三角函数计算器
结果
正弦
- 余弦
- 0.8660
- 正切
- 0.5774
三角函数计算器收一个角，给出它的正弦、余弦与正切。填上角度、选好单位，页面一次把三个数都给出来——描述这个角落在哪儿的三个数。正弦与余弦其实是同一个点的两个坐标：画一个半径为一、圆心在原点的圆，从 x 轴正半轴开始逆时针转过这个角，停下来那个点有横坐标与纵坐标，它们就是余弦与正弦。正切是这两个数相除的比值，正弦除以余弦，也等于从原点连到那个点的直线的斜率。正因为正切是一个比值而不是一个坐标，它有一件另外两个函数永远不会做的事：它会断。余弦为零的地方——直角处、四分之三圈处——没有东西可除，所以那里的正切不是「一个很大的数」，而是没有值。本页把这两个角拒掉并说明是哪两个，不会印一个巨大的数让人自己去猜它其实是什么意思。下面那张表列了十二个角上的三个函数值，一圈分四份，让规律自己显出来，而不是靠人相信一次读数。超过一整圈的角在这里是正常输入：三百九十度和三十度是同一个角，页面就按同一个角来读。任意角的读数都印四位小数——够拿去和课本对一遍，也诚实地承认这里大多数角的精确值是根号与分数，没有任何小数写得完。
圆周上十二个角的正弦、余弦与正切
| θ（度） | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | 0.5 | 0.866 | 0.5774 |
| 45 | 0.7071 | 0.7071 | 1 |
| 60 | 0.866 | 0.5 | 1.7321 |
| 90 | 1 | 0 | — |
| 120 | 0.866 | -0.5 | -1.7321 |
| 135 | 0.7071 | -0.7071 | -1 |
| 150 | 0.5 | -0.866 | -0.5774 |
| 180 | 0 | -1 | 0 |
| 210 | -0.5 | -0.866 | 0.5774 |
| 270 | -1 | 0 | — |
| 330 | -0.5 | 0.866 | -0.5774 |
十二个角、一圈分四份，而正切那一列里的两道破折号就是这张表的重点：九十度与二百七十度上正切没有值，页面用一道破折号说出来，而不是拿一个大数糊过去。正弦那一列从最上面读起，前四分之一圈从零爬到一，到半圈落回零，接着变负再回来——每一圈走一个完整的波。余弦那一列是同一个波，早了四分之一圈。正切不一样：它的周期是半圈而不是一整圈，所以零度到一百八十度那四行已经是它的全部故事。还要看两个读数在哪里交叉：九十度上正弦到顶、余弦落到零，而正切正是这两个数的比值，这就是那个角成为极点的原因。
公式
sin θ = 对边 ÷ 斜边 cos θ = 邻边 ÷ 斜边 tan θ = sin θ ÷ cos θ
- θ
- 这个角，可以用度也可以用弧度。它可以是负的，也可以超过一整圈——只有它落在圆上的位置有意义
- 对边 / 邻边
- 含角 θ 的直角三角形里的两条直角边：θ 对面的那一条，和挨着 θ 的那一条。斜边取一时，它们就是正弦与余弦读出的那两个坐标
- 斜边
- 直角三角形里最长的那条边，也就是直角对面的边。拿它作除数，正是正弦与余弦被压在正负一之间的原因
本页回答的是同一个问题的三种问法：已知一个角，它的正弦、余弦与正切分别是多少？手里已经有角的时候用它——你知道坡度的度数、想要它的斜率；你知道一个相位是多少弧度；你正准备把一个方向拆成分量——而你要的是三个三角函数值一起给，不是一次给一个。下面那张三角函数值表也是为这件事准备的：真正会遇见的角大多是那十二个之一，三个函数并排放在一行里，才看得出三十度的正弦与六十度的余弦是同一个数。想看的其实是圆上那个点，就去单位圆那一页；手里是两条边而不是一个角，就去直角三角形那一页。反过来，手里是一个比值、想要角（正弦等于 0.5 的那个角是多少），那是反三角函数的方向——本页的正弦、余弦、正切给不出角，那件事由反三角函数那几页做。
算例
三十度的角
- 这个角在第一象限，所以三个读数都是正的
- 半径为一的圆上，三十度对应的点是 (√3/2, 1/2)
- 于是余弦是 √3/2、正弦是 1/2，正切是两者之比 √3/3
页面打开时就是这个角，也是下面那张表的第一行。精确值是二分之一、二分之根号三与三分之根号三；这里印的是它们各自保留四位小数的结果，其中 0.5774 值得多看一眼——它是根号的三分之一，不是循环小数。
四十五度的角
- 四十五度时点落在直线 y = x 上，两个坐标相等
- 两个坐标相等意味着正弦与余弦是同一个数，都是 √2/2
- 两个相等的数相除正好是一，所以这里的正切是精确值
