表面积计算器
结果
表面积
表面积计算器算的是一个立体的外表面有多大：包一个盒子要多少纸、刷一根柱子要多少漆、糊一个球要多少布。选好图形、填上它要的量——球要半径，圆锥和圆柱要半径和高，长方体要长、宽、高——页面给回一个以平方厘米为单位的数。这里的四种图形覆盖了学校和车间里几乎全部的问题。球的表面积是四倍 π 乘半径的平方。圆锥是 π 乘半径再乘半径加母线，母线就是从顶点沿着侧面量到底边的那条直线，由半径和高用勾股定理算出来。圆柱是二倍 π 乘半径再乘半径加高，也就是两个圆面加上展开后的一圈侧面。长方体是三对面之和的两倍：长乘宽、长乘高、宽乘高。四种图形、四条式子，下面两张参考表逐个说明哪一行是哪一条。动手之前要知道的一件事是：四个长度框同时都在屏幕上，切换图形时也不会被清空。这是有意的，不是疏忽——把用不到的框藏起来的表单，会在你改主意时把框在手下挪来挪去；而留着框却当没看见的表单，会把你已经打进去的数悄悄丢掉。所以这一页把每个框都留在原地，只读当前图形需要的那几个，规则很简单：球只读半径；圆锥和圆柱读半径和高；长方体读长、宽、高。半径那一格不被长方体读，长和宽那两格不被另外三种图形读，而一个不被读的框里坐着什么数，对答案没有任何影响。下面的参考表把这件事说实了，因为它的公式列写着哪一行用了哪一条式子。还有一条：答案一律是平方厘米，跟输入框旁边的单位下拉框无关，这是本批的通行规则，这一页周围的每一页都一样。
由半径和高得到的三种曲面立体
| 公式 | 半径（厘米） | 高（厘米） | 表面积（平方厘米） |
|---|---|---|---|
| 4πr² | 3 | — | 113.1 |
| 4πr² | 5 | — | 314.16 |
| πr(r + l) | 3 | 4 | 75.4 |
| πr(r + l) | 5 | 12 | 282.74 |
| 2πr(r + h) | 3 | 4 | 131.95 |
| 2πr(r + h) | 5 | 12 | 534.07 |
| 4πr² | 1 | — | 12.57 |
| 2πr(r + h) | 1 | 2 | 18.85 |
八行，覆盖球、圆锥和圆柱。第一列是这张表存在的全部理由：一行算完之后，行里剩下的数已经看不出它是哪种立体了，所以用式子来替图形名。它还做到了图形名做不到的一件事——告诉你这一行另外两个数里哪一个真的被用了：球那两行的高是破折号，因为球没有高，那一格根本没被读。前两行是半径 3 与半径 5 的球，两者之间的比例值得一验：五比三的平方约 2.78，113.1 乘 2.78 得 314.16，正是第二行。面积跟着半径的平方走，从不跟着半径走。第三行是母线正好等于 5 的那个 3-4-5 圆锥，第五行是圆柱页自己的默认输入：半径 3、高 4、表面积 131.95，也就是那一页印出来的总数。第七行是半径 1 的球，12.57 平方厘米，正好是 4π，是这张表上唯一一个熟悉的常数而不是一个测量值。第八行是半径 1、高 2 的圆柱，18.85，也就是 6π。表里每个数都是页面构建时按各自的半径与高现算的，单位是厘米，破折号按原样印出。
由长、宽、高得到的长方体
| 长（厘米） | 宽（厘米） | 高（厘米） | 表面积（平方厘米） |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 4 | 112 |
| 1 | 2 | 3 | 22 |
| 2 | 2 | 2 | 24 |
| 10 | 10 | 10 | 600 |
| 0.5 | 0.5 | 0.5 | 1.5 |
| 3 | 4 | 0 | 24 |
六个盒子，第一行是选中长方体时页面打开的默认输入。第二行是最小的整数盒子，1 × 2 × 3，22 平方厘米——这一行的算术短到能在脑子里做完，所以是拿来验算式的：2 × (2 + 3 + 6) = 22。第三行是棱长两厘米的立方体，24；第六行是高为 0、3 × 4 的薄片，也是 24。这一对是整张表最有用的地方，因为这两个立体长得毫不相像却共用一个数：立方体有六个面积各 4 的面，薄片有两个面积各 12 的面和四个塌掉的面。光凭一个表面积定不下形状，而这是最省事的演示。第四行是棱长十厘米的立方体，六百平方厘米，大约是一包打印纸那种箱子的尺寸；第五行是棱长半厘米，从这里开始小数才真的要紧。表里每个数都是整数，因为长方体的式子里没有 π，六行都是页面构建时现算的。
