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CalcMax

单位圆计算器

范围：-1,000,000 ° – 1,000,000 °

结果

0.5000

正弦

余弦
0.8660
正切
0.5774

单位圆计算器收一个角，回给你它的正弦、余弦与正切，办法是在一个半径为 1 的圆上把它们读出来。想象一个半径 1、圆心在原点的圆画在方格纸上。拿你手上这个角，从 x 轴正半轴开始逆时针转这么多；你落到的那个点有坐标，而那两个坐标就是答案。横坐标是余弦、纵坐标是正弦——这不是巧合，也不是后来加上的约定，这两个函数本来就是这两个坐标。正切是两者的比值，纵坐标除以横坐标，所以它显得不一样：它不是坐标，而是一个斜率，而斜率在竖直的地方是要出问题的。直角那里就是这样，四分之三圈那里也是，点转到了圆的最上端或最下端，横坐标成了零。除以零没有答案，所以九十度的正切不是一个非常大的数——它根本不是数，这一页会直说，而不是印一个巨大的东西出来。这是全页唯一拒绝的地方，而值得知道的是正弦与余弦在那里完全正常：九十度时点在圆的最上方，正弦是 1、余弦是 0。另一件值得知道的事是：角并不局限在一圈之内。多转一圈，或者往回转到负角，照样落在圆上某个点，而既然真正要紧的只有那个点，三百九十度给出的三个读数就与三十度一模一样。

特殊角上正弦、余弦与正切的精确值

θ（度）sin θcos θtan θ
0010
301/2√3/2√3/3
45√2/2√2/21
60√3/21/2√3
9010—
120√3/2-1/2-√3
1800-10
270-10—

八个角、四列，而值写成精确分数而不是小数，因为那才是这张表被使用的形式——二分之一与二分之根号三是你要记住的东西，0.5 与 0.866 是计算器印出来的东西。前四行是每一门课都要练的第一象限角：零、三十、四十五、六十，正弦从零爬到二分之根号三，余弦从一落到二分之一。第五行是第一个极点，九十度，它的正切那一格是一道破折号而不是一个数——那是页面表示「这里没有值」的方式，而计算器对同一个角给出拒绝、而不是给答案，正是同一件事。第六行是第二象限的角，规律在这里反过来：正弦仍然是正的，但余弦已经变成负的，这就是那个象限里的正负号。第七、第八行是半圈与四分之三圈，后者是第二个极点。把正弦那一列从上往下读、再把余弦那一列从上往下读，是看出这两个函数就是绕圆一周的点的两个坐标最快的办法。

公式

sin θ ＝ y，cos θ ＝ x，tan θ ＝ y ÷ x

θ
这个角，从 x 轴正半轴开始逆时针量。它可以是负的，也可以超过一整圈——只有它落在圆上的位置有意义
cos θ
角所落到的那个点的横坐标。零度时点在 (1, 0)，余弦是 1；九十度时它是 0
sin θ
同一个点的纵坐标。零度时它是 0；九十度时点在圆的最上方，正弦是 1
tan θ
正弦除以余弦，也就是从原点连到那个点的直线的斜率。余弦为零的地方它没有值，因为那里这条线是竖直的
半径为 1
为什么坐标可以直接当函数值读。点离原点的距离是 1，所以由勾股定理，两个坐标的平方和恒为 1——这就是恒等式 cos²θ ＋ sin²θ ＝ 1
角度或弧度
下拉框会把你填进去的数换算成度再做计算，所以两种填法结果一样。四分之一圈是九十度，换成弧度是二分之 π
四位小数
结果印出来的宽度。只有少数几个读数恰好是精确的小数——三十度的正弦是一半、四十五度的正切正好是一，落在坐标轴上的那些值全是整数——其余的都是像二分之根号二那样、最后要舍一次的值

单位圆是每一门三角课都要你背下来的那张表，而这一页就是那张表外加一个可以填任意角的框。最直接的用法是「手里有角、要它的分量」的那一类：把一个力或一个速度分解成水平与竖直两部分，要的就是正弦余弦这一对，没有别的；算电路的相位、算功率因数；求以某个角度抛出去的东西水平能到多远。测量与导航里，凡是方位角要化成朝东多远、朝北多远，用的都是它——那正是那两个坐标。图形与游戏里，一切旋转都用它——精灵转向、相机绕行、轮子上的一点——因为旋转中的点的位置就是余弦与正弦，把这句话写成一个函数调用、而不是写成一堆分情况的算术，正是让旋转代码变短的原因。最后是纯粹用来学的那一类，也是这一页真正为之而做的：特殊角值得背下来，而能填个九十度、亲眼看到正切给出拒绝，比被告知「那里没有值」要好记得多。下面那张参考表就是同一组角，只是写成了精确分数而不是小数，因为那才是它们实际被使用的形式。

算例

  1. 角度 30 度

    1. 从 x 轴正半轴逆时针转 30 度
    2. 落到的点是 (√3/2, 1/2)
    3. 余弦是横坐标：0.8660
    4. 正弦是纵坐标：0.5
    5. 正切是两者之比：0.5 ÷ 0.8660 ＝ 0.5774

