反余弦计算器
结果
角度
- 角度（弧度）
- 1.0472 rad
反余弦计算器拿一个余弦值换回角度，度与弧度各报一份。值必须落在 −1 到 1 之间，因为角度的余弦永远出不了这个带；答案则永远落在零度到一百八十度之间。两条都由同一个事实推出来：一个余弦值不属于一个角。0.5 是六十度的余弦，也是三百度的余弦，还是它们各自加减整数圈之后的每一个角。反余弦函数写作 arccos，也写成 cos 右上角带一个小减号，它只回其中一个——落在这个圆上半圈的那一个——其余的角是同一个方程的答案，只是函数不被允许给出来。本页与它的邻居有三处不同。第一，值域是圆的上半圈而不是右半圈，所以答案永远不是负的：一个本该属于钝角的余弦值，回出来是一百二十度这样的角，而不是像反正弦那样回一个负角。第二，值域是递减的，下面那张表的答案列是全站唯一一列逆着输入走的——最上面是一百八十度，最下面是零度。第三，另一个解是从一整圈里减出来的，不是从平角里减，因为余弦是被关于横轴对称的两个角共享的。两页在一个恒等式上会合：同一个值的反余弦与反正弦相加恒为九十度，那是验算两者最省事的一招。
九个余弦值，以及主值角与另一个解
| cos θ | θ（度） | 另一个 θ（度） | θ（弧度） |
|---|---|---|---|
| -1 | 180 | 180 | 3.1416 |
| -0.866 | 150 | 210 | 2.6179 |
| -0.7071 | 135 | 225 | 2.3562 |
| -0.5 | 120 | 240 | 2.0944 |
| 0 | 90 | 270 | 1.5708 |
| 0.5 | 60 | 300 | 1.0472 |
| 0.7071 | 45 | 315 | 0.7854 |
| 0.866 | 30 | 330 | 0.5236 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
先把输入那一列自上而下读一遍，再读它旁边的答案列：输入从 −1 爬到 1，答案却从一百八十度掉到零度。全站只有这一张表是这么反着走的，而这是余弦曲线的性质，不是本页的规矩。两列角度在每一行上都相加为一整圈，那是关于横轴镜像的算术。两端会并起来——最上面是 180 与 180，最下面是 0 与 0——因为那两个点正是余弦曲线折返的地方，折返点的镜像就是它自己。最值得看的是中间那一行：余弦为零给出正正好好的九十度，那是两种读法互换的位置，也是与反正弦的恒等式最朴素的写法——九十加零。
公式
θ = arccos x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [0°, 180°] [0°, 360°) 里的另一个解是 360° − θ
- x
- 你手里的余弦值，必须在 −1 到 1 之间。带外没有角能有这样的余弦，本页对带外的输入是拒答而不是近似
- θ
- 函数给出的角。它与反正弦不同，永远不会是负数，因为值域覆盖的是圆的上半圈而不是右半圈
- 360° − θ
- 圆上与它共享同一余弦的另一个角。关于横轴对称的两个角余弦相同，所以这里找搭档是从一整圈里减，而反正弦那一页是从平角里减
手里有邻边比斜边、想要两者之间的夹角时用它：梯子与墙的夹角、两个向量由点积算出来的夹角、把存成余弦的航向还原成方向。三条边求角也是这一页——余弦定理算出来的就是余弦，不给角。两个邻居要知道。手里是斜边比对边的话，那是反正弦，它的值域覆盖右半圈而不是上半圈，而且答案带符号；两者只在第一象限一致，出了第一象限就分道扬镳。而你想要的是某个角上的余弦、不是从余弦回推角，那是余弦页，方向正好相反。
算例
余弦值为 0.5
- 这个值在带内，所以有角可找
- 值域里余弦为 0.5 的角是六十度，本页报六十度
- 换成弧度是六十乘 π 除以一百八十，即三分之一 π，也就是 1.0472
本页的默认输入，也是最能看出两页怎么拼起来的一行。0.5 的反正弦是三十度、反余弦是六十度，两者相加是九十度——这不是巧合，是把两页拴在一起的那个恒等式，带内每一个值都成立。同一个值也说明了另一个解从哪里来：三百度的余弦同样是 0.5，它是六十度关于横轴的镜像，所以表格那一行的第三列写着 300。
负的余弦值，−0.5
- −0.5 在带内，所以本页能找到角
- 值域里余弦为 −0.5 的角是一百二十度
- 换成弧度是三分之二 π，也就是 2.0944
