余弦定理计算器

a² = b² + c² − 2bc·cos A cos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc A = arccos((b² + c² − a²) ÷ 2bc)

a、b、c

三角形的三条边，单位随意，但三条要用同一个。a 是角 A 对面的那一条，另外两条按同样的方式对应

A

a 对面的那个角，也就是这个写法解出来的角。另外两个角把字母轮换一遍，用同一个公式得到

cos A

这个角的余弦，三条边能直接给出的就是它。从余弦换回角度是另一件事，也正是这一步把结果限制在零到一百八十度之间

2bc

夹角两边乘积的两倍。这一项就是勾股定理里没有的那个修正项，也是这条定理在没有直角时仍然成立的原因

手里是一个三角形的三条边、要的是它的角时用它：沿边界量过三边的地块、按三段长度切出来的支架、地图上能走完三条边却看不到角的位置。两页解三角形的工具里，只有这一页不需要先知道任何角，而这恰好是正弦定理帮不上忙的时候。它也是动手之前判断三条长度能不能围成三角形最快的办法：填进去，要么出来三个角，要么直接告诉你哪条边太长。手里是两条边与它们夹的那个角，那是「两边夹一角」，归隔壁解三角形那一页，用的是同一条定理的另一头。要的是面积而不是角，三条边也正是海伦公式需要的全部。手里是一条边与两个角、或者两条边与一个不是夹在中间的角，就该去正弦定理那一页。

1. 三、四、五，其中一个角正好是直角

   1. 取长度为 5 的那条边对面的角
   2. 另外两条边的平方加起来是 9 加 16，等于 25
   3. 修正项是 3 乘 4 乘 2 再乘这个角的余弦；要让整个式子等于 25，这个角的余弦只能是零，所以它是 90 度
   4. 另外两个角用同一个公式把字母轮换一遍，得到 36.87 与 53.13

   页面打开时就是这三条边，也是每个读者都见过的那组数。这一行是余弦定理与勾股定理重合的地方：直角的余弦是零，修正项整个消失，公式退回到定理本身。两个锐角这一对说明了本页可信的地方——它们正好加起来是 90 度，第三个角是干净的 90，没有舍入的痕迹。

2. 等边三角形，一个数都没有被舍掉

   1. 三条边相等，所以三个角也相等
   2. 三个角加起来是一百八十度
   3. 一百八十除以三正好是 60，三个读数都没有小数被丢掉

   三条边相等，三个角也相等，而它们又要加起来等于一个平角，所以每个角正好是六十度——这是下面那张表里唯一一行三个读数都是精确值、而且没有一个是零的情形。它同时也是对公式的一次验算：这一行的修正项是 5 乘 5 乘 2 再乘六十度的余弦，等于 25，而 25 加 25 减 25 还是 25，正好是第三条边的平方。公式自己和自己对上了。

3. 钝角三角形，三条边是 2、3、4

   1. 先取最长的那条边对面的角，它才有可能超过九十度
   2. 另外两条边的平方加起来是 4 加 9，等于 13
   3. 减去最长边的平方 16，得到负 3
   4. 除以另外两条边乘积的两倍，也就是 12，余弦是 −0.25
   5. 余弦为 −0.25 的角是 104.48 度，另外两个角跟着是 28.96 与 46.57

   最长的那条边对面的角就是钝角，这是一条规则而不是巧合：大边对大角，而某条边一旦长过另外两条边平方和的平方根，对着它的那个角就过了直角。这里 4 比 13 的平方根还长，所以它对面的角是 104.48 度。留意三个读数加起来是 180.01，比一个平角多了一百分之一度，因为每个角是各自舍入的——下面限制一节说的就是这件事。

4. 刚刚放得下的三条边：3、4、7

   1. 三加四等于七，正好是最长边的长度
   2. 修正项取到极端，最长边对面的那个角的余弦等于负一
   3. 余弦为负一的角是一百八十度，另外两个角塌成零

   七正好是三加四，三角形一点空间都不剩了：两条短边平摊在最长的那条上，整个图形是一条直线，两个顶点塌到了线上。这是三角形不等式允许的边界，本页把它印出来而不是拒掉，因为它是一个真实的极限——三个角确实趋向 0、0、180。把任意一条短边加大一点点，一个真正的三角形就出现了，正角随着两边的分开而变大；把它缩小一点点，本页就会说这三条边凑不成三角形。

