八边形计算器

A ＝ 2(1 ＋ √2) × s² P ＝ 8s a ＝ s(1 ＋ √2) ÷ 2 d短 ＝ s√(2 ＋ √2) d中 ＝ s(1 ＋ √2) d长 ＝ s√(4 ＋ 2√2) 内角 ＝ 135°

边长

八条边中任意一条的长度，单位是厘米。与每一种正多边形一样，这是本页唯一的输入，因为八条边等长、八个角都固定为 135 度，这一个数就把整个图形的大小定下了

面积

八边形占的平面大小，单位是平方厘米，等于二乘上一加根号二，再乘边长的平方。那个系数约等于 4.828，是个值得记住的数——同样一条边，八边形占的地方接近正方形的五倍

周长

绕八边形一圈的长度，单位是厘米，等于八倍边长，因为八条边一样长。它是唯一一个在边长为精确值时也精确的读数，所以哪个结果看着不对时，先用它来对

边心距

从中心笔直量到一条边中点的距离，单位是厘米，等于边长乘一加根号二再除以二。它是能塞进八边形里的最大那个圆的半径，也决定了那些平的边彼此隔多远——边心距的两倍就是对边之间的宽度

短对角线

两个角之间隔着一个角的距离，单位是厘米，等于边长乘根号下二加根号二。它比中等的那条略短、比边长略长，而在八边形上它与边长近得容易在图上认错

中对角线

两个角之间隔着两个角的距离，单位是厘米，等于边长乘一加根号二。它正好是边心距的两倍，因为两者是同一个式子里的那个二放在不同位置，而正八边形自身的几何就是围着它转的

长对角线

从一个角笔直穿过中心到对面那个角的距离，单位是厘米，等于边长乘根号下四加二倍根号二。它是能在这个形状上量到的最宽的尺寸，同时也是外接圆的直径，所以把它除以二就是外接圆的半径

内角

相邻两条边在八边形内部的夹角：135 度，只由边数决定，钉死在这里。它完全不随边长变，所以参考表里这一列每一行都是同一个数——边长 1 的八边形和边长 10 的八边形内角相同，不同的只是大小

√2

根号二，约 1.4142136。七个输出里除了周长与内角，其余每一个都带着它，而它在那里是因为八边形就是切掉四个角的正方形——按 45 度切角，正是根号二的来处

这一页是给当成实物的八边形用的，最常见的两种情况是一块平板和一个圆形配件。如果是从一张板材上裁八边形——桌面、瓷砖、铺路石、柱子的端板——面积告诉你用掉多少料，边心距告诉你怎么放线。放线时先标的应该是边心距：它的两倍是对边之间的宽度，而量一块裁好的八边形量的正是那些平的边，因为角上不好架尺。长对角线随后给出对角之间的宽度，它决定这块成品能不能放进你要裁它的那个圆里；同一个数也是外接圆的直径，所以直径等于它的圆料刚好能把八边形装下、一点余量都不剩。如果要做的是把八根料接起来的东西——画框、灯笼、凉亭顶——该记住的是 135 度这个内角，因为每根料上的斜切是它的一半、67.5 度，而这个角度对任何大小的八边形都一样。如果是圆形配件那一类，长对角线回答的是八边形能不能穿过某个圆孔，边心距回答的是它卡进去之后能露出多少平的接触面。而如果只是想拿八边形和同样边长的正方形比一比，面积系数 4.83 对正方形的 1 就是全部的比较：同样的边，八边形占的地方更多，但它也有两倍的边数，所以买收边料时周长那一列才是公平的尺子。

1. 边长为 6

   1. 周长：8 × 6 ＝ 48
   2. 边心距：6 × (1 ＋ √2) ÷ 2 ＝ 7.242640…，舍入得 7.2426
   3. 中对角线：6 × (1 ＋ √2) ＝ 14.485281…，舍入得 14.4853
   4. 短对角线：6 × √(2 ＋ √2) ＝ 11.086554…，舍入得 11.0866
   5. 长对角线：6 × √(4 ＋ 2√2) ＝ 15.678754…，舍入得 15.6788
   6. 面积：2 × (1 ＋ √2) × 36 ＝ 173.823376…，舍入得 173.8234
   7. 内角：(8 − 2) × 180 ÷ 8 ＝ 135，精确

