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梯形计算器

范围：0 cm – 1,000,000,000 cm

范围：0 cm – 1,000,000,000 cm

范围：0 cm – 1,000,000,000 cm

范围：0 cm – 1,000,000,000 cm

结果

28.0000 cm²

面积

周长
24.0000 cm
高
4.0000 cm

梯形计算器要的是梯形的四条边——两条平行的底、两条腰——给出来的是面积、周长和高。梯形是只有一组对边平行的四边形，那一组叫底，另外两条叫腰，而腰正是让它比这个子类里其他图形难算的原因。矩形、平行四边形、三角形都能直接收一个高，因为那个高是能量、能画出来的一条长度；而用四条边描述的梯形里没有高，面积公式偏偏非要它不可——公式是两底的平均值乘以高。所以本页替你做的是中间那一步：两条底平行，于是它们的差与两条腰围成一个三角形，梯形的高就是这个三角形的高。上底 4、下底 10、两条腰都是 5 的梯形可以这样算：两底相差 6，两条腰一样长、各认领 3，斜边 5、底边 3 的直角三角形高是 4。接下来面积就是两底的平均值 7 乘以 4，等于 28 平方厘米，周长是 4 + 10 + 5 + 5 ＝ 24。三个读数里有一个几乎不用算：周长就是四条边相加，它从头到尾用不到高；面积里唯一的难点也只是那个高。值得用这一页而不是自己手算的原因，是那个管着所有三角形的三角不等式：两底之差必须是两条腰能够跨过去的长度。两底相差 6、两条腰都是 3，正好勉强够到，图形退化成一条来回两趟的线，高是 0——这是真答案；两条腰是 3 和 2，就完全够不到 6，这样的梯形根本不存在，页面会直接说明，而不是让根号下面出现一个负数。下面表里收了其中一种：第七行是两条腰相加正好等于底差的梯形——两底 10 与 4、腰 4 与 2——图形压平，面积是 0。另一种收不进表里，因为两条腰够不到底差时根本不存在图形，页面报的就是这件事；也正因为如此，梯形的四条边比看上去要难凑得多。开始之前还有一种退化情形值得知道。两条底一样长时，图形其实是平行四边形，四条边就再也定不住它了：边长为 5、5、6、6 的平行四边形，可以是长 6 宽 5 的矩形，也可以压得几乎贴地，两者四条边完全相同而高完全不同。这种情况本页会拒绝，而不是替你挑一个高。手上是平行四边形，请用 parallelogram-area-calculator，它收底和高；手上是两条底和高、没有腰，请用 area-of-a-trapezoid-calculator，它要的正好是那一对。

不同四条边下的梯形，以及它们各自的高与面积

上底（厘米）下底（厘米）左腰（厘米）右腰（厘米）高（厘米）面积（平方厘米）
41055428
71054434
4745422
010684.824
01013131260
59554.582632.078
4104200
212774.89934.2929

八个梯形，其中「高」这一列正是本页存在的理由——它不是边，任何只给四条边的图纸上都没有它，而这里其余每一列都是输入。第一行是页面打开的默认值，也是 3-4-5 三角形的变装：两条腰都是 5、底差 6，高正好落在中间的 4 上。第二行用不等长的腰 5 与 4 得到同样的高，这就是不等腰梯形的样子——高离开了正中间，面积也跟着变了，尽管高没变。第四行是披着梯形外衣的三角形，上底为 0、两条腰是 6-8-10 直角三角形；第五行是同一类三角形的另一个尺寸——上底同样是 0，但两条腰是 13 与 13、下底 10，也就是 10-13-13 的等腰三角形，高 12、面积 60。第七行是本页接受范围的边界：两条腰 4 与 2 相加正好等于底差 6，高塌成 0、面积也是 0，页面照答而不是拒绝；两条腰再短一点，梯形就完全不存在了。每一格都是页面构建时由它那一行现算出来的，单位是厘米与平方厘米。

公式

A ＝ ((a ＋ b) ÷ 2) × h P ＝ a ＋ b ＋ c ＋ d x ＝ (c² − d² ＋ Δ²) ÷ (2Δ) h ＝ √(c² − x²)

a, b
两条平行的边，以厘米计，也就是梯形的两个底。哪条更长都行，页面只用到它们的差，不在意你把哪条叫上底。它们的平均值 (a ＋ b) ÷ 2 乘以高就是面积，这是整页围绕的那条公式
c, d
两条腰，以厘米计，也就是不平行的那两条边。它们的长度决定了这个图形到底存不存在，因为两条腰合起来必须跨得过两底之差。两条腰不必一样长——一条 5、一条 4 的梯形很常见——一样长时这个梯形叫等腰梯形，高就是腰的平方减去半个底差的平方再开方
Δ
两个底之差 |b − a|，以厘米计。它是两条腰与两个底围成的那个三角形的底边，也是决定你落在三种情形里哪一种的量：够得到、刚好够到、还是够不到。它等于 0（两底相等）时图形是平行四边形，四条边定不出高，所以本页报错而不是给出一个答案
x
高落在这个底差上的位置，以厘米计：从底差的一端到垂足的距离。它由三边为 c、d、Δ 的三角形用余弦定理得出，本页拿它只是为了求高。它有可能落在 0 到 Δ 之外，那说明有一条腰往外斜、越过了较短那个底的端点——图形仍然是梯形，算式照样成立
h
梯形的高，以厘米计：两条平行的底之间的垂直距离，也就是面积公式要的那个数。它等于 √(c² − x²)，保留四位小数。因为它是「平方之差开根号」，两条腰跨不过底差时根号下面的数就会变成负的——本页因此先检查三角不等式，而不是让根号返回一个没有意义的数
A, P
面积（平方厘米）与周长（厘米）。面积是两底的平均值乘以高，也就是两底之和的一半乘以高——一个梯形与一个高相同、宽等于两底平均值的矩形，盖住的面积是一样的。周长是四条边相加，完全不涉及高

