五边形计算器

A ＝ √(25 ＋ 10√5) ÷ 4 × s² P ＝ 5s a ＝ s ÷ (2·tan(π ÷ 5)) 对角线 ＝ φ·s 内角 ＝ 108°

边长

五条边中任意一条的长度，单位是厘米。与每一种正多边形一样，这是本页唯一的输入：五条边等长、五个角都固定为 108 度，所以单靠边长就把整个图形定下了

面积

五边形占的平面大小，单位是平方厘米，等于根号下「二十五加十倍根号五」除以四，再乘边长的平方。那个系数约等于 1.7205，是个值得记住的数——五边形占的地方约是架在它一条边上的正方形的 1.72 倍

周长

绕五边形一圈的长度，单位是厘米，等于五倍边长，因为五条边一样长。它是唯一一个在边长为精确值时也精确的读数，所以哪个结果看着不对时，先用它来对

边心距

从中心笔直量到一条边中点的距离，单位是厘米，等于边长除以二倍 tan 36 度。它是能塞进五边形里的最大那个圆的半径，翻倍之后就是这个形状对边之间的宽度

对角线

两个角之间隔着一个角的距离，单位是厘米，等于边长乘黄金比例。本页只有一条对角线而不是像六边形那样两条，因为正五边形的五条对角线一样长——每一条都正好隔着一个角，没有长短之分可以印

内角

相邻两条边在五边形内部的夹角：108 度，只由边数决定，钉死在这里。它不随边长变，所以参考表里这一列每一行都是同一个数。它的一半 54 度，就是五边形画框要用的斜切角

φ

黄金比例，约 1.6180339887，也就是对角线等于边长乘上的那个数。它是五边形对角线彼此切割的比，也是这个形状在设计里、在植物里出现得远比它的算术所应得多的原因

√5

根号五，约 2.2360680。它通过「二十五加十倍根号五」这个式子进入面积，同时它也是黄金比例成为无理数而不是一个分数的原因——黄金比例就是一加根号五再除以二

这一页是给当成实物的五边形用的，而五边形通常是装饰性的而不是承重的，这一点改变了你要从这几个数里拿什么。如果是从一张板材上裁一个五边形——桌面、标牌、铺路石、花池——面积告诉你用掉多少料，边心距告诉你怎样从中心放线，因为边心距的两倍就是对边之间的宽度，而那是你真正能把尺架上去量的尺寸。对角线随后告诉你这块成品装不装得进它要去的位置，因为它是这个形状上最宽的一条线，从一个角穿过中心到另一个角。如果要做的是用五根料拼起来的东西——画框、灯笼、凉亭顶、花箱——该记住的是 108 度这个内角，因为每根料上的斜切是它的一半、54 度，而这个角度对任何大小的正五边形都一样。黄金比例是即使你不需要对角线也该看一眼那一列的理由：它是这个形状的签名，一条对角线不是边长的 1.618 倍的五边形，无论看上去多像，都不是正五边形。而如果是拿几个形状互相比、而不是量其中某一个，本页与旁边两页在同一个边长上的那张表就是最公平的比较：边长 6 时五边形占 61.9372，六边形 93.5307，八边形 173.8234——同一条边，边数越多买到的面积越多，一路朝着圆去。

1. 边长为 6

   1. 周长：5 × 6 ＝ 30
   2. 对角线：φ × 6 ＝ 1.6180339… × 6 ＝ 9.708203…，舍入得 9.7082
   3. 边心距：6 ÷ (2 × tan 36°) ＝ 6 ÷ 1.453085… ＝ 4.129145…，舍入得 4.1291
   4. 面积：1.7204774… × 36 ＝ 61.937187…，舍入得 61.9372
   5. 内角：(5 − 2) × 180 ÷ 5 ＝ 108，精确