这一行解释了本页为什么永远不给负角。负的余弦属于钝角，而值域处理它的方式是越过九十度往上走，而不是掉到零以下——是一百二十度，不是负六十度。反正弦页遇到同一个输入，给出的方向相同、写法是负角：−0.5 的反正弦是负三十度。两种都对，只是两个函数对圆的切法不同；恒等式在这里照样成立，负三十度加一百二十度等于九十度。
余弦值为 0.25，不是特殊角
- 四分之一不在常用特殊角表上，所以答案是一个小数
- 余弦为 0.25 的角是 75.52 度
- 同一个角换成弧度是 1.3181
绝大多数输入都落在这一行。这一行也是看「递减」最清楚的地方：四分之一是个很小的余弦，而小余弦属于靠近值域上端的角，不属于靠近下端的角。拿反正弦页对照一下，那边小值给小角。这个方向相反不是两条定义的巧合，它就是两条曲线形状上的差别，而表格把它摆得比公式更明显。
余弦值为 −1，正好落在带的边缘
- −1 是余弦能取到的最小的值，所以答案是值域的上端
- 一百八十度的余弦是 −1，没有角的余弦比它更小
- 弧度上平角是 π，也就是 3.1416
两个「第二个解不再是第二个角」的行之一。余弦为 −1 的角只有一百八十度，圆上没有第二个，因为余弦曲线在最低点折返，而那个点关于横轴的镜像就是它自己。表格把这件事实事求是地印了出来：第一行的第二列与第三列都是 180。另一端同样如此，余弦为 1 的角只有零度。这两行之间，带内每一个值都有真正的搭档，两个角相加恒为一整圈。
局限
三件本页不做的事。第一，带外的值拒答，因为没有角能有这样的余弦——与反正弦是同一条界限，理由也一样。第二，答案只是主值。−1 到 1 之间的每一个余弦都对应一整圈里的两个角，也对应跨圈之后的无穷多个角，本页回的是上半圈那一个；另一个在表格第三列，至于更远的那些隔了几整圈，本页不说。第三，弧度印到四位小数、度印到两位，所以本该在特殊角附近的值会在舍入之后印成特殊角——0.866 的反余弦印出来是三十度，而三十度的余弦严格说来比 0.866 略小一点。
常见问题
- 为什么反余弦算出来永远不是负角？
- 因为值域被定死在圆的上半圈，从零度到一百八十度。负的余弦属于钝角，这个值域把它报成大于九十度的角，而不是像反正弦那样折到零以下。−0.5 的余弦在一百二十度上，不在负六十度上，尽管这两个角指的方向是同一个。
- 它与反正弦有什么区别？
- 差在值域上，因此也差在第一象限之外的行为上。反正弦回的角在 −90° 到 90° 之间；反余弦回的角在 0° 到 180° 之间。带内每一个值，两个答案相加都是九十度，这是验算两者最省事的一招——0.5 的反余弦是六十度，反正弦是三十度。另一个解的找法也不同：这里从一整圈里减，那边从平角里减。
- 填一个大于 1 的值会怎样？
- 本页拒答。角度的余弦不管角怎么变都待在 −1 到 1 之间，所以反函数的定义域正好是那个带，带外的值不对应任何角。这条界限与反正弦一模一样，来处也一样：三角形里两条边的比值，只要分母是三条边里最长的那条，就不可能超过 1。
- 已知余弦求角度，手工怎么做？
- 先记几个值得记的值——余弦 0.5 是六十度，0.7071 是四十五度，0.866 是三十度——其余交给表或计算器。然后别忘了第二个角，它是第一个关于横轴的镜像，用三百六十度去减就得到。三条边求角的时候也走这一页：余弦定理算到余弦就停了，剩下的那一步就是反余弦。
- 为什么这张表是倒着走的？
- 因为余弦随角度增大而减小。在本页报的这段值域上，角从零度走到一百八十度，余弦就从 1 掉到 −1，所以输入越大答案越小。表格从上往下读，答案列就是从一百八十度读到零度。反正弦页正好相反，这个差别与两条曲线形状上的差别是同一件事。
- 反余弦与「余弦分之一」是一回事吗？
- 不是。反余弦是撤销余弦：给它 0.5，它回六十度。余弦分之一是给它 0.5、回 2，那是六十度的正割——一个比值，不是一个角。书写上这件事更容易混：反函数常写成右上角带一个 −1，看起来与指数一模一样。
参考资料
- Inverse Cosine — 本页计算的那个函数、它的值域，以及它递减这件事 — Wolfram MathWorld（美国）
- Inverse Trigonometric Functions — 三个反函数放在一起看，把它们分开的就是值域 — Wolfram MathWorld（美国）
- Trigonometric Functions — 正弦、余弦与正切的定义，以及把前两者拴在一起的那个恒等式 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；锐角三角函数是义务教育阶段「图形的性质」的内容，反三角函数是它的延伸，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部