   页面打开时的默认值。这一行里能看见两道自检。中对角线 14.4853 正好是边心距 7.2426 的两倍——它对每一条边长都成立，不只是这一条，因为两者出自同一个式子、那个二放在不同位置。长对角线 15.6788 是外接圆的直径，所以边长 6 的八边形能装进直径 15.6788 厘米的圆里，再小就装不下。这一行也正好与旁边两页在同一个边长上对账：边长 6 在这里是 173.8234，在六边形页是 93.5307，在五边形页是 61.9372——同一条边，边数越多围住的越多。

2. 边长为 1

   1. 周长：8 × 1 ＝ 8
   2. 边心距：(1 ＋ √2) ÷ 2 ＝ 1.207106…，舍入得 1.2071
   3. 中对角线：1 ＋ √2 ＝ 2.414213…，舍入得 2.4142
   4. 短对角线：√(2 ＋ √2) ＝ 1.847759…，舍入得 1.8478
   5. 长对角线：√(4 ＋ 2√2) ＝ 2.613125…，舍入得 2.6131
   6. 面积：2 × (1 ＋ √2) ＝ 4.828427…，舍入得 4.8284
   7. 内角：135

   单位八边形，也是把两个常数看得最清楚的一行：面积是 4.8284，中对角线是 2.4142，后者正好是前者的一半。短对角线 1.8478 值得停一下，因为它是隔一个角的那条，却比两倍边长还短——八边形的角挨得比六边形紧，这正是它看起来几乎像个圆的原因。与边长为 1 的正方形比——后者面积是 1——八边形占的地方是它的 4.83 倍。

3. 边长为 5

   1. 周长：8 × 5 ＝ 40
   2. 边心距：5 × (1 ＋ √2) ÷ 2 ＝ 6.035533…，舍入得 6.0355
   3. 中对角线：5 × (1 ＋ √2) ＝ 12.071067…，舍入得 12.0711
   4. 短对角线：5 × √(2 ＋ √2) ＝ 9.238795…，舍入得 9.2388
   5. 长对角线：5 × √(4 ＋ 2√2) ＝ 13.065628…，舍入得 13.0656
   6. 面积：2 × (1 ＋ √2) × 25 ＝ 120.710678…，舍入得 120.7107
   7. 内角：135

   边长五厘米的八边形，大约是一块小瓷砖或一根栅栏柱顶的大小。这一行与同一张表上的另一行撞了数，看着像印错：这里的中对角线 12.0711，与边长 10 时的边心距是同样四位数字。原因是边长翻倍会把这一列里每个长度都翻倍，所以边心距在边长 10 时取到的值，必然也会以某个长度的身份出现在边长 5 那一行——在这里就是那个正好两倍于小八边形边心距的对角线。没有任何一处算了两遍。

4. 边长为 10

   1. 周长：8 × 10 ＝ 80
   2. 边心距：10 × (1 ＋ √2) ÷ 2 ＝ 12.071067…，舍入得 12.0711
   3. 中对角线：10 × (1 ＋ √2) ＝ 24.142135…，舍入得 24.1421
   4. 短对角线：10 × √(2 ＋ √2) ＝ 18.477590…，舍入得 18.4776
   5. 长对角线：10 × √(4 ＋ 2√2) ＝ 26.131259…，舍入得 26.1313
   6. 面积：2 × (1 ＋ √2) × 100 ＝ 482.842712…，舍入得 482.8427
   7. 内角：135

   边长十厘米的八边形，是铺路石或装饰砖常见的尺寸。放线该用的是边心距 12.0711：它的两倍 24.1421 就是对边之间的宽度，也就是你在工作台上要划出来的距离。长对角线 26.1313 是对角之间的宽度，所以直径等于它的圆孔是这个八边形能掉下去的最小一个。把两个宽度放在一起看——对边 24.14，对角 26.13——八边形一行就说完了：角只比平的边多探出大约百分之八，而把四个角从正方形上切掉，全部的效果就是这一点。

5. 边长为 0

   1. 周长：8 × 0 ＝ 0
   2. 边心距：0 × (1 ＋ √2) ÷ 2 ＝ 0
   3. 中对角线：0 × (1 ＋ √2) ＝ 0
   4. 短对角线：0 × √(2 ＋ √2) ＝ 0
   5. 长对角线：0 × √(4 ＋ 2√2) ＝ 0
   6. 面积：2 × (1 ＋ √2) × 0 ＝ 0
   7. 内角：(8 − 2) × 180 ÷ 8 ＝ 135