   页面打开时的默认值。该在它身上做的检查是用对角线除以边长：9.7082 ÷ 6 等于 1.618，也就是黄金比例，而这条比例在表格每一行、在古往今来每一个正五边形上都成立。这一行也正好与旁边两页在同一个边长上对齐：边长 6 在这里是 61.9372，六边形页是 93.5307，八边形页是 173.8234——同一条边，边数越多面积越大。五边形是三者里最小的，也是相对于面积来说最宽的一个，因为只有五条边的它是三者里最不像圆的。

2. 边长为 1

   1. 周长：5 × 1 ＝ 5
   2. 对角线：φ × 1 ＝ 1.6180339…，舍入得 1.618
   3. 边心距：1 ÷ (2 × tan 36°) ＝ 0.688190…，舍入得 0.6882
   4. 面积：1.7204774… × 1 ＝ 1.7204774…，舍入得 1.7205
   5. 内角：108

   单位五边形，也是两个常数各自站出来的那一行：面积是 1.7205，那就是面积系数的全部；对角线是 1.618，那就是黄金比例本身。两个数都值得以这个形式记住。把面积与边长为 1 的正方形比——后者是 1——再与三角形的 0.433、六边形的 2.598 比：五条边落在正方形与六边形之间，而整个正多边形家族都是这个走向。

3. 边长为 3

   1. 周长：5 × 3 ＝ 15
   2. 对角线：φ × 3 ＝ 4.854101…，舍入得 4.8541
   3. 边心距：3 ÷ (2 × tan 36°) ＝ 2.064572…，舍入得 2.0646
   4. 面积：1.7204774… × 9 ＝ 15.484296…，舍入得 15.4843
   5. 内角：108

   把黄金比例显示得最别扭、因而最有说服力的一行：对角线是 4.8541、边长是 3，而 4.8541 ÷ 3 等于 1.618。一条在边长 1、边长 3、边长 6 上都算出同样三位数的比例，是形状的性质而不是算术的巧合。这一行的面积与周长也是表上最接近的一对——15.4843 对 15——但那是接近而不是相等，何况两者本来就是不同单位下的不同量。

4. 边长为 10

   1. 周长：5 × 10 ＝ 50
   2. 对角线：φ × 10 ＝ 16.180339…，舍入得 16.1803
   3. 边心距：10 ÷ (2 × tan 36°) ＝ 6.881909…，舍入得 6.8819
   4. 面积：1.7204774… × 100 ＝ 172.047740…，舍入得 172.0477
   5. 内角：108

   边长十厘米的五边形，大约是一块铺路石的大小。放线该用的是边心距 6.8819：它的两倍 13.7638 就是对边之间的宽度。这一行里有一处巧合，最好在它被当成错之前先认出来——这里的边心距 6.8819，与表上方边长 2 时的面积是同样四位数字。两者是同一个根号式子从不同方向得到的结果，一个是长度一个是面积，而它们在这两个尺寸上共享四位数字这件事，除了这一点之外没有别的含义。

5. 边长为 0

   1. 周长：5 × 0 ＝ 0
   2. 对角线：φ × 0 ＝ 0
   3. 边心距：0 ÷ (2 × tan 36°) ＝ 0
   4. 面积：1.7204774… × 0 ＝ 0
   5. 内角：(5 − 2) × 180 ÷ 5 ＝ 108

   0 是合法输入，不是空着没填，而这一行把内角的性质显示得最直白：边长为 0 的五边形塌成了一个点，五个读数里有四个是 0，而内角仍然是 108 度。它是形状的性质而不是大小的性质，所以大小整个消失之后它还留着。空着不填是另一回事：框里什么都没有时页面什么结果都不显示，因为没有东西可算。

