终边相同角计算器
结果
终边相同的角
- 负的终边相同角
- -320.00 °
终边相同角计算器收一个角，回给你两个与它终点相同的角：一个化简到 0 度到 360 度之间，另一个比它再低一整圈。两个角终边相同，指的是它们从同一条射线出发、又停在同一条射线上，写成式子就是原来那个角加减任意整数圈。30 度、390 度与 750 度这三个角终点都指向同一个方向，因为 390 是 30 加一圈、750 是 30 加两圈。这一页印的两个数就是这一族里最有用的两个代表元：落在单独一圈之内的那一个，三角函数表和单位圆都是照着它写的；以及刚好落在零线下方的那一个，负向旋转到同一个位置通常就是这么说的。两个都给，是因为卡片要的就是正角或负角，也因为只有把这一对摆在一起，这件事才看得见——单独一个化简后的角，没法让你看出它被化简过。比一整圈大的角才是这一页存在的理由。输入收下正负一百万度以内的任何值，大约两千七百七十八圈，因为实际中的大角都是绕出来的：转了好几转的轴、累积了很多个周期的相位角、按圈数而不是按度数记的绕组。无论输入多大，化简都是同一个操作；而参考表第一行与第五行描述的是同一条终边，尽管一个输入是三十、另一个是七百五十，这件事本身就值得看一眼。负方向用的规则值得说明，因为那个显而易见的替代方案也说得通。负的那一支是化简值减去一整圈，所以 0 度的负角是 −360 度而不是 0 度。这个选择意味着印出来的两个数永远恰好相差 360 度——参考表上随便哪一行都能验——也意味着面板永远不会把同一个数显示两遍。另一条规则（把负的那一侧定义成从 −360 度到 0 度闭区间）会在输入 0 时印出两个 0，那看起来像页面坏了，尽管它并不算错。还有一个词义上的分寸问题，页面站的是日常用法这一边。严格说，终边相同的角定义成「互不重合、而终边重合」的那些，所以严格意义下你填进去的那个角并不与它自己终边相同——它与自己重合。日常说话没人这么用，这一页在页面上按日常用法走，被问到的时候再解释这个区别，下面的第一个问答做的就是这件事。
几个角，以及它们所共有的那条终边的两个代表元
| 角（度） | 减掉的整圈数 | 正角（度） | 负角（度） |
|---|---|---|---|
| 30 | 0 | 30 | -330 |
| 90 | 0 | 90 | -270 |
| 180 | 0 | 180 | -180 |
| 400 | 1 | 40 | -320 |
| 750 | 2 | 30 | -330 |
| 1000 | 2 | 280 | -80 |
| -30 | -1 | 330 | -30 |
| -400 | -2 | 320 | -40 |
八个角、四列，而第二列摆在这里是为了让算路看得见，不是为了回答什么：它是被减掉的整圈数，所以第一行与第五行一眼就能看出描述的是同一条终边——30 度与 750 度，后者减掉了两圈。第二行是四分之一圈，一圈都不用减，两个代表元就是原来那个角与它离一整圈的差。第三行是对折的那一档，两个代表元互为相反数，而只有 180 度会这样。第四行是页面打开时的那一组，400 度化简成 40 与 −320。第六行是一千度，化简成 280 与 −80——与一百万度是同一条终边，差别全被圈数那一列吃掉了。第七、第八行是负输入：−30 度回 330，而它的负角就是原来的输入本身，因为 −30 本来就落在负区间里。每一行最后两列都恰好相差 360，而圈数那一列在负输入时是负数，不是它的绝对值。
公式
θ′ ＝ θ ＋ 360°n 正角 ＝ θ − 360°·⌊θ ÷ 360°⌋
- θ
- 你填进去的那个角，单位是度。它可以为负，也可以远大于一整圈；在这里两种都是平常输入，不是特例
- n
- 任意整数，正、负或零都行。每一个 n 对应同一条终边上的一个角，所以这样的角有无穷多个，而页面印的是其中最有用的两个
- 360°
- 一整圈。减掉它之后射线指向的位置分毫未动，这正是两个角算「终边相同」而不是「不同的角」的原因
- ⌊θ ÷ 360°⌋
- 要减掉几整圈，往下取整（朝 −∞ 的方向），不是朝零的方向。朝零取整会把负角留在区间外，而不是把它绕进区间——这是这一页唯一一处会静默算错的地方
- 正角
- 落在 0 度到 360 度之间（不含 360 度）的那一个代表元。三角函数表和单位圆都是照着它写的，绝大多数答案要的也是它
- 负角
- 同一条终边用负向旋转来描述：化简值减一整圈，落在 −360 度到 0 度之间（不含 0 度）。它永远比另一个数正好低 360 度
- 两位小数
- 读数印出来的宽度。角通常是量到几分之一度，而不是量到几秒，两位小数差不多就是量角器读数能诚实给出的精度
算例
400 度
- 数整圈：400 ÷ 360 ＝ 1.11，所以要减掉一圈
- 减掉它：400 − 360 ＝ 40
- 负角再减一圈：40 − 360 ＝ −320
页面打开时就是这一组，选它是因为它刚过一整圈——第一次接触这个概念的人一步就能看完整件事。两个答案相差 360 度，参考表每一行都成立，也是检验一个结果合不合理最快的办法。
750 度
- 数整圈：750 ÷ 360 ＝ 2.08，所以要减掉两圈
- 减掉它们：750 − 720 ＝ 30
