。它是同底同高棱柱的三分之一，这就是公式的全部内容：三份棱锥正好填满棱柱，无论底面是什么形状。它印两位小数而不是四位，因为除以三是这一族里唯一一个可靠地把整数变成循环小数的运算——底面积 1、高 1 得到 0.3333，而有用的读法是「三分之一」
÷ 3
让棱锥成为棱锥的那个常数。它来自「三个全等的棱锥可以拼成一个同底同高的棱柱」这一件事，所以棱锥正好是棱柱的三分之一——不是约等于，也不只对正方形底成立。圆锥体积页上的同一个除法是同一件事：圆锥就是一个底面碰巧是圆的棱锥

当手头有一个棱锥、想知道它装得下多少东西或用了多少料，而底面又能给出一个面积数时，就用这一页。最后那个条件决定了这是不是对的那一页。如果底面是正方形或矩形、两条边都知道，算术短到可以心算，本站的面积计算器一步就能给出底面积；如果底面是六边形、五边形，或者是一个用别的方法量出来的不规则轮廓，那个面积就该填到这里来。这条公式也是对任何锥形物体最快的合理性检查：无论底面是什么，它的容量都是同占地同高度盒子的三分之一。这一点值得在任何数字被相信之前先套一遍——占地 100 平方米、高 9 米的锥形屋顶围出 300 立方米的空间，而同样一个屋顶如果被推成平顶盒子就是 900，这两个数之间的差别正是锥形屋顶长成那样的原因。还有两个小一点的用法。从整块材料里切出一个棱锥是体积与废料的问题：从一块方料里凿出一个棱锥会留下三分之二的料——这是「从材料里削出一个形状」与「把它浇出来」之间最直白的一处差别。而往一个棱锥里装东西——料斗、粮仓、一堆锥形的砂石、沙漏——就是这一页把底面当作地板面积来用，答案是容量，而如果那个锥是圆的，圆锥页会给同一个数。如果你的棱锥不是正棱锥、顶点也不在底面中心的正上方，这一页照样成立：体积公式只用到垂直高度与底面积，一个斜着的棱锥只要底面积与垂直高度相同，装的量和正的一模一样——这是一个确实反直觉、但很有用的事实。

算例

  1. 底面积 36 平方厘米、高 4 厘米

    1. 底面积乘高：36 × 4 ＝ 144
    2. 除以三：144 ÷ 3 ＝ 48

    页面打开时的默认值，也是把公式赖以成立的那条关系摆出来的一行：同底同高的棱柱装 144 立方厘米，而棱锥正好是它的三分之一。两个数都值得留着，因为从一个到另一个只是一次乘或一次除，而棱柱那个数通常比棱锥更容易拿物体的尺寸去对。

  2. 底面积 1、高 1

    1. 底面积乘高：1 × 1 ＝ 1
    2. 除以三：1 ÷ 3 ＝ 0.33333…，舍入得 0.33

    单位棱锥，也是这一页印两位小数而长方体页印四位的原因。一除以三写到四位是 0.3333，看起来像一个量出来是千分之三的数；0.33 读起来才是它本来的样子——某个东西的三分之一。这就是这里把宽度收窄的全部理由：除以三是这一族里唯一一个可靠地产生循环小数的运算，多写几位不增加任何信息。

  3. 底面积 100、高 9

    1. 底面积乘高：100 × 9 ＝ 900
    2. 除以三：900 ÷ 3 ＝ 300

    拿整页来对账的一行，因为三个数都是精确值而棱柱那一版一目了然：底面积 100 平方厘米、高 9 的盒子装 900 立方厘米，棱锥装其中 300。如果换成一个占地 100 平方米、高 9 米的锥形屋顶，它围出的是 300 立方米的空间，而这类数字决定的是这栋建筑要加热多少空气。

  4. 底面积 2500、高 12

    1. 底面积乘高：2500 × 12 ＝ 30000
    2. 除以三：30000 ÷ 3 ＝ 10000

    边长 50 厘米的正方形底、高 12 厘米，一个桌上摆得下的模型。它也是这一页少数几个「除以三除得干净」的例子之一——底面积与高都取整时经常会这样，因为 3 可以整除 12 也可以整除 2500 里含的因子。真按实物量出来的数字很少这么整齐，所以这一行更适合拿来验证自己对公式的理解，而不是拿来估材料。

  5. 吉萨大金字塔

    1. 底面积换算成平方厘米：230 米 × 230 米 ＝ 52900 平方米，也就是 529000000 平方厘米
    2. 高换算成厘米：146.6 米 ＝ 14660 厘米
    3. 底面积乘高：529000000 × 14660 ＝ 7755139999999.999…，约 7.75514 × 10¹²
    4. 除以三：7755140000000 ÷ 3 ＝ 2585046666666.666…，舍入得 2585046666666.67

