梯形面积计算器

面积 ＝（上底 ＋ 下底）÷ 2 × 高

上底

两条平行的边里的一条，单位是厘米。哪一条叫上底、哪一条叫下底都无所谓——两条要相加，换个顺序填得到同一个答案

下底

另一条平行的边，单位是厘米。它比上底长或短都可以；上底比下底长只是这个图形倒过来放

高

两条底之间的垂直距离，单位是厘米——与两条底都成直角，不是沿着腰量出来的那一条

（上底 ＋ 下底）÷ 2

两条底的平均宽度，也就是这条式子的全部窍门。梯形的面积，就相当于一个宽等于两条底平均值的矩形

除以二

公式里的除数，也是这一页为什么包含另外两个图形的原因。两条底相等时取平均与折半正好抵消，「底乘高」就回来了；一条底为 0 时平均值是另一条的一半，三角形那个「二」又出现了

面积

这个梯形围住多大一块面，单位是平方厘米——不管下拉框选的是什么，都是这个单位

四位小数

答案印出来的宽度。整厘米的两条底相加再折半是精确的，只有输入本身带小数时才会出现分数

凡是形状像梯形、又要按面积覆盖或报价的东西，都是这一页。屋面是最典型的一种，也是这个形状在工匠的行话里有个专门说法的原因：四坡屋顶、从侧面看的山墙、两个老虎窗之间那一块梯形，算的都是这条式子，而屋面材料是按平方米订的。土地是另一个老用途：两条边平行、另外两条不平行的一块地就是梯形，边更多的地块通常拆成梯形与三角形来量，这正是测量不规则地块自古以来的做法。除了这两样，它出现在任何一头宽一头窄的地方：逐渐收窄的车道、两条岔路之间那块地、吸音板、一段渐扩的风管、梯形的桌面、坝体断面、排水渠。它还值得知道另一个理由，那个理由与梯形本身无关：因为两条底相等时给出平行四边形、一条底为 0 时给出三角形，这同一条式子覆盖了所有有一对平行边的四边形的面积——所以只记住这一条，另外两个就白得了，连矩形也在内。这就是这一页被称为一般情形的意思。

1. 上底 6、下底 10、高 4

   1. 两条底相加：6 ＋ 10 ＝ 16
   2. 折半得到平均宽度：16 ÷ 2 ＝ 8
   3. 乘以高：8 × 4 ＝ 32

   页面打开时就是这一组。它也正好用来说明两条底的顺序不影响结果：把 10 填进上底、6 填进下底，得到的还是 32。两条底在别的运算之前就被加起来，所以这两个框其实谈不上谁是上谁是下——它们只是那两条平行的边。

2. 上底 12、下底 4、高 7

   1. 两条底相加：12 ＋ 4 ＝ 16
   2. 折半：16 ÷ 2 ＝ 8
   3. 乘以高：8 × 7 ＝ 56

   上底比下底长的一个梯形，这不是错误，也谈不上是另一种形状——它只是站在自己长的那条边上。因为两条底在别的运算之前先相加，把 4 填在上面、12 填在下面，得到的同样是 56。两种填法各试一次，看答案纹丝不动。

3. 上底 8、下底 8

   1. 两条底相加：8 ＋ 8 ＝ 16
   2. 折半：16 ÷ 2 ＝ 8
   3. 乘以高：8 × 5 ＝ 40

   平行四边形那一条线。两条底相等时就没有什么可平均的了，这条式子做的正是平行四边形页做的事：底乘高，得 40。折半与取平均恰好互相抵掉，这就是这一页把那一个包含在内、而不是与它争同一个问题的原因。

4. 上底 0、下底 10、高 4

   1. 两条底相加：0 ＋ 10 ＝ 10
   2. 折半：10 ÷ 2 ＝ 5
   3. 乘以高：5 × 4 ＝ 20

   三角形那一条线，也是这条式子的另一端。上底为 0 意味着这个图形已经被挤成一个点，所以它是一个底 10、高 4 的三角形——而三角形页对这两个数给出的正是 20。0 与 10 的平均值是 5，也就是底的一半，三角形自己那一步折半从另一个方向又出现了。

