长方体体积计算器

V ＝ lwh S ＝ 2（lw ＋ lh ＋ wh）

l

盒子的长，单位是厘米——三条棱里随便挑一条都行，只要另外两条分别叫宽和高。盒子不在乎哪个名字安在哪条棱上

w

宽，单位是厘米。它与长一起定下底面那个长方形，也就是盒子立着的那一面

h

高，单位是厘米，指盒子从底面往上抬多高。这是第三个方向，也正是它把一块有面积的长方形变成一个有体积的立体

lwh

体积——三个长度相乘。它就是一厘米见方的小方块能塞进去多少个，而「一立方厘米」说的正是这件事

lw、lh、wh

六个面里那三种不同的长方形：底面、正面与侧面。另外三个面就是这三种再来一遍，所以表面积公式不必把六个面的面积逐个数出来

2（lw ＋ lh ＋ wh）

表面积，单位是平方厘米。那个 2 说的是盒子上相对的两个面完全相同；把六个面挨个加起来、于是每一对被数了两遍，正是漏掉这个 2 时会犯的错

四位小数

读数印出来的宽度。三个长度只要是有理数，两个结果就都是精确值，所以这四位是显示宽度而不是「近似」的记号——0.125 会原样写全

最直白的用场是打包与寄件。包裹的体积就是快递计费的依据，而表面积就是做出这个纸箱要用掉的纸板——商家在定下箱型之前要的就是这两个数，而体积还决定了某件东西装不装得进去。收纳是第二种：一个周转箱、一个抽屉、一个储物盒、一个档案盒或一组格子柜能装多少，以及它的外面会占掉墙面多少。材料是第三种：表面积就是盒子要刷漆、要包纸、要衬里、要喷粉或要蒙面的那一块，所以按平方米报价的活儿都从这个公式开始；而体积是往盒子里填东西时按体积卖的那些填充料的用量。建筑与土木里，它是矩形基础里的混凝土、矩形基坑挖出来的土方、矩形水池或水塘里的水、矩形花坛要填的土——全都是这一次乘法，而真正容易出错的是把三个尺寸换成同一个单位。制造业里，它是被切削的那块毛坯料、料斗的容量、以及加工之前钢坯的体积。理科里，它是任何能切成长方体的东西的密度，因为密度就是质量除以体积；也是样品池或矩形试样的体积。课堂上，它演示的是「体积与表面积是两件事，却都从同样三个数里来」：用一厘米见方的小方块搭一个盒子，数方块得到体积、数外表面的方格得到表面积，而把盒子放大一倍时两个数涨得不一样，这就是整堂课的要点。日常算术里，它回答的是家具能不能过门、抬高花床要多少土、以及柜子里那个盒子装不装得下要放进去的东西。

1. 长 5、宽 4、高 4 的盒子

   1. 底面那个长方形：5 × 4 ＝ 20
   2. 另外两种面：5 × 4 ＝ 20 与 4 × 4 ＝ 16
   3. 三种加起来再乘二：2 ×（20 ＋ 20 ＋ 16）＝ 112 平方厘米
   4. 三个长度连乘：5 × 4 × 4 ＝ 80 立方厘米

   页面打开时就是这一组，也是表面积页拿长方体那一档做算例时用的同一组。两页都印 112，值得对一下：两页走的是两条不同的路，答案要是分岔了，那就是其中一页有 bug。另外注意这里三个尺寸里有两个相等，所以三种不同的面里有一种是同一个长方形。

2. 长 3、宽 4、高 5 的盒子

   1. 三种面：3 × 4 ＝ 12，3 × 5 ＝ 15，4 × 5 ＝ 20
   2. 相加再乘二：2 ×（12 ＋ 15 ＋ 20）＝ 94 平方厘米
   3. 三个数连乘：3 × 4 × 5 ＝ 60 立方厘米

   最经典的一组尺寸，也是与下一行配着看的那一半：把每条棱都放大一倍，得到的不只是一个更大的盒子，而是一个涨法完全不同的答案。这一行是整页真正想讲的那件事的小的一半。

3. 同一个盒子放大一倍：6 × 8 × 10

   1. 三种面：6 × 8 ＝ 48，6 × 10 ＝ 60，8 × 10 ＝ 80
   2. 相加再乘二：2 ×（48 ＋ 60 ＋ 80）＝ 376 平方厘米
   3. 三个数连乘：6 × 8 × 10 ＝ 480 立方厘米

   每条棱都翻倍，所以表面积是上一行 94 的四倍，体积是它 60 的八倍。这是整页最有用的东西：把盒子做大一倍，装的东西与用的材料都不是翻倍，而且两者连涨的速度都不一样。大容器每升更便宜，靠的就是这条关系。

4. 12 × 8 × 6 的盒子

   1. 三种面：12 × 8 ＝ 96，12 × 6 ＝ 72，8 × 6 ＝ 48
   2. 相加再乘二：2 ×（96 ＋ 72 ＋ 48）＝ 432 平方厘米
   3. 三个数连乘：12 × 8 × 6 ＝ 576 立方厘米