- 负角再减一圈：30 − 360 ＝ −330
与 30 度是同一条终边，只是多绕了两整圈，也是说明参考表为什么要存在的那一对行。照着圈数那一列读化简过程——750 减掉两圈剩 30——正是手算时的做法，那一列摆在表上就是为了这件事。
−30 度
- 数整圈并向下取整：−30 ÷ 360 ＝ −0.08，向下取整得 −1
- 把这一圈补回来：−30 − 360 ×（−1）＝ 330
- 负角再减一圈：330 − 360 ＝ −30
大多数人是从这个方向来的，因为一个方位角减去另一个方位角就会得到负角。注意负的那一支就是原来那个角，没变：−30 本来就落在负区间里。这里的取整必须朝下——朝零取整会把 −30 原样留着，留在它本该被绕进去的那个正区间之外。
1000 度
- 数整圈：1000 ÷ 360 ＝ 2.78，所以要减掉两圈
- 减掉它们：1000 − 720 ＝ 280
- 负角再减一圈：280 − 360 ＝ −80
两圈再加 280，从这里开始答案就不那么理所当然了：结果是接近一整圈的 280，而不是接近零的小余数，习惯了前几个例子的读者会在这里意外一下。页面也收一百万度，化简出来还是 280 与 −80——圈数变了，终边没变。
0 度
- 一圈都不用减：0 本来就在区间里
- 正的代表元就是 0
- 负角减一圈：0 − 360 ＝ −360
给负角那条规则定下来的一档。换成另一种口径，这里会印出两个零，看起来就像页面什么都没做。把负的代表元取成「比化简值低一整圈」，就保证印出来的两个数永远不相同，而这条在边界上也和别处一样成立。
局限
这一页只做化简，别的不做：不说终边落在第几象限，不给参考角，也不算任何三角函数值。那几件事各有各的页面。只收度数——没有弧度输出，弧度制的角要先换算再填进来。输入限制在正负一百万度以内，大约两千七百七十八整圈；再大这个数就不对应任何有人会去量的东西了，尽管算术本身还能继续算。印出来的两个数永远恰好相差 360 度，负的那一个永远是较小的那个，所以负输入可能得到正输出，反之亦然。严格说，终边相同的角定义成互不重合、而终边重合的那些，所以严格意义下你填进去的角不与它自己终边相同——它与自己重合。页面按日常用法走：同一条终边上的任何角都算，这一点写在这里，而不是塞进一个脚注。角保留两位小数，那是显示宽度，不是「这个数精确」的声明。这里不处理度分秒这种分单位的写法，也不处理百分度或按圈数给出的角。
常见问题
- 我填的是 40，正角也回给我 40，这是不是没算？
- 不是没算，是本来就没什么可算：40 已经在一圈之内，它就是自己的代表元，化简不动它。严格说，终边相同的角定义成互不重合、而终边重合的那些，所以按那个定义一个角不与它自己终边相同——它与自己重合。页面按日常用法走，同一条终边上的任何角都算，所以你填的数已经化简时，第一个结果就会重复你的输入。会变的是第二个数。
- 负角为什么是再低一整圈，而不是把这个角直接写成负的？
- 因为那个显而易见的说法在零上会垮掉。如果把负的代表元定义成从 −360 度到 0 度之间的任何一个，那么输入 0 就会印出两个 0——两个一模一样的数，看起来像页面什么都没做。把它取成正好比化简值低一整圈，就保证印出来的两个数永远不相等，而且永远恰好相差 360 度，参考表每一行都能验。
- 可以填负数吗？
- 可以，而且这是最常见的输入之一。一个方位角减去另一个方位角、或者旋转按逆时针量时，就会出现负角；−30 度通常会被改写成 330 度。化简之所以向下取整而不是朝零取整，正是为了这件事：朝零取整会把 −30 留在区间之外，而不是把它绕进去。
- 为什么两个答案永远差 360 度？
- 因为第二个数按定义就是第一个数减去一整圈。一个角减去 360 度之后，射线指向的位置分毫未动，所以两个数描述的是同一条终边，正好差一整圈。这也是检验结果最快的办法：给较小的那个数加 360，应该正好落回较大的那个。
- 这一页会告诉我这个角在第几象限吗？
- 不会——它只做化简，到此为止。终边落在第几象限、以及终边与最近那条坐标轴之间的参考角，是参考角页与单位圆页的内容。这一页做的化简是那两件事之前的一步，这也是它单独成页、而不是塞进别人输出里的一行字的原因。
- 可以填弧度吗？
- 这一页不行——只收度数，也没有单位切换。弧度制的角要先换算，乘以 180 再除以 π。化简这件事在两种单位下是同一个想法，但页面得先知道你说的是哪一种，才能决定一整圈是多少。
参考资料
- Coterminal Angle——终边重合的那些角，本页实现的就是它的定义，以及 n 等于 0 时那一档属于「重合」而不是「终边相同」 — Wolfram MathWorld（美国）
- Angle——角是什么，包含「角的标准位置」这一条，始边与终边都是从它定义出来的 — Wolfram MathWorld（美国）
- Trigonometry——角为什么要先化简到一圈之内才能查表，这也是人们最常需要这一步化简的原因 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；角与任意角是义务教育与高中阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部