反正切计算器
结果
角度
- 角度（弧度）
- 0.7854 rad
反正切计算器把正切值换成它所属的角度，度与弧度各报一份，填进去的那个比值通常写作 tan。与另外两个反函数不同，它什么实数都收：坡度要多陡有多陡，没有带要守，一百万的输入在这里是正常输入。回来的角永远在 −90° 与 90° 之间，而这个区间的两端才是真正要看的地方，因为两端都到不了。九十度没有正切——那里的比值要把邻边当成零来除。所以不管你填进来的数有多大，答案都往九十度爬、却总差一点，而只要那个差小到最后一位小数显示不出来，本页就印出九十度。那是舍入的结果，不是答案本身，提前知道比事后纳闷强。其余的部分由另一条性质推出来：正切每半圈重复一次，而不是每一整圈，所以正切为 1 的角既是四十五度、也是二百二十五度，这两个角相差半圈，而不是互为镜像。表格列出九个值，每个给出角、弧度，以及半圈之外的那个搭档角。两个邻居值得看一眼。手里是斜边比对边的话，那是反正弦，它守在 −1 到 1 的带里，答案落在右半圈。手里是斜边比邻边的话，那是反余弦，值域是圆的上半圈，答案永远不是负的。
九个正切值，以及主值角与差半圈的搭档
| tan θ | θ（度） | 另一个 θ（度） | θ（弧度） |
|---|---|---|---|
| -3 | -71.57 | 108.43 | -1.249 |
| -1.7321 | -60 | 120 | -1.0472 |
| -1 | -45 | 135 | -0.7854 |
| -0.5774 | -30 | 150 | -0.5236 |
| 0 | 0 | 180 | 0 |
| 0.5774 | 30 | 210 | 0.5236 |
| 1 | 45 | 225 | 0.7854 |
| 1.7321 | 60 | 240 | 1.0472 |
| 3 | 71.57 | 251.57 | 1.249 |
这是三个反向页里唯一一张没有「两列印同一个数」的表格，原因值得停一下。反正弦与反余弦的第二解是镜像，所以在曲线折返的地方搭档就是它自己，那两张表里读作 90 与 90 的行就是这种并合。正切没有折返点也没有界：它在半个圈里从负无穷爬到正无穷，两列角度永远相差一百八十度。于是这里每一行都差半圈，而两端没有可以并合的行，因为两端根本不在表里——值域是开的，角一路往九十度与负九十度爬，却从来不是它们。把第一行与最后一行对着读：3 与 −3 给出的角互为镜像，一个在零上 71.57 度、一个在零下同样的度数，而两列搭档也以同样的方式关于中间那一行对称。
公式
θ = arctan x x ∈ ℝ θ ∈ (−90°, 90°) [0°, 360°) 里的另一个解是 θ + 180°
- x
- 正切值，可以是任何实数。这里什么都不拒答，因为正切在圆上取遍所有实数
- θ
- 函数给出的角，永远严格落在 −90° 与 90° 之间。两端都取不到，因为正切在那两个角上没有值
- θ + 180°
- 圆上与它共享同一正切的另一个角。正切每半圈重复，所以搭档是加出来的，而不是关于某条轴镜像出来的
手里的比值是一个坡度的时候用它：升高比水平距离、道路或屋顶的坡度、平面内向量的方向。两条直角边已知的时候也走这一页——正切是对边比邻边——而它还是三个反函数里唯一不会因为输入太大而拒答的一个。已知正切求角度也是工程上最常见的问法之一。两个邻居要知道。手里是斜边比对边的话，那是反正弦，值域覆盖右半圈而不是中间那个带。而你想要的是某个角上的正切、不是从正切回推角，那是正切页，方向正好相反，那一页自己也解释了比值为什么会在直角上炸掉。
算例
正切值为 1
- 任何值都收，所以有角可找
- 值域里正切为 1 的角是四十五度，本页报四十五度
- 换成弧度是四分之一 π，也就是 0.7854
本页的默认输入，也是「差半圈」最小的一个例子。正切为 1 的角还有二百二十五度，那是四十五度加上半圈——表格那一行的第三列写着 225。注意那个搭档不是什么：它不是四十五度关于哪条轴的镜像，而正余弦两页的第二个解恰恰就是镜像。正切只是过了半圈之后原样重复一次，这与「正切的周期是一百八十度而不是三百六十度」是同一句话。
负的正切值，−1
- 这个值在定义域内，而它是负的，所以答案也会是负的
- 值域里正切为 −1 的角是负四十五度
- 弧度跟着同一个符号：−0.7854
带符号的约定，与反正弦页相同，与反余弦页相反。负的斜率给负的角，因为值域就是 −90° 到 90° 那个带，其中一半在零以下。这里的搭档是一百三十五度，即负四十五度加半圈；它同时也是四十五度关于纵轴的镜像——但那个巧合属于 −1 这个值，不属于本页的规矩，只要值不是精确的 −1，镜像那句话说出口就不成立了。
