圆柱体积计算器
结果
体积
- 底面积
- 28.27 cm²
- 侧面积
- 75.40 cm²
- 表面积
- 131.95 cm²
圆柱体积计算器已知底面半径和高，算出圆柱的四个量：体积、底面积、侧面积和表面积。罐头、水桶、水泥柱、一卷胶带都是圆柱，而这两个输入恰好也就是一把卷尺能直接量到的两个数——量一下顶面有多宽，再量一下侧面有多高。公式只有两条。体积是底面积乘高，也就是 π 乘半径的平方再乘高。表面积是两个底面加一圈侧面：每个底面是 π 乘半径的平方，而侧面展开之后是一个长方形，宽是底面的周长、高是圆柱的高，所以是 2π 乘半径再乘高，两项加起来就是 2π 乘半径再乘半径加高。页面把底面积、侧面积和总表面积分开列出，这一点比听上去更重要：问「这个罐子刷漆要多少」问的是侧面，问「两个盖子要多少铁皮」问的是底面积，只给一个总数的页面会逼你自己去把它拆开。四个读数里有两个在信它之前值得再看一眼。第一，它们一律是立方厘米和平方厘米，跟输入框旁边的单位下拉框没有关系——这是有意的，不是漏了：四个输出是一组固定的量，下面那张参考表也用同一个单位算，所以把输入换成英寸只改变你的数字被怎么读进来，不改变答案怎么写出来。如果你量的是英寸，自己换算回去：体积除以 16.387，面积除以 6.4516。第二，表面积是从没有舍入过的半径算出来的，不是把上面印着的两个面积加起来，所以把印出来的底面积和侧面积相加，末位可能差一个 0.01。印出来的总数才是对的那个，差的那一位是把一个除不尽的数写了两遍的结果。
几组常见的圆柱与它们的读数
| 半径（厘米） | 高（厘米） | 体积（立方厘米） | 底面积（平方厘米） | 侧面积（平方厘米） | 表面积（平方厘米） |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 12 | 942.48 | 78.54 | 376.99 | 534.07 |
| 3 | 4 | 113.1 | 28.27 | 75.4 | 131.95 |
| 6 | 8 | 904.78 | 113.1 | 301.59 | 527.79 |
| 10 | 10 | 3141.59 | 314.16 | 628.32 | 1256.64 |
| 2 | 6 | 75.4 | 12.57 | 75.4 | 100.53 |
| 7.5 | 20 | 3534.29 | 176.71 | 942.48 | 1295.91 |
| 1 | 1 | 3.14 | 3.14 | 6.28 | 12.57 |
| 1 | 2 | 6.28 | 3.14 | 12.57 | 18.85 |
八行，第一行是页面打开时的默认输入。把第二行和第三行放在一起看：半径从 5 变成 10、高从 12 降到 8，体积大了大约十倍，这就是 πr² 里那个平方在起作用，也是占地面积不是约束条件时矮胖的罐子更划算的原因。第四行是人人都会画的那种圆柱——高与直径相等，它的侧面积正好是底面积的两倍，这条关系在高等于半径时都成立，与「十」无关。第五行带着那个值得先遇到再说的巧合：半径是 2 时体积与侧面积都是 75.4，因为 πr²h 等于 2πrh 只在 r = 2 时成立，与高无关。第六行是同一种巧合落在另一对列上——高为 1 时体积与底面积相等，因为乘一个 1 什么也没改变——第七行则是一个两者同时成立的圆柱。最后一行是细高的那种，半径 7.5、高 20，装得下三升半多一点。表里每个数都是页面构建时按各自的半径与高现算的，单位是厘米，两位小数与结果面板用的是同一个宽度。
公式
V = πr²h S底 = πr² S侧 = 2πrh S表 = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
- 半径
- 底面圆心到边缘的距离，单位厘米。它是直径的一半，所以一个量的是「顶面宽度」的圆柱要先除以二。可以是 0，那是一个没有粗细的圆柱，四个读数全是 0
- 高
- 两个底面之间的垂直距离，单位厘米。它不是沿着侧面量出来的那条斜线——那条更长，因为它是绕过去的而不是直着上去的，用它会把体积算大
- 体积
- 圆柱内部的空间，单位立方厘米：一个底面的面积乘高。一立方厘米就是一毫升，所以以立方厘米为单位的体积除以一千就是升
- 底面积
- 一个底面的面积，单位平方厘米，π 乘半径的平方。上下两个底面一样大，所以这是一个底面的面积，不是两个加起来
- 侧面积
- 只有那一圈侧面，单位平方厘米。把侧面展开就是一个高为 h、宽为 2πr 的长方形，式子就是从这儿来的，也是看清「为什么高和周长同时出现」最快的办法
