余弦计算器
结果
余弦
余弦计算器给一个角的余弦——以这个角为内角的直角三角形里，邻边与斜边之比。它还有更常用的第二种身份：一个点的横坐标。画一个半径为一、圆心在原点的圆，从 x 轴正半轴开始逆时针转过这个角，停下来那个点的横坐标就是余弦。纵坐标是正弦、两者相除是正切，而余弦管的是「横向走了多少」——你的位移里有多少是左右的、而不是上下的。从这个图能直接看出两条性质，用这个数之前都值得知道。第一，余弦永远出不了正负一这个范围，因为半径为一的圆上，任何点的横坐标都不会跑到这个范围外面去；零度时它是一，直角时是零，半圈时是负一，四分之三圈时又回到零。第二，余弦是偶函数：负角是顺时针转，点落到轴的下方，但横坐标与反向转同一个角时完全相同，所以负六十度的余弦与六十度的余弦是同一个数。与正切、余切不同，这个函数在任意角上都有定义——你敲得进去的每一个角都算——没有任何一个角让它没有值，所以本页从不拒答。下面那张表列了圆周上十二个角的余弦，一圈分四份，一列读下来是看清这个函数形状最快的办法。
圆周上十二个角的余弦
| θ（度） | cos θ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 30 | 0.866 |
| 45 | 0.7071 |
| 60 | 0.5 |
| 90 | 0 |
| 120 | -0.5 |
| 135 | -0.7071 |
| 150 | -0.866 |
| 180 | -1 |
| 210 | -0.866 |
| 270 | 0 |
| 330 | 0.866 |
十二个角、一列数，函数的整体形状一眼看完：零度是一，到直角落到零，过一百二十度到负二分之一，到半圈是负一，再经二百七十度的零回到三百三十度的二分之一。这些读数里有四个是精确的——一、零、负二分之一、负一——其余是根号保留四位小数的结果，两种情况下形状都一样。表里有两行是特意放的，因为它们与另外两个角互为相反数：三百三十度与三十度的值相同，二百一十度与一百五十度的值相同，因为一个角的余弦与它的相反数的余弦永远是同一个数。
公式
cos θ = 邻边 ÷ 斜边 cos θ = 角 θ 落在圆上那个点的横坐标
- θ
- 这个角，可以用度也可以用弧度。它可以是负的，也可以超过一整圈——只有它落在圆上的位置有意义
- 邻边
- 以角 θ 为内角的直角三角形里挨着 θ 的那条边：既不是 θ 的对边，也不是斜边
- 斜边
- 最长的那条边，直角对面的那一条。它永远不短于邻边，这正是这个比值不会大于一的原因
要的是一个数而不是三个数的时候用它：你手里的相位角准备拆成分量，你要的是那条力沿着表面方向占多少，你要的是一次旋转之后那个点的横坐标。下面那张余弦值表列了十二个角、一圈分四份，是看清这个函数整体形状最快的办法——从一出发，到直角落到零，到半圈落到负一，再回来。同一个角的正弦与正切也要的话，三角函数那一页三个一起给，而且两个页面的数逐位相同；想看的其实是圆上那个点，就去单位圆那一页。反过来，手里是一个余弦值、想要角，那是另一个问题：余弦等于 0.5 的角不止一个，答案是一组而不是一个，那件事由反余弦那一页做。
算例
六十度的角
- 从 x 轴正半轴逆时针转 60 度
- 落到的点是 (1/2, √3/2)
- 横坐标就是余弦，所以余弦是 1/2——√3/2 是正弦那一个
页面打开时就是这个角，也是最适合拿去和三角函数那一页对照的一档：那边同一个角给余弦 0.5、正弦 0.866，而这里的 0.5 分毫不差。这一对也是「六十度的余弦等于三十度的正弦」这句话最直观的提醒——六十度与三十度本来就是同一个直角三角形的两个锐角。
零度，余弦能取到的最大值
- 零度就是没有转：点仍然在 x 轴正半轴上
- 它的坐标是 (1, 0)
- 横坐标是一，所以余弦是一
一是上界。任何角上的余弦都超不过它，因为它是离原点一个单位的点的横坐标，而这样的点没有比一更靠右的。这个值出现在零度，也出现在它之后的每一个整圈——三百六十度、七百二十度——中间的角上都到不了。
第二象限的角，一百二十度
- 一百二十度是三分之一圈，点落在第二象限
- 它的横坐标已经跑到原点左边，所以是负的