三件要说清楚的事。第一，三个角是从三条边各自独立算出来的，每个都舍入到两位小数，所以它们加起来常常是 180.01 或 179.99 度，而不是正好一个平角——上面第三个例子的 2、3、4 就多了一百分之一度。另一种做法是先算两个角、第三个角用一百八十度减出来，那样永远正好是一百八十，但对称性会从另一头破掉：两条腰都是 3、底边 3.3 的等腰三角形，两个底角都是 56.63 度，那样算出来会印成 56.63 与 56.64——因为第三个角是从两个已经舍入过的数里减出来的。相比之下，一百分之一度的漂移是更小的那个谎。第二，三条边必须满足三角形不等式：每一条都短于另外两条之和。不满足的输入本页直接拒掉；正好取等的那一端照收，得到的是一条压平的直线，三个角是 0、0、180。第三，本页不印边长也不印面积。边不是缺失——它就是读者填进去的三个数，而三条边已经把这个三角形定死了，没有更多可报的。要的是面积，那是同一组数算出来的另一个东西。

余弦定理是用来做什么的？

做勾股定理做不了的两件事。一是已知三边求角，也就是本页在做的事：勾股定理只有在其中一个角已经是直角时才能给出角，多出来的那个修正项才让它在别的三角形里也成立。二是已知两边与它们的夹角求第三边，隔壁解三角形那一页用的就是这一头。两个方向是同一个等式从两头读。

为什么三个角加起来是 180.01 而不是 180？

因为每个角都是从三条边单独算出来再舍入到两位小数的，三次独立的舍入不一定会互相抵消。这不是错，也不说明这个三角形不成立，只说明印出来的每个角与真值相差不超过一百分之一度。另一种做法——先算两个角、第三个角用一百八十度减出来——永远正好等于一百八十，但它是先舍入两个角、再从舍入后的数里减出第三个，于是两个本来就相等的角会印成 56.63 与 56.64（两条腰 3、底边 3.3 的等腰三角形就是如此），那是往另一个方向的更大的谎。

任意三条边长都能围成三角形吗？

不能。每一条边都要比另外两条加起来短，这就是三角形不等式：两个顶点之间最短的路是直接连起来的那条边，绕第三个顶点走不可能更短。某条边比另外两条之和还长，本页会直接拒答，而不是给出一个不可能的角。如果正好相等，三角形是压平的，三个角读作 0、0、180，本页收下这个输入，因为那是真实的边界而不是笔误。

为什么本页给三个角，却不给边长？

因为三条边是输入。已知三边的三角形是完全确定的——除了平移和旋转，它的形状只有一种——把边再印一遍等于重复读者刚填进去的东西。本页补上的是原本看不到的那部分：三个顶点在哪里，也就是三个角。同一组数还能算出面积，那是另一个工具的事。

怎么知道这个三角形有没有钝角？

看最长的边。它的平方如果大于另外两条边的平方和，对着它的角就是钝角；两者相等时那个角正好是直角；小于时三个角都是锐角。上面例子里的 2、3、4 就是钝角那一种——十六比十三大——而变成钝角的永远是最长的边对面的那个角，因为大边对大角。

什么时候该用余弦定理，什么时候用正弦定理？

已知三边，或者已知两边与它们的夹角，用本页这一条。已知一条边与它对面的角、再加上另一个条件，用正弦定理，因为那才是「边比对角的正弦」这个比值需要的信息。两页真正重叠的情形是「两边与一个不是夹在中间的角」，那时正弦定理更好用——也正是那种情形下三角形可能有两种形状，而本页从来不需要担心这件事。

• Law of Cosines — 三角形三边与其中一个角的余弦之间的关系，以及它退化回勾股定理的情形 — Wolfram MathWorld（美国）
• Triangle — 三角形不等式、大边对大角这条规则，以及退化三角形这几种情形 — Wolfram MathWorld（美国）
• Trigonometric Functions — 正弦、余弦与正切的定义与值域，以及为什么由一个余弦换回角度只能得到零到一百八十度之间的值 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；锐角三角函数与解直角三角形是义务教育阶段「图形的性质」的内容，余弦定理属于高中阶段的内容，不在该附件的学段要求之内，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部