- 表面积
- 两个底面加侧面，单位平方厘米。它与体积关系很近但并不成比例：高翻倍两者都翻倍，而半径翻倍时体积变成四倍，表面积却不到四倍
- π
- 圆的周长与直径之比，约 3.14159。页面用的是双精度下的完整值而不是截短的三位，所以用 3.14 手算的结果会在末位上与页面不同
- 两位小数
- 四个读数的写法宽度。这里是两位而不是四位，因为这些是真实物体的尺寸——用尺子量出来的半径本身就有比第三位更大的误差，多印几位只是在暗示一个输入从来没有过的精度
同样两个输入，这一页回答两类不同的问题。第一类是容量：罐子、油桶、水管、易拉罐能装多少，那是体积，而值得知道的是圆柱的体积随半径的平方增长——宽一倍的罐子能装四倍，高一倍只能装两倍，这就是地方不够时矮胖的罐子比细高的罐子划算的原因。第二类是材料：一个罐头要多少铁皮、一根柱子要多少油漆、一卷东西要多少包装，那是几个面积，而页面把底面和侧面分开列，因为这两样通常不是同一个来源——铁皮从一个料上裁，标签或者油漆刷在侧面。侧面积也是最让人意外的那一项，因为「把侧面展开成一个长方形」这件事在亲手做过一次之前并不显然：半径 5、高 12 的圆柱，侧面展开是一个宽 31.4 厘米、高 12 厘米的长方形。有一个换算值得随身带着：以立方厘米为单位的体积就是以毫升为单位的体积，所以 942.48 立方厘米的圆柱装 0.942 升，这一步只是除以一千，没有别的花样。
算例
半径 3、高 4
- 底面积：π × 3 × 3 = 28.274333…，保留两位是 28.27
- 体积：28.274333… × 4 = 113.097335…，保留两位是 113.1
- 侧面积：2 × π × 3 × 4 = 75.398223…，保留两位是 75.4
- 表面积：2 × 28.274333… + 75.398223… = 131.946891…，保留两位是 131.95
页面打开时的默认输入。113.1 立方厘米这个体积与圆锥页在同一组数下的某个读数是同一个数，这不是巧合：圆锥是它所在圆柱的三分之一，只不过圆锥页印的那个 113.1 是它的表面积而不是体积。把两页并排看一次是值得的，免得先把它当成一处错误。不需要计算器的验算：半径 3 的底面大约 28 平方厘米，叠四层大约 113。
半径 5、高 12
- 底面积：π × 5 × 5 = 78.539816…，保留两位是 78.54
- 体积：78.539816… × 12 = 942.477796…，保留两位是 942.48
- 侧面积：2 × π × 5 × 12 = 376.991118…，保留两位是 376.99
- 表面积：2 × 78.539816… + 376.991118… = 534.070751…，保留两位是 534.07
如果只记一行就记这一行，因为它的侧面能展开成一个看得见的长方形：2π × 5 是 31.4159 厘米的一圈，宽 31.4159、高 12 的长方形是 376.99 平方厘米，正好是侧面积。942.48 立方厘米就是 942.48 毫升，所以这个圆柱装得下不到一升。把高改成 24，体积和侧面积都会翻倍，而底面积仍然是 78.54——这是看清「哪个读数跟着哪个输入走」最干净的一行。
半径 10、高 10
- 底面积：π × 10 × 10 = 314.159265…，保留两位是 314.16
- 体积：314.159265… × 10 = 3141.592654…，保留两位是 3141.59
- 侧面积：2 × π × 10 × 10 = 628.318531…，保留两位是 628.32
- 表面积：2 × 314.159265… + 628.318531… = 1256.637061…，保留两位是 1256.64
高与底面直径相等的圆柱，也是让随便一个人画一个圆柱时他会画出来的那种胖瘦。体积是一千个 π，而因为一立方厘米就是一毫升，那是 3.14 升。注意这一行里侧面积恰好是底面积的两倍，这是高等于半径的结果，跟「十」这个数没有关系——任何高与半径相等的圆柱都是这样。
半径 2、高 6
- 底面积：π × 2 × 2 = 12.566370…，保留两位是 12.57
- 体积：12.566370… × 6 = 75.398223…，保留两位是 75.4
- 侧面积：2 × π × 2 × 6 = 75.398223…，保留两位是 75.4
- 表面积：2 × 12.566370… + 75.398223… = 100.530964…，保留两位是 100.53