- 读数的大小与六十度时相同，符号翻了
过了直角，点就越过 y 轴到了左边，余弦转负，并且一路负到二百七十度。这是余弦的符号最有用的地方：余弦是负的，说明你描述的这个方向是往回指的——无论正弦那边是正还是负。
负角，负六十度
- 负角是顺时针转，不是逆时针
- 点落到 x 轴下方，坐标是 (1/2, −√3/2)
- 横坐标仍然是 1/2，所以余弦不变
余弦是偶函数：一个角与它的相反数给出同一个答案。正弦与正切不是——它们在这里都改变符号。只有一列输出的表里，这条性质最容易看出来，所以下面十二个角里特意放了与另外两个角互为相反数的两个。
局限
两件要留意的事。第一，读数只给四位小数，而表里大多数角的精确值是根号或分数，没有小数写得完：三十度的余弦是二分之根号三，0.866 只是它舍入之后落到的位置，不是它本身。真正精确的那几个角——零度、六十度、九十度、一百二十度、一百八十度——读数看起来干净，那是那些角的性质，不是计算器的性质。第二，本页不反着走。余弦等于 0.5 的角有六十度、有三百度，还有无穷多个，因为这个函数每转一圈重复一次，并且在零度两侧左右对称；从一个余弦值还原出一个角，需要额外决定你要哪一段，那是反余弦那一页的活。
常见问题
- 有没有哪个角的余弦不存在？
- 没有。余弦在每一个角上都有定义，包括正切没有值的那两个角：九十度时余弦是零，二百七十度时它又是零，都是再普通不过的数。一句话说清两个函数的区别——正切是一个可能除以零的比值，余弦永远不是。所以本页从不拒答。
- 为什么六十度的余弦等于三十度的正弦？
- 因为六十度与三十度是同一个直角三角形的两个锐角。在这个三角形里，挨着六十度的那条边正是三十度的对边，所以给出一个角余弦的那个比值，同时就是给出另一个角正弦的比值。从圆上看是同一件事：余弦那一列与正弦那一列是同一串数，只是差了四分之一圈。
- 余弦是负的说明什么？
- 说明你描述的方向指在 y 轴左边——比起点转过了不止四分之一圈、不到四分之三圈。它不是出错，也不是「更小的值」：负二分之一比负一大，而余弦的最小值出现在半圈处。九十度到二百七十度之间余弦全是负的，这一段之外全是正的。
- 角可以填弧度吗？
- 可以——输入框旁边有单位选择，选哪一种，读出的都是同一个角。六十度与 1.0472 弧度给出同一个余弦，二分之一。唯一要注意的是拿去对照的那份资料默认用哪个单位，绝大多数默认是度。
- 为什么九十度的余弦读作零，而同一个角的正弦正好是一？
- 因为直角时点落在 y 轴上：横坐标是零，纵坐标是一。余弦是横坐标，所以是零；正弦是纵坐标，所以是一。两个都是精确值，而这一对恰好把两个函数是什么说清楚了——余弦量的是这个点往右走了多远，而在那个角上它一点也没往右。
- 为什么这一页只给一个数，三角函数那一页给三个？
- 因为两页各有各的用处。三角函数那一页的存在是为了让三个比值能互相对照，所以它的表一个函数一列。本页是为了只要余弦、别的都不要的读者，而它只有一列这件事恰好让函数的形状显出来：零度是一，直角是零，半圈是负一，四分之三圈又是零，再回到一。两页在每一个角上逐位相同，所以选哪一页是展示方式的问题，不是算法的问题。
参考资料
- Cosine — 单位圆上读出横坐标的那个函数、它的偶对称性，以及它在特殊角上取的值 — Wolfram MathWorld（美国）
- Trigonometric Functions — 正弦、余弦与正切的定义、它们的取值范围，以及为什么余弦处处有定义而正切不是 — Wolfram MathWorld（美国）
- Unit Circle — 半径为一的那个圆，以及为什么圆上一点的坐标就是余弦与正弦 — Wolfram MathWorld（美国）
- Sine, Cosine and Tangent — 从直角三角形出发把三个比值讲一遍，特殊角是推出来的而不是背下来的 — Math is Fun（英国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；锐角三角函数在九年级的定位、正弦余弦正切三个名称与特殊角的要求，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部