   一个更扁也更长的盒子，也是拿去与表里那个正方体对照的一行。它装 576 立方厘米，外表面是 432 平方厘米，也就是每装一立方厘米要用四分之三平方厘米的纸板；而正方体装 1000 立方厘米、外表面 600 平方厘米，每立方厘米只用十分之六。体积相同时，正方体是表面积最小的那一个，离它越远越费——所以方方正正的纸箱最省纸板，同样容量的扁盒子做不到。

5. 高度为零的盒子：5 × 5 × 0

   1. 三种面：5 × 5 ＝ 25，5 × 0 ＝ 0，5 × 0 ＝ 0
   2. 相加再乘二：2 ×（25 ＋ 0 ＋ 0）＝ 50 平方厘米
   3. 三个数连乘：5 × 5 × 0 ＝ 0 立方厘米

   一个被压平成一张纸的盒子。体积是 0，这是对的，不是页面答不上来；而表面积不是 0——它是 50，就是仍然存在的那两个面。三个框里填 0 都是合法的：量出来是 0 也是一种测量，只有框空着才是「没有东西可算」。

这一页只算长方体，别的不算：不算圆柱、圆锥、球、棱锥，也不算不规则立体，更不接受「给体积反推某条棱」。三个尺寸全都必填，一个都不能是负数。无论每个框选的是哪个单位，两个答案都回厘米——体积是厘米的立方，表面积是厘米的平方，因为换算发生在进去的那一步。所以按英寸量的盒子，算出来的体积要除以 16.387064 才能读成立方英寸：体积按长度换算系数的立方换算，比照长度除以 2.54、比照面积除以 6.4516 去套，就是要避开的那个错。没有穿过盒子中间的那条体对角线输出，而读者从屏幕参数那里记住的「对角线」是一个面上的对角线，两者不是同一个长度。这一页也不处理圆角盒子、敞口盒子，以及材料的厚度——敞口盒子比这里印的那个数省料，差的正好是你没盖上的那一面。四位小数是显示宽度；三个输入只要是有理数，算术本身就是精确的，所以像 0.125 这样的数会原样写出来，不会被舍掉。还有一件事这里不做：立方厘米与升之间的换算，需要那个的话，鱼缸那一页收同样三个尺寸，用升与加仑给答案。

为什么每条棱都翻倍，体积会变成八倍？

因为三个长度每个都乘了二，而它们是相乘的，所以这个二进来了三次：二乘二乘二等于八。表面积只乘了两次，因为面积是两个长度相乘，所以它是四倍。这个差距就是大容器比小容器装得多得多、而摊到每份上的材料反而更少的原因，也是同样形状的小盒子永远不会是「缩小的便宜货」的原因。

我填的是英寸，为什么体积是立方厘米？

因为单位换算发生在进去的那一步，不是出来的那一步。你的英寸先被换成厘米，两个数都以厘米给出。要读成立方英寸，除以 16.387064，也就是 2.54 的立方。比照长度除以 2.54，得到的答案会差大约四十倍。

三个框里哪一个算高？

你当成竖直方向的那一条。盒子不在乎名字安在哪条棱上，因为它的体积与表面积在三个方向上是对称的。这一页用的「高」是几何图形的高，不是身高、也不是容器的高，但你把其中两个对调一下，答案不会变。

这一页与鱼缸容积那一页是一回事吗？

几何形状完全一样，量的也是同样三个尺寸，但答案不是一回事。那一页把图形当成容器，用升与加仑回答，而且上界卡在鱼缸可能有的尺寸上。这一页把它当成几何体，用立方厘米回答并附带表面积——当这个盒子是一件实体、而不是一个盛东西的容器时，要的就是这一页。

能单独要表面积吗？或者换别的图形？

表面积那一页收球、圆锥、圆柱或长方体，只回外表面面积，长方体只是它四档里的一档。它长方体那一档用的公式与这一页相同，两页也对得上：长 5、宽 4、高 4 的盒子在两页上都读 112。想一次只看一个数、不用先选图形，这一页更快。

为什么没有盒子的对角线？

因为多数人心里那条对角线、以及本站已经在别处给出的那一条，是一个平面上的对角线——屏幕参数报的就是它。盒子还有一条从一个角穿到对角那个角的体对角线，长度不同、公式也不同。把其中一条印在「对角线」这个通名下，两页里必有一页的标签是错的，所以这里干脆不给。

• Cuboid——本页所量的那个长方体，它的体积、表面积与各条对角线 — Wolfram MathWorld（美国）
• Volume——体积是什么、怎么定义，包含「体积的单位是长度的立方」以及「换算系数因此是长度系数的立方」这两条 — Wolfram MathWorld（美国）
• Surface Area——立体的外表面面积，以及盒子上相对的两个面为什么可以只数一次再乘二 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；长方体的体积与表面积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部