公式
球：S = 4πr² 圆锥：S = πr(r + l)，l = √(r² + h²) 圆柱：S = 2πr(r + h) 长方体：S = 2(lw + lh + wh)
- 图形
- 你要包的是哪一个立体。它决定跑哪一条式子，因而也决定下面那四个长度框里哪几个会被读到——球只用半径，而长方体用长、宽、高，完全不管半径
- r
- 半径，单位厘米：球是球心到球面的距离，圆锥或圆柱是底面圆心到边缘的距离。四种图形里有三种读它，长方体不读
- h
- 高，单位厘米：长方体是底面到对面那一面的垂直距离，圆锥是底面到顶点，圆柱是两个圆面之间。球不读它，因为球没有高
- l
- 它在这一页上指两件不同的东西，这是全页唯一需要看仔细的地方。在圆锥的式子里它是母线，即从顶点沿着侧面斜着量到底边的那条直线，由半径和高用勾股定理算出来。在长方体的式子里它是长。参考表的公式列写着哪一行是哪一个
- lw 与另外两个字母
- 长方体的三个尺寸，单位厘米：长、宽、高。它有六个面、三对，每一对对应一个乘积，所以式子是先把三个乘积加起来再乘二，而不是把六项一项一项加
- π
- 圆的周长与直径之比，约 3.14159。四条式子里有三条用它，长方体的那条不用，这也是盒子的表面积常常是整数、而球的几乎从来不是的原因
- 平方厘米
- 答案的单位，永远是它，跟下拉框选了什么无关。表面积是二维的量，所以单位就是输入单位的平方——半径按厘米给，面积就是平方厘米，这一页上没有任何一步要立方
- 两位小数
- 答案的写法宽度。这里是两位而不是四位，因为这些是量出来的物体尺寸，不是平面上的坐标：用尺子量出来的半径，本身的误差就比第三位小数大
多数时候问的是材料，而图形本身就把该用哪条式子告诉你了。球（皮球、地球仪、气球）问的是包一层布或者刷一层漆要多少。圆锥（生日帽、漏斗、一堆沙）要当心的是母线这个量最容易被漏掉——它不是圆锥的高，而是沿着侧面量下去的那条线，半径 3、高 4 的圆锥母线正好是 5，这是勾股定理最小的一组整数。圆柱（罐头、水管、柱子）的式子是那种能推出来而不是背下来的：两个底各 πr²，加一圈展开成长 2πr、宽 h 的长方形。长方体（箱子、板条箱、房间）就是三对面这个想法本身。四种图形共用一条提醒：表面积与体积不成比例，所有长度都翻倍时面积变成四倍而体积变成八倍，这正是大动物比小动物散热慢的原因，也是小盒子用的纸板比它装的东西看上去要贵得多的原因。
算例
半径 3、高 4 的圆柱
- 两个底面：2 × π × 3 × 3 = 56.548667…
- 展开的侧面：2 × π × 3 × 4 = 75.398223…
- 合计：56.548667… + 75.398223… = 131.946891…，保留两位是 131.95
- 长和宽那两格不被圆柱读，里面坐着的 5 和 4 不改变任何东西
页面打开时的图形，也是与圆柱页对照的那一行——同样半径、同样高，圆柱页给出的总表面积同样是 131.95。两页、两个工具、一个数，它们跑的是同一条式子，看到两者一致正是重点。不需要计算器的验算：两个底各约 28，侧面展开成一个宽约 18.8、高 4 的长方形，合计应当落在 130 出头。
半径 3、高 4 的圆锥
- 母线：√(3² + 4²) = √25 = 5
- 底面：π × 3 × 3 = 28.274333…
- 侧面：π × 3 × 5 = 47.123889…
- 合计：28.274333… + 47.123889… = 75.398223…，保留两位是 75.4
3-4-5 又在做它的老本行：半径 3、高 4 时母线正好是 5，整段算术干干净净。75.4 这个数同时也是圆柱页在半径 3、高 4 下给出的侧面积，那是两个不同立体的巧合而不是两条式子相同——圆锥的侧面和圆柱的侧面是两种形状，只是在这一组数上凑到了同一个值。
半径 3 的球
- 四个圆：4 × π × 3 × 3 = 36π = 113.097335…
- 保留两位是 113.1
- 只有半径被读到，高、长、宽三格都被球忽略
球的表面积正好是它最大横截面积的四倍，这是关于球最值得记住的一件事——半径 3 的圆面积是 28.27，四个就是 113.1。高那一格里还留着上一个图形的 4，页面完全不理会，这正是前面说过的行为，也是它必须被说出来的原因。
5 × 4 × 4 的长方体
- 上下两面：2 × 5 × 4 = 40