手上只有四条边的时候用这一页。地块是最常见的情形：一块有两条平行边、另外两条不平行的地，沿着边界用卷尺量一圈，两条平行边和两条腰都能量，唯独垂直的高量不了——那得横穿地块量过去，在地势有起伏或者有作物的时候恰恰做不到。按图纸裁的板材也是如此，图纸给的是四条边而不是高。它还适合用来核对别人给的尺寸：四条边填进去，看看它们到底能不能围成一个梯形。表里第七行就是这种核对的样子——两底 10 和 4、两条腰 4 和 2，高是 0，因为差值 6 正好是两条腰相加的结果，图形已经压平了；任何一条腰再短一点，页面就会报错。手上是两个底和高、没有腰，请用 area-of-a-trapezoid-calculator，它直接收那一对，省掉中间那一步。两个底一样长时图形是平行四边形，请用 parallelogram-area-calculator，因为这时本页的四条边定不出图形。较短那个底是 0 的时候请用 triangle-area-calculator——三角形就是一条底为 0 的梯形，表里第四行正是这样找到的 6-8-10 直角三角形，面积 24。

算例

  1. 两底 4 与 10、两条腰都是 5

    1. 两底之差：10 − 4 ＝ 6
    2. 两条腰一样长，各认领一半：6 ÷ 2 ＝ 3
    3. 高：√(5² − 3²) ＝ √(25 − 9) ＝ √16 ＝ 4
    4. 两底的平均值：(4 ＋ 10) ÷ 2 ＝ 7
    5. 面积：7 × 4 ＝ 28
    6. 周长：4 ＋ 10 ＋ 5 ＋ 5 ＝ 24

    页面打开的默认值，也是最好手算核对的一行，因为这几个数就是 3-4-5 直角三角形的变装：腰 5、半个底差 3，高正好是 4。高也正是四条边里读不出来、必须靠这一页算出来的那个量。把面积与一个高相同、宽为 7（两底平均值）的矩形比一比，也是 28 平方厘米——这是理解公式为什么把两底先加起来再取一半最直观的方式。

  2. 两底 7 与 10、两条腰 5 与 4

    1. 两底之差：10 − 7 ＝ 3
    2. 两条腰不等，差值分得不均匀：(25 − 16 ＋ 9) ÷ (2 × 3) ＝ 18 ÷ 6 ＝ 3
    3. 高：√(25 − 9) ＝ √16 ＝ 4
    4. 两底的平均值：(7 ＋ 10) ÷ 2 ＝ 8.5
    5. 面积：8.5 × 4 ＝ 34
    6. 周长：7 ＋ 10 ＋ 5 ＋ 4 ＝ 26

    不等腰的梯形，两条腰长度不同，高落的位置也不在底差的正中间。这一行的结果是那条 4 厘米的腰竖直立在两个底右端点之间——x 算出来等于整个差值 3，另一条腰一点都没分到——这正是不等腰造成的，高于是正好等于那条腰自己的长度。高照样是 4，所以这一行与第一行高相同而面积不同，28 与 34 平方厘米，差别全部来自两底。这提醒我们：梯形的四条边是一起使劲的——同一个高 4 架在两对不同的底上，面积就不一样，定死面积的是四条边合起来，而不是高单独一个。

  3. 两底 0 与 10、两条腰 6 与 8

    1. 两底之差：10 − 0 ＝ 10
    2. 两条腰不等：(36 − 64 ＋ 100) ÷ (2 × 10) ＝ 72 ÷ 20 ＝ 3.6
    3. 高：√(36 − 12.96) ＝ √23.04 ＝ 4.8
    4. 两底的平均值：(0 ＋ 10) ÷ 2 ＝ 5
    5. 面积：5 × 4.8 ＝ 24
    6. 周长：0 ＋ 10 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 24

    披着梯形外衣的三角形：一条底是 0 时图形就闭合成三角形，这里的数正是 6-8-10 直角三角形，面积 24 平方厘米与 triangle-area-calculator 给的是同一个答案。算式也在提醒这件事——一条底为 0 时两底的平均值就变成另一条底的一半，那正好是三角形公式里的系数。有一条边长度为 0 时，周长就是另外三条相加，这里也恰好是 24，是这几个数的巧合而不是规律。