本页只做正五边形：五条边等长、五个角都是 108 度。不规则的五边形——比如房子形状的那种，或者被拉长的——没有单一的边长，一个数描述不了它，本页会不声不响地按这个边长的正五边形给出结果，而不会提示你心里的那个形状其实是另一个。读数一律是厘米与平方厘米，与单位下拉框选什么无关，所以按英寸填进去的边长拿回来的是厘米的答案，得自己换算。四位小数是显示宽度而不是精度声明，对量出来的边长来说它是偏宽的，输入不是精确值时最后两位没有意义。内角精确等于 108 度、因此不带小数印出来，但它在每一行都是同一个数，所以一个看起来不随边长变化的页面并没有卡住——五个读数里有四个动了。本页只印一条对角线而不是两条，这不是省略：正五边形的五条对角线一样长，没有长短一对可以印。本页是二维的，没有材料厚度这一栏，所以给不出五棱柱的体积或五角板的重量。它也不涉及由对角线画出的那个五角星——那是由好几个五边形的料拼成的三角形组成的形状，不是一个五边形。

为什么五边形的对角线永远是边长的 1.618 倍？

因为那个数就是黄金比例，而正五边形是它出现得最直白的地方之一。这个比的定义是「整体比大部分等于大部分比小部分」，而五边形的对角线彼此相交时切出的正是这个比——于是对角线与边长之比又是同一个比。它对任何大小的五边形都成立，所以参考表里随便挑一行、拿对角线除以边长都能验出来。

六边形页印两条对角线，为什么这一页只有一条？

因为正五边形只有一种对角线长度。每一条对角线连接的两个角之间都正好隔着一个角，由对称性，五条全一样长。六边形不同：六个角之间有两种不同的跨度，一种隔一个角、一种直穿过去，所以那一页两条都印。给五边形印一条长的加一条短的，等于把同一个数印两遍，还引人去找一个并不存在的差别。

为什么我把边长改了，内角一动不动？

因为正五边形的角只由边数决定，别的什么都不参与。正多边形的内角等于「边数减二，乘 180 度，再除以边数」，五条边算出来是 108 度，而这个式子里根本没有边长。边长 1 和边长 100 的五边形角度完全相同，只差大小。参考表最后一列每一行都是同一个数就是这个道理，而斜切锯 54 度的设置对你这辈子要切的每一个五边形都管用，也是这个道理。

边心距是什么，在这一页有什么用？

它是中心笔直量到一条边中点的距离，也是能塞进这个形状里的最大那个圆的半径。对五边形来说它是放线要用的那个数：它的两倍就是对边之间的宽度，而平的边好架尺、角不好架。如果是在一张板上画五边形，从中心朝五个方向各量一个边心距出去，五条边的中点就都定位了。

正五边形能铺满地面吗？

不能，而它正是这个家族里唯一做不到的那一个。三个正五边形围着一个点摆会留下缝，因为三个 108 度是 324 度，而一整圈是 360 度——缺的那 36 度永远补不上。这就是五边形的铺装需要第二种形状来填空的原因，也是五边形更多用作装饰、而能完美铺满的六边形成了瓷砖与蜂巢的形状的原因。

边长可以填 0 吗？那和空着不填是一回事吗？

0 是真实输入：五个读数里有四个给 0，这正是「没有大小的五边形」的诚实答案，而内角仍然是 108 度，因为它根本不取决于大小。空着不填不一样：框里什么都没有时页面什么结果都不显示，因为没有东西可算。这个区别在打字的过程中很重要——清空输入框准备重填时，不应该闪出一行零。

• Pentagon（五边形）——五条边的多边形，含本页计算的面积、边心距、对角线、108 度内角，以及它的对角线彼此切割所成的那个黄金比例 — Wolfram MathWorld（美国）
• Regular polygon（正多边形）——正五边形所属的族；内角由边数决定，边心距定义为中心到一条边的距离 — Wolfram MathWorld（美国）
• Apothem（边心距）——正多边形中心到一条边中点的距离，它是内切圆的半径，翻倍之后就是这个形状对边之间的宽度 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；正多边形的边长、周长与面积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部