正弦定理计算器

a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C sin B = b · sin A ÷ a C = 180° − A − B c = a · sin C ÷ sin A

a 与 A

已知的一条边与它对面的角。这两个是定下整个三角形比值的两个量，缺了它们这条定理无从下手

b

已知的第二条边。解的个数由它决定：整个「可能有两个解」的情形，说的就是它的长度与 a 谁长谁短

B

b 对面的角。由比值取反正弦，得到的永远是零到九十度之间的那个锐角；当它的钝角伙伴也放得进一个平角时，就有第二个三角形用那个角

C 与 c

第三个角与第三条边，都要等 B 定下来之后才算：角由一百八十度减掉另外两个得到，边用同一个比值换出来

手里是两条边与一个不是夹在中间的角时用它：两个方位角加一段隔水相望的距离、导线测量里角在远端的那两条边，都是这种形状。它是余弦定理接不顺手的唯一一种边角组合，也是唯一一种答案可能是「选择」而不是「量值」的组合——所以本页先给解的个数。如果条件允许两个三角形，除了边长还要看角：测的人通常知道面前那个角是尖的还是钝的，这一件事就足以定下是哪一个。已知三边、或者已知两边与它们的夹角，去余弦定理那一页，那边没有二义性。只解一个直角三角形，去直角三角形那一页更快。

1. 两边与一个张得开的角度：6、三十度、8

   1. 共用的比值是 a 除以 A 的正弦，也就是 6 除以 0.5，等于 12
   2. B 的正弦是 b 除以这个比值，8 除以 12，等于 0.6667
   3. 正弦为 0.6667 的角是 41.81 度；而它的补角 138.19 度有同样的正弦，两个都是候选
   4. 角 C 是一个平角剩下的部分：180 减 30 减 41.81 等于 108.19
   5. 边 c 用同一个比值换出来，12 乘以 108.19 度的正弦，等于 11.4

   页面打开时就是这组条件，也是「可能有两个解」最标准的图：第二条边比第一条长，所以它往哪一侧摆都能合拢，两个三角形都成立。下面四个读数描述的是用锐角 B 那个三角形——第二条边往后靠的那一个。另一个三角形用的是 41.81 度的钝角伙伴，也就是 138.19 度，它排在下面那张表最后一列；那个三角形的第三个角只有 11.81 度，而不是这里印的 108.19 度。两个都是同一组条件的正确答案。

2. 同一个角、第二条边短一些：8、三十度、6

   1. 共用的比值是 8 除以三十度的正弦，等于 16
   2. B 的正弦是 6 除以 16，等于 0.375
   3. 正弦为 0.375 的角是 22.02 度；它的补角 157.98 度再加上 A 的三十度已经超过一个平角，放不下，所以只有锐角那个解成立
   4. 角 C 是 180 减 30 减 22.02，等于 127.98
   5. 边 c 是 16 乘以 127.98 度的正弦，等于 12.61

   把两条边换个位置，二义性就没了：6 比 8 短，第二个位置已经合不拢，只剩一个三角形。解的个数从两个掉到一个，而条件的种类没有变——这正是把个数排在第一个的意义：同样三样输入，只因为两条边的长短关系不同，答案就不一样。留下的是 C 为钝角的那一个（127.98 度），因为第二条边短了之后，图形要靠延伸得更远来收拢。

3. 正好够到的那一端：5、三十度、10

   1. 共用的比值是 5 除以三十度的正弦，等于 10
   2. B 的正弦是 10 除以 10，正好是 1
   3. 正弦为一的角被定死在九十度，没有第二个可能，因为零到一百八十度之间再没有别的角有同样的正弦
   4. 角 C 是 180 减 30 减 90，等于 60；边 c 是 10 乘以六十度的正弦，等于 8.66

   第二条边正好够到一次：它垂直落在第三条边上，三角形是一个 B 恰好为九十度的直角三角形。这是「没有解」与「两个解」的分界，值得看看从下面越过它是怎么回事——边长一旦比它大一点点，两个解立刻一起出现，一个刚过九十度、一个不到九十度，随后随着边长变大而分开。在正好相等这一点上只有一个解，而它的正弦正好等于 1，没有舍入。

4. 直角是给出来的，而不是算出来的

   1. 共用的比值是 10 除以九十度的正弦，也就是 10 本身
   2. B 的正弦是 6 除以 10，等于 0.6，得到 36.87 度
   3. 角 C 是 180 减 90 减 36.87，等于 53.13
   4. 边 c 是 10 乘以 53.13 度的正弦，等于 8