  4. 两底 4 与 10、两条腰 4 与 2

    1. 两底之差：10 − 4 ＝ 6
    2. 两条腰相加：4 ＋ 2 ＝ 6，正好等于差值
    3. 高：两条腰刚好跨过差值，没有余量，高是 0
    4. 两底的平均值：(4 ＋ 10) ÷ 2 ＝ 7
    5. 面积：7 × 0 ＝ 0
    6. 周长：4 ＋ 10 ＋ 4 ＋ 2 ＝ 20

    本页接受范围的边界，也是它为什么要在开根号之前先检查两条腰。这里两条腰相加正好等于两底之差，于是两条腰都平躺在较长的那条底上，两个底叠在一起，图形围不出任何面积。页面照答 0 而不是拒绝，因为这四条边确实描述了一个图形——一个压平的图形。任何一条腰再短一厘米，这样的梯形就完全不存在了，那才是报错的情形：根号下面出现负数不是高。

局限

本页由四条边求梯形的面积、周长和高，别的都没有。它不给各角、对角线、中位线的长度，也不给高落在底上的位置——这些其实都由四条边定死，页面只是不报，其中对角线还需要把本页内部已经做过一次的三角形运算再做一遍。它不能反着算：从面积回不到产生它的四条边，而给定面积的梯形有无穷多种四条边的写法。无论输入用什么单位，输出都按厘米与平方厘米打印，因为下拉框会先把每条边换算成厘米。页面假定图形是只有一组对边平行的梯形，而且你填在两个「底」上的那两条边就是平行的这一组——把一条底和一条腰填反了，页面会算出另一个图形的高而且不报任何错，因为四个数只要与底差构成合法三角形就总有答案。两条底都按非负长度处理。两底相等时页面报错而不是作答，这是有意的，但值得知道：那种情况下图形是平行四边形，它的高确实不由四条边决定，硬给一个数就是编一个。除了错误信息以外，页面不会告诉你落在三种退化情形中的哪一种：高为 0 的压平梯形照答，两条腰跨不过底差的直接拒绝，而这两者之间只差一条腰上的一个厘米。四位小数是这个子类面积页共用的显示宽度而不是精度声明——边长只量到整厘米，高的变化就超过第四位小数。这里也不计损耗、锯缝和地势起伏，所以给出的是图形的面积，不是要订的材料量。

常见问题

知道四条边，怎么求梯形的面积？
先求高，再用两底的平均值乘以它。两个底相差 Δ，这个差与两条腰围成一个三角形，梯形的高就是这个三角形的高。上底 4、下底 10、两条腰都是 5 的梯形：差是 6，每条腰认领 3，高是 √(25 − 9) ＝ 4，两底平均值是 7，面积就是 28 平方厘米。
为什么有些四条边会被拒绝？
因为大多数四条边根本围不成梯形。两条腰必须跨得过两个底的差，就像三角形里两条短边必须跨得过最长的那条边。两底 10 与 4 相差 6，两条腰是 4 和 2 时刚好够到，高是 0；两条腰是 3 和 2 就完全跨不过 6，这样的图形不存在。页面会把这个情况说明白，而不是让根号返回一个负数。
两个底一样长的时候会怎样？
那时图形其实是平行四边形，四条边再也定不住它。边长 5、5、6、6 可以是长 6 宽 5、高为 5 的矩形，也可以压得几乎贴地、高接近 0——四条边完全相同，面积却不同。本页会报错，而不是替你挑一个高。这一问该找 parallelogram-area-calculator，它收的是底和高，能直接给出答案。
等腰梯形是什么，算起来省事在哪？
两条腰一样长的梯形。这种情况下底差平均分给两条腰，一条腰和半个底差正好构成直角三角形，高等于 √(腰² − (Δ ÷ 2)²)。两底 4 与 10、两条腰相等时，差是 6，一半是 3，腰是 5 就得到 √(25 − 9) ＝ 4。表里第一行就是这种情形，图形左右对称——两个底角相等，两条对角线也相等。
三角形算不算梯形的一种？
从算式上看算，只要有一条底取 0。这时两底的平均值变成另一条底的一半，面积公式就退化成底乘高的一半，也就是三角形公式。上底填 0、两条腰 6 和 8、下底 10，页面给出 24 平方厘米，与 triangle-area-calculator 对 6-8-10 三角形的答案一致。三角形到底算不算梯形是个定义问题，公式本身不在乎。
为什么高不是四条边里的某一条？
因为在梯形里它根本不是边——它是两条平行底之间的垂直距离，落在图形内部而不是边界上。这是唯一一个沿着边缘拉卷尺量不出来的量，也正是这一页有用的原因：它从你能量的四条边把高推出来。只有在一条腰同时垂直于两个底的退化情形下，高才等于那条腰的长度。

参考资料

相关计算器

梯形面积计算器由两条底边和高求梯形的面积，附公式。平行四边形面积计算器由底、高和斜边求平行四边形的面积与周长。三角形面积计算器由底边与对应的高求三角形的面积。矩形计算器由长和宽求矩形的面积、周长与对角线。