    页面打开时就是这个角，也是特殊角那张表通常排在第一行的角。它的精确值是二分之根号三、二分之一与三分之根号三——这里印的是小数，下面参考表里是精确分数。

  2. 角度 45 度

    1. 逆时针转 45 度，点正好落在对角线上
    2. 正弦与余弦相等，因为点与两条轴的夹角都是 45 度：√2/2 ＝ 0.7071
    3. 正切是两者之比，一个数除以它自己得 1

    零到九十度之间唯一正弦与余弦相等的角，原因是那个点落在直线 y ＝ x 上。正切正好是 1 就是这条代数关系的确认——也正是 45 度坡被叫作一比一坡的原因。

  3. 角度 180 度

    1. 转半圈，点落在 x 轴负半轴上
    2. 余弦是横坐标：-1
    3. 正弦是纵坐标：0
    4. 正切是零除以负一，得 0

    半圈，以及那个容易让人栽跟头的负号：余弦是负一而不是一，因为点转到了圆的另一侧。这里的正弦回来正好是零，尽管页面内部的算术在路上会产生一个很小的数——读数是在最后舍入的，而这是处理它最诚实的办法。

  4. 角度 390 度

    1. 整整一圈回到原处，所以 390 度与 30 度是同一个角
    2. 点是 (√3/2, 1/2)，与 30 度时完全一样

    与上面 30 度那一条同样的三个读数，因为多转一圈落在同一个点上。这就是这一页能处理「不在零到一圈之间」的角的原因——绕圈这件事页面替你处理了，不用先自己化到一圈以内。

局限

这一页收一个角，回给你它的正弦、余弦与正切。正切在九十度与二百七十度上没有值，凡是与这两个角相差整数圈的角也一样，因为点转到了横坐标为零的地方，比值没有东西可除。遇到这种情况页面会拒绝并说明，而不是印一个非常大的数；而那两个角上的正弦与余弦仍然是定义良好的（分别是一与零），但这一页三个读数是一起返回的，所以它三个都不给，而不是给两个少一个；那两个值在下面那张参考表里。非常接近这两个值的角是接受的，会给出非常大的正切，这在数学上是对的——接近竖直的坡确实很陡——所以「差一点」与「正好」不是一回事，页面也不把它们当成一回事。三个读数都是纯数、没有单位，与下拉框无关；下拉框决定的是角怎么填，不是出来什么。四位小数是印出来的宽度，不是精度承诺，而绝大多数角根本没有精确的十进制值——下面那张参考表正是因此才把常见的那些写成精确分数。这一页不处理反问题：它把角变成坐标，但不能把坐标变回角；它也不出弧长、不出扇形面积，也不告诉你这个角沿着圆走了多远。

常见问题

为什么九十度的正切没有答案？
因为正切是正弦除以余弦，而九十度时余弦是零。点转到了圆的最上方，横坐标为零，没有东西可除。诚实的说法是那里正切没有值——不是它非常大。那个角上的正弦与余弦都有明确的定义——点落在圆的正上方，正弦是一、余弦是零。这一页三个读数是一起给的，所以它宁可三个都不给，也不会给两个少一个：它拒答这个角并说明理由。下面那张参考表里，那一行的精确值仍然在。
能填大于 360 度的角吗？
能，负角也能。只有角落在圆上的位置有意义，所以 390 度给出的三个读数与 30 度完全一样，负 30 度与 330 度也一样。页面会替你把这个角归约掉，而不是让你先自己动手化；这很重要，因为方位角与旋转量本来就常常超过一整圈。
课本上的表写的是分数，为什么这里是小数？
因为结果面板是计算器，而那张表是图表。特殊角的精确值是二分之根号二、二分之根号三这一类，它们根本写不成精确的小数——0.7071 是其中一个舍入后的版本。下面那张参考表把同一组角写成了精确分数，那才是它们值得被记住的形式。
正切到底是干什么用的？
它是一个斜率。角的正切就是从原点到那个点的直线的「升高除以水平」，所以坡度、屋面的坡度、凡是写成竖直比水平的地方都会出现它。正弦与余弦是坐标，正切是它们之间的比值——这个差别正是三个函数里只有它在定义域上有个洞的原因。
单位有影响吗？
下拉框选的只是角怎么填——度、弧度还是百分度——别的什么都不影响。三个读数都是纯数、完全没有单位，因为半径为一的圆上的坐标没有单位，两个坐标的比值也没有。页面内部会把你的角换算成度，所以 0.5236 弧度与 30 度给出完全一样的答案。
这和直角三角形计算器是一回事吗？
它是后者的一个特例。任何直角三角形里，正弦是对边比斜边、余弦是邻边比斜边；而在单位圆上斜边是 1，所以那两个比值就是两条直角边本身。每一个直角三角形都是一个单位圆图形的放缩复制，这就是为什么这一页的数对任意大小的三角形都成立。

参考资料

相关计算器

参考角计算器求任意象限中任意角的参考角度数。终边相同角计算器求与给定角终边相同的正角或负角。勾股定理计算器由直角三角形已知两边求第三边。三角形计算器由两条边与它们的夹角求第三边、两个角与面积。三角函数计算器求任意角的正弦、余弦与正切，支持度与弧度。