- 前后两面：2 × 5 × 4 = 40
- 左右两面：2 × 4 × 4 = 32
- 合计：40 + 40 + 32 = 112 平方厘米，正好是整数
四种图形里唯一答案通常是整数的一个，也是唯一不读半径的一个。因为这里长和高恰好相等，三对面里有两对一样大，所以求和特别好跟：40、40、32。半径那一格里坐着的 3 不起任何作用。
2 × 2 × 2 的立方体，与 3 × 4 × 0 的扁片
- 上下两面：2 × 3 × 4 = 24
- 前后两面：2 × 3 × 0 = 0
- 左右两面：2 × 4 × 0 = 0
- 合计 24 平方厘米
这两件东西要放在一起看：棱长两厘米的立方体与一张 3 × 4 的薄片，表面积都是 24 平方厘米。立方体是 2 × 2 × 2，给出 2 × (4 + 4 + 4) = 24；扁片的高是 0，六个面里有四个塌成了零，剩下的两个就是上下两面。同一个数、完全不同的立体，也提醒一件事：光凭一个表面积定不下一个形状。
局限
答案一律是平方厘米，跟下拉框选了什么无关。选英寸改变的是你的数字被怎么读进来，不改变答案怎么写出来。四个长度框在任何图形下都在屏幕上，当前图形不读的那些是忽略而不是清空，所以球留下的半径对一个盒子毫无影响。页面不会拦着你把一个框留在上一个图形留下的值上，也不会告诉你它没用那一格。哪几个数进了某一行，全页只有参考表的公式列在说，这就是它在那儿的原因。两位小数是显示宽度而不是精度声明。圆锥的表面积用母线而不是垂直高，而母线是页面自己从半径和高算出来的，所以一个「量的是侧面那条线」的圆锥没有地方按原样填进去。本站圆柱页与圆锥页在某些相同输入下也给出读数，而且与这一页一致，因为它们跑的是同一条式子——不一致会是缺陷而不是意见分歧。这里也处理不了四种之外的立体、缺一个面的开口容器，以及中间穿了一个洞的东西。
常见问题
- 每种图形到底读哪几个框？
- 球只读半径。圆锥和圆柱读半径和高。长方体读长、宽、高，不管半径。每个框都在屏幕上而且留着自己的值，所以上一个图形留下的数字不会起作用。想知道某一行到底用了哪几个数，最快的办法是看参考表的公式列。
- 母线是什么，怎么量？
- 母线是从圆锥顶点沿着侧面斜着量到底边的那条直线，除非圆锥压得很扁，否则它比垂直的高要长。你不用自己去量：页面用勾股定理从半径和高把它算出来，因为半径、高和母线正好构成一个直角三角形。半径 3、高 4 的圆锥，母线正好是 5。
- 我填的是英寸，为什么答案是平方厘米？
- 因为答案是一组固定的输出，单位是平方厘米，这样结果面板和下面的参考表才不会互相打架。下拉框改变的是你的尺寸被怎么读进来，不是答案怎么写出来。要换回去就除以 6.4516 得平方英寸——注意是按换算率的平方除，因为面积随长度的平方缩放。
- 为什么棱长 2 厘米的立方体和一张 3 × 4 的薄片表面积一样？
- 因为两者都是 24 平方厘米，仅此而已：立方体六个面各 4，薄片有两个面各 12，另外四个因为高为 0 而塌成了零。一个表面积本身定不下一个形状，而第二个立体是页面愿意照算的退化情形，不是错误。
- 圆柱页和圆锥页给出的答案与这一页一致吗？
- 在重叠的那些读数上是一致的，这是有意设计而不是碰巧——三页跑的是同一条式子。半径 3、高 4 的圆柱总表面积在这三个地方都是 131.95，因为它们都是把同样的两个底加到同样展开的侧面上。
- 能用它估油漆或者包装纸的用量吗？
- 封闭的立体可以，这也是这一页最常见的用途。有两点要留意：答案是整个外表面，开口容器要减掉一个面；而且它不算搭接、损耗和厚度，所以实际备料应当向上取整而不是照着用。面积单位是平方厘米，除一万得平方米。
参考资料
- Surface area（表面积）——立体边界的面积，含本页实现的球、圆锥、圆柱与长方体四条式子 — Wolfram MathWorld（美国）
- Cone（圆锥）——侧面展开成扇形，母线是半径与高构成的直角三角形的斜边 — Wolfram MathWorld（美国）
- Sphere（球面）——到球心距离相等的曲面，其面积正好是它大圆面积的四倍，也就是本页球公式陈述的那条关系 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；长方体、圆柱、圆锥的表面积与展开图是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部