   这里的直角是条件里给的，不是算出来的，共用的比值于是变成斜边除以一，也就是斜边本身。从这个比值出发，正弦定理直接把两个锐角给出来，第三条边正好是 8——一个干净的数，因为这不过就是 3、4、5 放大两倍。这也是对本页的一次验算：只要直角对面的那条边是三条里最长的，所有的数都该与勾股定理一致，这里正是如此。

三件要说清楚的事。第一，面板只印一个三角形，不是两个。解的个数为 2 时，下面四个读数属于较小那个角 B 对应的三角形，钝角的那个伙伴排在参考表最后一列，而不在面板里——面板只有一处放答案的位置，摆不下并列的两套数，所以取了较小的那个角并把另一个指出来。第二，条件本身要先说得通：给出来的角必须严格在零度与一百八十度之间；第二条边如果短到够不着第三条边，就没有三角形，本页如实说明而不是编一个出来。零度与正好平角这两个值一律拒答，而不是拿近似值代替，因为一个角为零的三角形根本没有形状可解。第三，读数给到两位小数，而对很大的三角形来说这个位数已经没有意义：边长到了几亿厘米这个量级，双精度数本身早就带不动百分位了，所以那么大的图形里，印出来的边长小数只当作参考。角度没有这个问题，因为无论是多大的三角形，一百分之一度还是一百分之一度。

什么叫「两边一对角」的两个解？

就是两边与一个不是夹在中间的角能定出两个不同的三角形。那个角定下了其中一条边的方向，却没定下另一条边往哪边摆，所以第二条边可以往后靠、早早合拢，也可以往前摆、合得更远——一个三角形小、把钝角留在别处，另一个大、把那个锐角换成钝角。两者用的都是同一组条件。本页先数出有几种可能，再把锐角那一个算出来，因为第二个位置存不存在要看两条边的长短关系。

怎么判断是一个解还是两个解？

把第二条边乘以已知角的正弦、再除以第一条边：得数大于一就没有三角形，因为没有任何角的正弦超过一；小于一就得到了那个锐角，而只要它的钝角伙伴与已知角加起来还不到一百八十度，第二个三角形就存在。本页把这套比较做完了，并把解的个数当成第一个答案印出来。

两个解的时候，计算器给我看的是哪一个？

是较小那个角 B 对应的三角形，也就是第三个角较大的那一个。面板先印解的个数，再印这个三角形的四个读数；B 的钝角伙伴排在参考表的最后一列，两个都在页面上。只显示一个而不是两个，是因为结果面板只有一处放答案的位置——并列印两套四个数、又没有地方标注，比印一个加指出另一个更糟。

为什么零度和一百八十度会被拒答？

因为一个角为零的图形不是三角形，而是一条线段上多了个点，对着零角的那条边也只能是零。这两个值在「形状还存在」的边界上，而不是在算式的边界上，所以本页据实说明，而不是返回一个零角加一条零边、看起来像个解的东西。中间的角度都收，包括非常接近两端的那些——那时三角形会变得又长又扁，但仍然是真正的三角形。

什么时候用正弦定理，什么时候用余弦定理？

手里有一条边与它对面的角、再加一个条件，用正弦定理；手里有三边，或者两边与它们的夹角，用余弦定理。真正决定的是「两边与一个不是夹在中间的角」这一种：那是本页的形状，也是余弦定理做起来别扭的一种，因为它要解一个二次方程。它同时还是带二义性的那一种，所以本页把解的个数放在最显眼的位置。

为什么印出来的边长只有两位小数可信？

两位小数是这一页的舍入位数，对普通的三角形来说，这个位数远在双精度数能给的范围之内。但很大的三角形就不是了：边长到了几亿，数字本身的精度早就用完了，那种读数的最后几位只是跟着印出来，而不是量出来的。角度没有这个问题，因为不管三角形多大，一百分之一度都还是一百分之一度。

• Law of Sines — 一条边与它对角的正弦之比在三角形里恒定，以及这个关系在什么条件下会给出两个三角形 — Wolfram MathWorld（美国）
• Law of Cosines — 与之配套的另一条定理，以及本页接不顺手的那个形状归谁处理 — Wolfram MathWorld（美国）
• Triangle — 三角形不等式、大边对大角这条规则，以及已知部分条件而三角形并不唯一的情形 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；锐角三角函数与解直角三角形是义务教育阶段「图形的性质」的内容，正弦定理属于高中阶段的内容，不在该附件的学段要求之内，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部