九十度以下唯一一个正切是精确值的角——是一，不是 0.9999。正弦与余弦都是 0.7071，而这是第一象限里 45 度之后两者能达到的最大值：过了这个角，正弦继续往上爬、余弦开始往下掉。它也是唯一一个「正弦除以余弦」除得干干净净的角。
第二象限的角，一百三十五度
- 一百三十五度是直角再过去四十五度，点落在第二象限
- 它的纵坐标仍然是正的，所以正弦仍然是 0.7071
- 横坐标已经变成负的，所以余弦是 −0.7071
- 正切是一个正数除以一个负数，因此是负的
这个算例是为了看符号。一百三十五度的正弦与四十五度的正弦完全一样，余弦翻了号，正切跟着一起翻。把下面那张表从上往下读：正弦那一列前两个象限是正的、后两个是负的；余弦那一列在九十度换号；正切那一列也在九十度换号——而九十度正是它断掉的地方。
局限
三件本页不做的事。第一，它从角读出比值，不会反着走。手里是 0.5、想知道正弦等于它的角是多少，这一页不会告诉你——那是反三角函数那几页的活，而它确实是一个不同的问题、也有不同的答案集，因为正弦等于 0.5 的角不止一个。第二，直角与四分之三圈的正切是「拒绝」而不是近似，凡是能化简到这两个角的角一律同样处理，包括负角与超过一整圈的角。这个处理方式是诚实的，代价是四百五十度会被拒——而对正弦与余弦来说，四百五十度是完全正常的角。第三，读数只给四位小数。表里那十二个角上，四位小数看不出精确值——三十度的余弦在这里是 0.866，精确值是二分之根号三——而且再多位也看不出来，因为那些角上的精确值是根号与分数，是无理数。表面印的是小数；要根号本身，去看特殊角精确值表。
常见问题
- 为什么九十度的正切没有答案？
- 因为正切是正弦除以余弦，而九十度时余弦是零。点转到了圆的最上方，横坐标为零，没有东西可除。诚实的说法是那里正切没有值——不是它非常大。这个角上的正弦与余弦都有明确定义，一和零，下面那张参考表里仍然把它们列着。
- 角度填的是度还是弧度？
- 都可以——输入框旁边有单位选择，选哪一种，读出的都是同一个角。三十度与 0.5236 弧度给出的三个数在四位小数上完全一样。差别只在拿它去和资料对的时候：默认按度说话的资料是绝大多数，一份写着「三十度的正弦是二分之一」的课本说的就是度。
- 下面那张三角函数值表是干什么用的？
- 十二个角，一圈分四份，每一行放着三个函数。这十二个角合起来覆盖了三个函数能取到的全部符号组合、正切的两个极点、以及四个象限。一列一列往下读，每个函数的形状就出来了：正弦爬到一再落回来，余弦是同一个形状平移了一截，而正切的周期是半圈而不是一整圈。
- 角可以是负的，或者大于三百六十度吗？
- 都可以，而且两个都不是特殊情况。负角是顺时针转，落在的位置与它加上一整圈那个正角相同：负三十度与三百三十度是同一个角，三个读数完全一样。超过一整圈就是继续转下去——三百九十度又是三十度。有意义的只有最后落在哪儿，所以计算器先把角归一，再读出三角函数值。
- 这一页和单位圆那一页有什么区别？
- 两页共用一个字段，而且逐位相等，这是刻意的——它们本来就是拿来互相核对的。区别在展示的东西：单位圆那一页是围着图来讲的，半径为一的圆上那个点、它的坐标、以及特殊角的精确值；本页是围着函数与那些不好画的角来讲的——负角、超过一整圈的角，以及正切根本没有值的那两个角。
- 为什么只印四位小数？
- 因为四位够把课本上的答案和算错的答案分开，再多下去，那些位已经不是关于这个角的信息了。表里大多数角的精确值是根号和分数，它们的小数展开既不终止也不循环——三十度的余弦是二分之根号三，而 0.8660254037844386 只是它的一个截断。多印几位只会暗示这个角有它其实没有的精度。
参考资料
- Trigonometric Functions — 正弦、余弦与正切的定义、它们的定义域，以及为什么余弦为零的地方正切没有定义 — Wolfram MathWorld（美国）
- Sine — 单位圆上读出纵坐标的那个函数、它的周期，以及它在特殊角上取的值 — Wolfram MathWorld（美国）
- Tangent — 另外两个函数相除得到的那个比值、它的周期是半圈而不是一整圈，以及它在九十度与二百七十度上的极点 — Wolfram MathWorld（美国）
- Sine, Cosine and Tangent — 从直角三角形出发把三个比值讲一遍，特殊角是推出来的而不是背下来的 — Math is Fun（英国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；锐角三角函数在九年级的定位、正弦余弦正切三个名称与特殊角的要求，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部