    埃及最大的金字塔，原底约 230 米见方、原高约 146.6 米。答案的单位是立方厘米，因为那是这一页的单位，而它不是一个会有人直接去读的数：除以一百万是 258.5 万立方米，也就是约 260 万立方米的石头。这一行是「除以三」最值得看一眼的地方：能装下它的那个盒子是 776 万立方米，正好是金字塔的三倍，而金字塔自己只有其中三分之一——同样的占地、同样的高度，体积差着三倍。

局限

底面必须是平的、侧面必须从底边直着上去收成一个顶点：台阶式的棱锥——早期的埃及金字塔与巴比伦的通灵塔——是一摞盒子与板子，不是一个棱锥，这条公式对它们会错得很远。棱台——顶部被切掉的棱锥，也就是多数屋顶与料斗真正的形状——也不是这个形状；那里的体积需要上底与下底两个面积，而这一页只有一个底面积栏。高必须是底面所在的平面到顶点的垂直距离，不是沿斜棱或沿一个面的中线量的距离；量成斜棱是拿到偏大结果最常见的方式，而在高棱锥上它不是偏大一点，是偏大很多。底面积是一个输入而不是本页会替你算的东西，所以量成两条边的底必须先换算成面积，不规则的底要用适合它的方法量出来。本页给不出斜高、表面积或任何一条棱的长度，因为那些都推不出来：细长的底与紧凑的底面积相同时，斜高、表面积与各条棱都不一样。输出一律是立方厘米，与长宽下拉框选什么无关，所以按平方米填进去的底面积拿回来的是立方厘米的答案，得自己换算——一立方米是一百万立方厘米。两位小数是显示宽度而不是精度声明，对量出来的棱锥来说合理，但对一座大金字塔来说粗得厉害，小数点前只有最后两位是有意义的。本页假设顶点在底面上方的某个位置而不关心在哪里：正棱锥与斜棱锥只要底面积与垂直高度相同，体积就相同，这是正确的、也是值得知道的，不算局限。它也不涉及重量、材料成本，或从整块材料里切出这个形状会产生多少废料——那些都能由体积推出来，但都不在这里印。

常见问题

为什么棱锥的体积是外面那个棱柱的三分之一？
因为三个同底同高的棱锥正好填满那个棱柱，不重不漏，无论底面是什么多边形。它不是近似，也不只对正方形底成立——三角形底的棱锥与六边形底的棱锥都正好是能装下它们的棱柱的三分之一。圆锥体积页上的同一个三分之一是同一件事：圆锥就是一个底面为圆的棱锥。
底面积那一栏填边长还是填面积？
填面积。公式只通过「底面占了多少地」用到它，所以矩形的两条边是一种没必要那么窄的问法。填面积还能让这一页处理它本来描述不了的底：六边形的底、三角形的底、或者用别的方法量出来的不规则轮廓。如果底面是矩形或正方形，本站的矩形与正方形面积计算器一步就能给出面积。
高要量哪一段？
垂直高度：从底面所在的平面竖直量到顶点的距离，与底面成直角。不是斜棱的长度，也不是沿一个面的中线量上去的距离。斜棱永远比高长——它是一个直角三角形的斜边，另外两条边是高与底面对角线的一半——所以量成斜棱会得到偏大的结果，而在高棱锥上偏大很多。
吉萨金字塔里有多少石头？
它的原底约 230 米见方，也就是 52900 平方米，原高约 146.6 米。底面积乘高除以三给出约 260 万立方米。值得拿来比的还是那个能装下它的盒子：它装的是三倍，也就是 776 万立方米，而金字塔只有其中三分之一——同样占地、同样高度，差的正是那个除以三。
这一页能给我斜高或表面积吗？
不能，原因在输入上。斜高是从顶点沿着一个面的中线量到底边中点的距离，它取决于底面的形状而不只是面积：100 平方厘米的细长底与 100 平方厘米的紧凑底，斜高差得很远，表面积也差得很远。要算这两个中的任何一个，页面都得知道底面的轮廓，而那正是「收面积而不是收两条边」所避开的。
斜着的棱锥装的比正棱锥少吗？
不，完全一样，只要底面积与垂直高度相同。体积公式只用到这两个数，从不问顶点在底面上方的哪个位置，所以顶点歪到一边的棱锥与笔直立在中间的那个装得一样多。这是一个真实的结果而不是误差，与「一摞硬币对整齐不对整齐，装的钱一样多」是同一个道理。

参考资料

相关计算器

圆锥体积计算器圆锥的体积是等底等高圆柱的三分之一，并给出母线与表面积。长方体体积计算器由长宽高求长方体的体积与表面积。圆柱体积计算器由底面半径和高求圆柱的体积与表面积。球体体积计算器球体占多大空间：由半径、直径或周长求出体积。