反正弦计算器
结果
角度
- 角度（弧度）
- 0.5236 rad
反正弦计算器把一个正弦值换回角度：填一个 −1 到 1 之间的数，它告诉你哪个角的正弦是这个数，度与弧度各给一份。本页做不到的那些事，全部出自同一个事实：一个正弦值不属于一个角。0.5 是三十度的正弦，也是一百五十度的正弦，还是三百九十度的正弦，以及它们各自减去任意整数圈之后的每一个角。反正弦函数只回其中一个——落在 −90° 到 90° 之间的那一个——这个选择就是「主值」两个字的全部含义，它不是「其余的角不存在」的意思。函数写作 arcsin，本页把答案印两遍：一遍用度，一遍用弧度，因为这两种问法一样常见，而手工换算正是这一块最容易出错的地方。有两条界限圈住了答案。第一，值必须落在 −1 到 1 之间，因为角的正弦永远出不了这个带；填 1.5 进来是没有角可给的，本页拒答，而不是印一个空白。第二，答案带符号：负的输入给一个负的角，而不是把它折成下半圆里那个等价的正角——这是本页与倍角、半角那些页面读法不同的唯一一处。表格列出九个值，每个值给出主值角、它的弧度，以及圆上另一个与它共享同一正弦的角。
九个正弦值，以及主值角与另一个解
| sin θ | θ（度） | 另一个 θ（度） | θ（弧度） |
|---|---|---|---|
| -1 | -90 | 270 | -1.5708 |
| -0.866 | -60 | 240 | -1.0471 |
| -0.7071 | -45 | 225 | -0.7854 |
| -0.5 | -30 | 210 | -0.5236 |
| 0 | 0 | 180 | 0 |
| 0.5 | 30 | 150 | 0.5236 |
| 0.7071 | 45 | 135 | 0.7854 |
| 0.866 | 60 | 120 | 1.0471 |
| 1 | 90 | 90 | 1.5708 |
第二列是函数返回的，第三列是它丢掉的，这一对就是整张表存在的理由。先看中间几行：值为零时配的是 0 与 180 那一对，而 0.5——本页的默认值——配的是大家熟悉的那一对，三十度与一百五十度。整张表自上而下，两列相加恒为 180，那是镜像的算术，连两端也不例外。有意思的地方在两端，而且两端的情形并不一样。上端那一对是 90 与 90：正弦曲线在顶点折返，九十度关于纵轴的镜像还是九十度，于是两列印的是同一个数。下端那一对是 −90 与 270，同一个方向写了两种写法——第二列保留函数返回的符号，第三列已经把它放回圆上，两者看起来像两个角，只是因为其中一个被允许是负数。第四列是第二列换算过来的；注意它从 −1.5708 走到 1.5708，两边都是半个 π，而角度那两列走的是一整个平角。
公式
θ = arcsin x x ∈ [−1, 1] θ ∈ [−90°, 90°] [0°, 360°) 里的另一个解是 180° − θ
- x
- 你手里的正弦值。它必须落在 −1 到 1 之间：角的正弦出不了这个带，带外的值不对应任何角
- θ
- 函数给出的角，叫主值。它永远在 −90° 到 90° 之间，本页把它按度和弧度各报一次
- 180° − θ
- 圆上与它共享同一正弦的另一个角。关于纵轴对称的两个角正弦相同，所以找这个搭档用的是减法而不是加法
手里是比值、想要角度的时候用它：测量得到的坡度写成正弦、力的分量占整体的几分之几、表上只给了比值没给角。已知正弦求角度也是三角形里最常见的用法——正弦是对边比斜边，所以给了两条边、要其中一条的对角，走的就是这一页。两个邻居要知道。你想要某个角上的三个比值、而不是从比值回推角，那是三角函数页，方向正好相反，两边都定义的地方读数一致。而你手里其实是邻边比斜边，那是反余弦，它的值域覆盖的是圆的上半圈而不是右半圈。反正弦、反余弦与反正切合称反三角函数，三者公式一模一样，分工全部体现在值域上。
算例
正弦值为 0.5
- 这个值在 −1 到 1 的带内，所以有角可找
- 主值范围里正弦为 0.5 的角是三十度，本页报三十度
- 换成弧度是三十乘 π 除以一百八十，即六分之 π，也就是 0.5236
本页的默认输入，也是最能说明主值代价的一行。一百五十度的正弦同样是 0.5——它是三十度关于纵轴的镜像——但函数只回一个数，在范围内的那个是三十。表格把这个丢掉的角摆了出来：0.5 是九行里的第六行，那一行的第三列写着 150。两个角都是同一个问题的答案，只是函数只被允许回其中一个。
正弦值为 0.25，不是特殊角
- 四分之一不在常用特殊角表上，所以答案会是一个小数
- 正弦为 0.25 的角是 14.48 度，保留两位小数
- 同一个角换成弧度是 0.2527，比正弦值本身略大一点