两个读数相等的那一行：体积与侧面积都是 75.4。这不是笔误，也不是特例——把 πr²h 与 2πrh 划等号，约掉之后剩下 r = 2，与高无关，所以半径是 2 时体积和侧面积在任何高度上都是同一个数。量纲并不相同（立方厘米与平方厘米），相等只发生在数值上。这是读者会在结果面板上发现并来信问的那一类事，先在这里遇到比在面板上遇到好。
半径 1、高 1
- 底面积：π × 1 × 1 = 3.141592…，保留两位是 3.14
- 体积：3.141592… × 1 = 3.141592…，保留两位是 3.14
- 侧面积：2 × π × 1 × 1 = 6.283185…，保留两位是 6.28
- 表面积：2 × 3.141592… + 6.283185… = 12.566370…，保留两位是 12.57
同一种巧合换了一对列：高为 1 时体积与底面积相等，因为乘一个 1 什么也没改变。同样与半径无关，同样只是数值相等而不是量纲相同。与上一行合起来说明一件事——表里某两列对上时，第一件该查的事是某个输入是不是正好落在一个迫使它们相等的值上，第二件是这两列量的到底是不是同一种东西。
局限
四个读数一律是立方厘米和平方厘米，跟输入框旁边的单位下拉框无关。选了英寸只改变你的两个数字被怎么读进来，不改变答案怎么写出来：按 2 英寸、3 英寸输入，拿回来的是 38.61 立方厘米，要自己换回去。这是有意的，参考表也用同一条规则，所以页面不会自相矛盾。半径和高分别按「半径」和「垂直高」来读，页面分不出你量的其实是直径或者侧面那条斜线，这两样填进去都会得到一个看着挺像回事的错误答案。两位小数是显示宽度而不是精度声明：这些是真实物体的尺寸，除非输入本身是精确值，否则最后一位没有意义。表面积是从未舍入的半径算的，所以把印出来的底面积与侧面积相加，可能与印出来的总数差一个 0.01——以印出来的总数为准。页面假定圆柱两头都是封住的；一根管子或者一个敞口的桶，表面积比这个数少，少的正好是一个底面积。它也不管壁厚，所以容器的容积是内尺寸、材料用量是外表面，这是两个同一个下拉框表达不了的量。
常见问题
- 要量哪两个数？
- 一个底面的半径，以及两个底面之间的垂直高。半径是宽度的一半，所以一个从上往下量是 10 厘米的罐子，半径填 5。高是沿着侧壁直着量上去的那一段，不是绕着曲面量的那一段，两者有区别：半径 5、高 12 的圆柱，直着量是 12，而沿着外表面从一头走到对面那头要更长，用长的那个会把体积算大。
- 我填的是英寸，为什么答案还是厘米？
- 因为四个输出是固定的一组，单位是厘米、平方厘米和立方厘米，这样结果面板和下面的参考表才不会互相打架。下拉框改变的是你的数字被怎么读进来，不是答案怎么写出来。要换回自己的单位：体积除以 16.387 得立方英寸，三个面积除以 6.4516 得平方英寸。
- 侧面积和表面积有什么区别？
- 侧面积只是那一圈侧面，表面积是侧面加两个底面。封口的圆柱要用表面积，管子、敞口桶或者任何没有盖的东西要用侧面积。页面把底面积也一并印出来，就是为了「只关心盖子」的问题不用再去做减法。
- 体积怎么换算成升？
- 除以一千。一立方厘米就是一毫升，一千毫升是一升，所以 942.48 立方厘米是 0.942 升。这个换算两个方向都是精确的，也是这一页不需要单独做一个「容量」模式的原因——毫升本来就是按立方厘米定义的。
- 为什么体积和侧面积会是同一个数？
- 只在半径等于 2 的时候。把体积 πr²h 与侧面积 2πrh 划等号再约分，得到 r = 2，与高无关，所以这个半径上每一行的这两列都相等。高等于 1 时体积与底面积之间也会发生同样的事。两个数只是数值相等：一个是体积、一个是面积，量的不是同一种东西。
- 管子和敞口罐能用吗？
- 体积和侧面积可以，而这两项正好是管子和敞口罐真正需要的。表面积假定两头都封着，所以敞口容器要从里面减去一个底面积。页面也不知道壁厚，容器的容积是内尺寸、材料是外尺寸，两者需要不同的半径。
参考资料
- Cylinder（圆柱）——由圆沿轴平移扫出的立体，体积与三个表面积本页都算；该条目给出了「侧面展开成矩形」这条结果的说明 — Wolfram MathWorld（美国）
- Circle（圆）——每个圆柱的横截面，也是体积与两条表面积式子里那个 πr² 的来源 — Wolfram MathWorld（美国）
- Pi（圆周率）——四个读数里的常数，也是其中三个对几乎每一个输入都是无理数的原因 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；圆柱的体积与表面积、侧面展开图是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部