5. 上底 1、下底 9、高 10

   1. 两条底相加：1 ＋ 9 ＝ 10
   2. 折半：10 ÷ 2 ＝ 5
   3. 乘以高：5 × 10 ＝ 50

   窄窄的一条压在大得多的一条上面，收窄的地块或渐扩的风管看上去就是这样。1 与 9 的平均值是 5，而 5 也正是 0 与 10 的平均值——这与上面那一行是同一件事，只是换了一对数来看。这里没有出现小数，也没有任何一步被舍入。

这一页只算面积，别的不算。它不出周长、不出腰长、不出高、也不出角度；也不能由面积反求某个缺掉的尺寸——一个面积本身定不下一个梯形，所以没有东西可以往回解。高是两条底之间的垂直距离，不是某一条腰的长度；手上唯一的测量值如果沿着一条腰量出来，那它填进「高」那一格就是错的。两条底与高要用同一个单位量，答案永远是平方厘米，与下拉框选的是什么无关，所以按英寸量的图形算回来是平方厘米，要读成平方英寸得除以 6.4516。这个图形必须恰好有一组对边平行：一组平行边都没有的一般四边形要拆成三角形来算，而有两组平行边的图形是平行四边形——这一页照样能算出正确的数，但它有自己的页面。画在曲面上的梯形不在范围之内，带梯形面的立体的体积也不在。

哪条底填在哪个框里，有讲究吗？

没有，而且这件事值得先知道。式子在别的运算之前先把两条底加起来，所以 6 与 10 无论谁填在上面，答案都一样。上底比下底长也不是错误——那只是这个梯形倒过来放了。

「高」到底指哪一段？

两条平行的边之间的垂直距离，与两条底都成直角。它不是任何一条腰的长度——图形一斜，腰就比这个距离长。这与三角形那一页是同一条提醒，理由也相同：填一条腰进去会得到一个更大的面积，而它看起来完全合理。

这一页已经覆盖了平行四边形，为什么还要有那一页？

因为想要平行四边形面积的人，大多不会先把它想成「两条底相等的梯形」，让人多绕这一步是没有好处的。两页的结果完全一致：在这里填两条底都是 8、高 5 得 40，而平行四边形页对同一个图形印的也是 40。这点重合是有意留的，两页的参考表各有一行停在那一点上。

有一条底是 0 会怎样？

那这个梯形已经被挤成一个点，它就是三角形，而答案是对的。上底 0、下底 10、高 4 得 20——与三角形页填底 10、高 4 得到的那个 20 一样，因为是同一个图形。0 在这里被当成一个真实的值而不是空框；把框留空是另一回事，那时结果区一个数都不显示。

能由面积反求缺掉的那条底吗？

只给面积不行。一个面积定不下一个梯形——面积相同而边长差别很大的梯形有无数个——所以没有东西可以往回解。如果面积、高与其中一条底都知道，另一条底确实可以由这条式子移项写出来，但那是你自己在纸上做的算术，不是这一页提供的功能。

有两组平行边的图形能用这一页算吗？

能得到正确的数，因为有两组平行边的图形就是平行四边形——而前面已经说过，两条底相等时这条式子正好塌回成「底乘高」，那正是平行四边形的情形。不过那种图形有自己的页面，用那一页通常比把一个矩形当作梯形更清楚。

• Trapezoid——梯形是什么、两条底与两条腰的术语，以及本页算的那条面积公式 — Wolfram MathWorld（美国）
• Parallelogram——两条底相等时梯形变成的那个图形，以及它所塌回成的「底乘高」 — Wolfram MathWorld（美国）
• Quadrilateral——这个图形所属的那一族，以及梯形在其中的位置（相对于平行四边形与矩形） — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；梯形的面积是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部