正切值为 0.5，不是特殊角
- 一半不是常用表上任何角的正切，所以答案是小数
- 正切为 0.5 的角是 26.57 度
- 同一个角换成弧度是 0.4636
大多数坡度都落在这样一行上，而不是落在特殊角上。这一行也是看答案形状最清楚的地方：值增大，角就往九十度爬、永远碰不到；值往零靠，角就往零落。小角的正切与它的弧度数很接近——0.4636 对 0.5——这与反正弦页上的小角近似是同一个东西，只是在这里松一些。
正切值为一百万，贴在值域的边上
- 一百万在这里是普通输入，因为没有任何界限管它
- 正切为一百万的角是 89.99994 度，比九十度差一点点
- 两位小数显示不出这点差别，于是本页印出九十度
本页存在的意义就是提示这一行。九十度不在值域里，也永远不会在——正切在那里根本没有值——但这么大的输入落得够近，印出来的读数就舍入到它了。印出来的数对它自己该是什么是诚实的：就显示出来的精度而言，这个角就是九十度。真正错的是把它当成精确值，或者更糟，读成「九十度的正切是一百万」而不是「九十度的正切没有定义」。把输入再推大，比如一亿，真正的角会更贴近九十度，而读数不会变。
局限
三件本页不做的事。第一，值域的两个端点永远不会被返回。九十度与负九十度都被排除，因为正切在那里没有值，答案只是无限接近而到不了；对于大到两位小数显示不出差别的那种输入，本页照样印出端点，但那个读数是舍入来的、不是精确的。第二，答案只是主值。正切每半圈重复一次，所以本页每一个值都对应一整圈里的两个角，也对应跨圈之后的无穷多个角，本页回的是严格落在 −90° 与 90° 之间的那一个；搭档在表格第三列，它与主值相差半圈。第三，弧度印到四位小数、度印到两位，所以本该在特殊角附近的值会在舍入之后印成特殊角——1.7321 的反正切印出来是六十度，而六十度的正切严格说来比 1.7321 略大一点。
常见问题
- 为什么另外两个反函数拒答大于 1 的值，这里却什么都收？
- 因为正切没有上界。反正弦与反余弦收的是「最长的那条边在分母上」的比值，所以输入不可能超过 1；正切是对边比邻边，这两条都不是最长的边，所以三角形有多陡，比值就能有多大。正切为一百万，就是一面高是宽一百万倍的墙的坡度。
- 为什么很大的值会给出正好九十度？
- 严格说来并不是正好——它给的是一个略小于九十度的角，只是舍入之后成了九十度。九十度不在值域里，因为正切在那里没有值：比值要除以零。输入增大，答案就往九十度爬、永远到不了，所以大到一万以上时，印出来的读数在两位小数上就是九十度。就那个精度而言读数是对的，把它当成精确值才是错的。
- 为什么第二个角是差半圈，而不是镜像？
- 因为正切每一百八十度重复一次，而不是每三百六十度。把一个角加上半圈，对边与邻边会同时变号，比值因此不变。反正弦与反余弦页找第二个解用的是关于某条轴镜像，因为正弦与余弦是被镜像角共享的；正切不是，所以它的搭档是加出来的，不是减出来的。
- 已知正切求角度，手工怎么做？
- 记住正切为 1 是四十五度、1.7321 是六十度，其余的查表或用计算器，然后想要圆上另一个角就再加一百八十度。求坡度的时候该用的是这个反函数——升高比水平距离；两条直角边已知、要夹角的时候也是它。
- 为什么负值算出来是负角？
- 因为值域是 −90° 到 90°，其中一半在零以下。负的正切意味着对边与邻边异号，也就是一个往下走的坡度，本页就按输入的符号把它报出来。与它相差半圈的那个搭档角是正的——负四十五度与一百三十五度是同一条坡的两个方向。
- 反正切与「正切分之一」是一回事吗？
- 不是。反正切是撤销正切：给它 1，它回四十五度。正切分之一是给它 1、回 1，那是四十五度的余切——一个比值，不是一个角。两者只在四十五度这个点上数值相同，而正是这种巧合让混淆格外顽固。
参考资料
- Inverse Tangent — 本页计算的那个函数、它的开区间值域，以及输入很大时的表现 — Wolfram MathWorld（美国）
- Inverse Trigonometric Functions — 三个反函数放在一起看，以及为什么只有这一个接受所有实数 — Wolfram MathWorld（美国）
- Tangent — 正切这个比值的定义、它半圈为一轮的周期，以及它在哪些角上没有值 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；锐角三角函数是义务教育阶段「图形的性质」的内容，反三角函数是它的延伸，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部