绝大多数输入都落在这一行，而不是落在特殊角上，这一行才是真实的查表长什么样。弧度那一列值得多看一眼：小角的正弦值几乎就等于它的弧度数，所以 0.2527 紧挨着 0.25。这是小角近似，它不加提示地出现在一张对照表里，是「弧度为什么是微积分用的那个单位」最短的一次演示。
负的正弦值，−0.5
- −0.5 在带内，所以本页能找到角
- 主值范围里正弦为 −0.5 的角是负三十度
- 弧度跟着同一个符号：−0.5236
本页与倍角、半角那些页面读法不同的另一处。在那两页上，负角会先被归到 [0°, 360°) 再参与计算，回出来的是圆上的一个位置；这里答案保留符号，因为主值范围就是 −90° 到 90°，其中一半在零以下。水平线下方三十度与上方三十度是方向相同、符号相反的两个角，函数报的是与输入符号一致的那一个。表格里 −0.5 那一行把两种读法都写了出来：第二列是 −30，第三列是 210。
正弦值为 1，正好落在带的边缘
- 1 是正弦能取到的最大的值，所以答案是主值范围的上端
- 九十度的正弦是 1，没有角的正弦比它更大
- 弧度上直角是 π 的一半，也就是 1.5708
两个解在这里并成一个的一行。带内其余每一个正弦值都对应两个不同的角，而 1 只对应九十度，圆上没有第二个——正弦曲线在这里折返，所以九十度关于纵轴的镜像还是九十度。表格把这件事实事求是地印了出来：最后一行的第二列与第三列都是 90。那不是重复录入，是曲线在顶点上摊平了。
局限
三件本页不做的事。第一，带外的值没有答案，本页是拒答而不是近似——1.5 不是任何角的正弦。第二，答案只是主值。−1 到 1 之间的每一个正弦值都对应一整圈里的两个角，也对应跨圈之后的无穷多个角，本页回的是 −90° 到 90° 那一个；你要的是另一个，表格第三列给了；你要的是它加减整数圈，本页不告诉你是第几圈。第三，弧度印到四位小数、度印到两位，所以一个本来不在特殊角上的值会在舍入之后印成特殊角——0.866 的反正弦印出来是六十度，而六十度的正弦严格说来比 0.866 略大一点。
常见问题
- 为什么 0.5 的反正弦是三十度，不是一百五十度？
- 因为两个角的正弦都是 0.5，而函数只能回一个数。反正弦函数的值域被定死在 −90° 到 90° 这个带上，三十度是带内的那一个。一百五十度同样是这个方程的正确答案，本页的表格把它写在第三列，但它不是函数返回的东西。
- 填一个大于 1 的值会怎样？
- 本页拒答，因为没有角的正弦大于 1。角的正弦不管角怎么变都待在 −1 到 1 之间，所以反函数的定义域正好是那个带，带外不对应任何角。这与除法里遇到 1.5 不一样——那里大数只是除出一个小数——这里的提问本身没有答案。
- 为什么负值算出来是负角？
- 因为主值范围是 −90° 到 90°，其中一半在零以下。正弦是奇函数——负三十度的正弦是三十度正弦的相反数——所以对负值做反运算得到的就是负角。下半圆里方向相同的那个角（输入 −0.5 时是 330 度）指的是同一个方向，本页报的是带符号的那一个。
- 已知正弦求角度，手工怎么做？
- 先查正弦表，或者从几个记得住的点估：正弦 0.5 是三十度，0.7071 是四十五度，0.866 是六十度。夹在中间的值还是交给计算器实在。手工做唯一要记住的是另一个解：带内每一个正弦值都对应一整圈里的两个角，而表上通常只列第一个。
- 反正弦算出来的弧度是什么？
- 是同一个角的另一种量法。三十度是六分之 π，即 0.5236 弧度，本页两个一起印出来，换算就不必手工做。弧度是让正弦的导数等于余弦的那个单位，所以凡是涉及微积分的地方都用它；而凡是拿量角器量出来的地方都用度。
- 反正弦与「正弦分之一」是一回事吗？
- 不是，两者容易混是因为名字里都有正弦。反正弦是撤销正弦：给它 0.5，它回三十度。正弦分之一是给它 0.5、回 2，那是三十度的余割——一个比值，不是一个角。书写上这件事更糟：反函数常写成右上角带一个 −1，看起来与指数一模一样。
参考资料
- Inverse Sine — 本页计算的那个函数、它的主值范围，以及这个范围为什么必须先选定 — Wolfram MathWorld（美国）
- Inverse Trigonometric Functions — 三个反函数放在一起看，各自的值域与分支 — Wolfram MathWorld（美国）
- Trigonometric Functions — 正弦、余弦与正切的定义，以及它们各自被限制在哪个带里 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；锐角三角函数是义务教育阶段「图形的性质」的内容，反三角函数是它的延伸，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部