   0 是合法输入，不是空着没填，而这一行把「内角是什么」显示得最直白：边长为 0 的八边形塌成了一个点，七个读数里有六个是 0，而内角仍然是 135 度。它是形状的性质而不是大小的性质，所以大小整个消失之后它还留着。空着不填是另一回事：框里什么都没有时页面什么结果都不显示。

本页只做正八边形：八条边等长、八个角都是 135 度。不规则的八边形——比如四角切得不匀的正方形，或者被拉长的八边形——没有单一的边长，一个数描述不了它，本页会不声不响地按这个边长的正八边形给出结果，而不会提示你心里的那个形状其实是另一个。读数一律是厘米与平方厘米，与单位下拉框选什么无关，所以按英寸填进去的边长拿回来的是厘米的答案，得自己换算。四位小数是显示宽度而不是精度声明，对量出来的边长来说它是偏宽的，输入不是精确值时最后两位没有意义。内角精确等于 135 度、因此不带小数印出来，但它在每一行都是同一个数，所以一个看起来不随边长变化的页面并没有卡住——七个读数里有六个动了。本页是二维的，没有材料厚度这一栏，所以给不出八棱柱的体积、八角板的重量，或者一个八角孔的深度。它也不模拟八边形拼铺时用来填缝的那些小方块，那是一个铺装排版的问题，不是量一个形状的事。

为什么我把边长改了，内角一动不动？

因为正八边形的角只由边数决定，别的什么都不参与。正多边形的内角等于「边数减二，乘 180 度，再除以边数」，八条边算出来是 135 度，而这个式子里根本没有边长。边长 1 和边长 100 的八边形角度完全相同，只差大小。参考表最后一列每一行都是同一个数就是这个道理，而斜切锯 67.5 度的设置对你这辈子要切的每一个八边形都管用，也是这个道理。

三种对角线分别指哪一条？

短对角线隔一个角，等于边长乘根号下二加根号二，单位边长时是 1.85。中对角线隔两个角，等于边长乘一加根号二，单位边长时是 2.41。长对角线笔直穿过中心，等于边长乘根号下四加二倍根号二，单位边长时是 2.61。六边形只有其中两种，因为六个角之间只有两种不同的跨度；八个角给出三种。中间那条正好是边心距的两倍，这是把它与另外两条区分开最快的办法。

边心距是什么，为什么八边形特别要看它？

它是中心笔直量到一条边中点的距离，也是能塞进这个形状里的最大那个圆的半径。八边形比多数形状更看它，是因为量成品量的正是那些平的边：边心距的两倍就是对边之间的宽度，而平边不像角那样难架尺。如果是在给一块裁好的八边形放线，边心距是第一个该划到活儿上的数。

同样边长，八边形比正方形大多少？

面积大约是 4.83 倍，因为单位八边形占 4.8284 平方单位，单位正方形占 1。这个数就是这个形状的全部来历：八边形是切掉四个角的正方形，切角从正方形上削掉了面积，同时让四条平边几乎保住了原来的宽度。但八边形有八条边而不是四条，所以如果买的是收边料或框料，该比的是周长而不是面积。

八边形能穿过的最小的圆孔是多大？

直径等于长对角线的那个圆，因为那是这个形状上最宽的尺寸，而且是穿过中心从一个角到另一个角。边长 10 时是 26.1313 厘米。同一个数反过来读，就是恰好套住这个八边形、八个角都贴在圆周上的那个圆的直径——如果你是从圆料上裁八边形、想尽量少废料，有用的正是这个读法。

八边形自己能铺满地面吗？

不能，而空隙才是这件事有意思的地方。八边形平铺时每四个之间会留下一个小方孔，正是那些方块让「八边形加方块」成为一种经典铺法——八边形负责铺面，方块负责填缝。本页量的是一个八边形，不模拟排版，所以铺一个地面要多少块砖，是与这里几个数分开的另一次计算。

• Octagon（八边形）——八条边的多边形，含本页计算的面积、边心距、三种对角线与内角，以及「把正方形的四个角切掉」这个构造 — Wolfram MathWorld（美国）
• Regular polygon（正多边形）——正八边形所属的族；内角由边数决定，边心距定义为中心到一条边的距离，这正是中对角线恰好是它两倍的原因 — Wolfram MathWorld（美国）
• Apothem（边心距）——正多边形中心到一条边中点的距离，它是内切圆的半径，翻倍之后就是这个形状对边之间的宽度 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；正多边形的边长、周长与面积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部