余切计算器
结果
余切
余切计算器给任意角的余切——正切的倒数，也就是含这个角的直角三角形里，邻边比对边。直角三角形一共能给出六个比值，本页负责的是把正切整个翻过来的那一个：正切是对边比邻边，余切就是邻边比对边，所以凡是两个函数都有值的地方，它们互为倒数。抓住这条倒数关系，这个函数所有看着别扭的地方一步就能讲通。正切在直角处断掉，因为那里邻边缩成了零；余切在零度处断掉，因为那里缩成零的是对边。把角挪到直角，两个函数交换角色——正切没有值，余切是零；挪到零度，余切没有值，正切是零。所以本页拒答的角度，恰好是正切那一页答得出的角度；本页答得出的角度，恰好是它拒答的角度。下面那张余切值表把两列并排印出来，就是让这件事自己显形，而不是请读者相信一句话。另外两条性质也是从定义直接推出来的。余切是奇函数，负角给出的是相反数；它的周期是半圈而不是一整圈，因为邻边与对边同时翻号，比值不变。四十五度是唯一一个读数是整数的角——正好是一，因为那个直角三角形的两条直角边相等——其余的角给出的都是根号或者根号的倒数。
十二个角上的正切与余切
| θ（度） | tan θ | cot θ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | — |
| 30 | 0.5774 | 1.7321 |
| 45 | 1 | 1 |
| 60 | 1.7321 | 0.5774 |
| 90 | — | 0 |
| 120 | -1.7321 | -0.5774 |
| 135 | -1 | -1 |
| 150 | -0.5774 | -1.7321 |
| 180 | 0 | — |
| 210 | 0.5774 | 1.7321 |
| 270 | — | 0 |
| 330 | -0.5774 | -1.7321 |
两列、十二个角，而并排印出来的全部理由就是那两道破折号：它们落在正切那一列的九十度与二百七十度上，以及余切那一列的零度与一百八十度上。两个函数从不在同一个角上一齐断掉，这就是「互为倒数」这条关系用一张图说出来的样子。成对地读，其余规律也跟着出来：四十五度那一行两列都是一，这正是「一个数等于自己的倒数」的意思；三十度和六十度那一行，两列互为对方的答案，因为一个角的余切等于它余角的正切；而一列大的地方另一列必然小——三十度上是 0.5774 对 1.7321——两者相乘永远是一。
公式
cot θ = 1 ÷ tan θ cot θ = 邻边 ÷ 对边 cot θ = cos θ ÷ sin θ
- θ
- 这个角，可以用度也可以用弧度。它可以是负的，也可以超过一整圈——只有它落在圆上的位置有意义
- 邻边 / 对边
- 含角 θ 的直角三角形里的两条直角边：挨着 θ 的那一条，和 θ 对面的那一条。余切是前者比后者，也就是正切上下颠倒过来
- tan θ
- 同一个角的正切。它不为零的地方，用一除以它就得到余切；直角处正切没有值，而那里的余切是零
要的比值是「邻边在上」的那一个时用它：坡度写成横向比纵向而不是纵向比横向，爬升率换个说法报出来，或者你手里有角度、要的就是它正切的倒数。下面的余切值表把两列并排放着，所以它也是看清两个函数如何交换位置最快的办法——一列打着破折号的地方，另一列正好是零。要的是正切本身、顺便还要正弦余弦，三角函数那一页三个一起给，而且两页的数逐位相同。反过来，手里是一个余切值、想要角，那是另一个方向的问题，而且答案不止一个：余切等于 1.7321 的角可以是三十度，也可以是二百一十度，选哪一个要额外决定。
算例
四十五度，唯一一个整数答案
- 四十五度时直角三角形的两条直角边相等
- 余切是邻边比对边
- 两个相等的量相除正好是一，所以读数是 1，不是 0.9999
页面打开时就是这个角，也是这个函数唯一取到整数的角。四十五度同时也是正切等于一的角，这不是巧合：一个数若等于自己的倒数，函数与它的倒数就在那里相等。除此之外本页的读数不是根号就是根号的倒数，下面那张表要写到四位小数，原因就在这里。
三十度的角
- 三十度的正切是三分之根号三，约 0.5774
- 余切是一除以它，也就是根号三
- 根号三保留四位小数是 1.7321
三十度的余切与六十度的正切是同一个数，这是一条规则而不是巧合：直角三角形的两个锐角相加是九十度，而一个角的对边正是另一个角的邻边。所以一个角的余切永远等于它余角的正切，下面那张表里这一对就排在相邻两行。
第二象限的角，一百三十五度
- 一百三十五度是直角再过去四十五度
- 点落在第二象限，邻边变成负的，对边仍然是正的
- 正的除以负的得负，所以余切是 −1
正好是四十五度读数的相反数，而这也是整个第二象限的规律：余切的绝对值与折回第一象限那个角上的完全相同，变的只有符号。这里绝对值回到了一，因为三角形的形状与四十五度时一模一样，只是摆放的位置换了。
九十度，余切是零的那一个角
- 直角处邻边缩成了零
- 余切是邻边比对边，也就是零除以一个正数
- 零除以任何非零的数都是零，所以读数是 0
这正是正切那一页拒答的角，而在这里它是一个再普通不过的零。没有任何特判：这个比值的零在上面而不是在下面，而零除以一个数是被允许的。它是「互为倒数」这条关系最干净的一个例子——在这个角上，两个函数不是大小有差别，而是把「有定义」和「没有定义」交换了。
局限
三件要说清楚的事。第一，读数只给四位小数，而其中大多数是无理数：三十度的余切是根号三，1.7321 是它截断之后的位置，不是它本身。四十五度是本页唯一一个精确、有限的值，所以这张表看起来并不整齐——有几行落在干净的整数上，其余的都不是。第二，余切在零度、一百八十度、以及一切能化简到这两个角的角上都没有值，负角和超过一整圈的角一样包括在内；本页把它们全部拒掉，凡是能给那两个角加上整数圈得到的角，也在拒掉之列。第三，本页不反着走。手里有一个余切值 1.7321，角可以是三十度、可以是二百一十度，也可以是相隔半圈的无穷多个角；在它们之间挑选需要一个本页不做的决定。
常见问题
- 为什么零度的余切没有值？
- 因为余切是邻边比对边，而零度时对边缩成了零。除以零没有答案。这和正切在九十度上的失败是同一回事，只是挪了四分之一圈：两个函数互为倒数，所以一个为零的地方另一个没有定义，零点和极点正好互换位置。
- 余切是不是就等于一除以正切？
- 是，这是它最短的说法。它同时还是余弦除以正弦，也是邻边比对边，三种说法说的是同一件事。唯一要留神的是正切为零或者没有值的那些角：一除以零不是数，所以余切在零度与一百八十度上没有定义，尽管正切在那里是有的；而它在九十度与二百七十度上是零，那里正切反倒没有定义。
- 为什么九十度的余切是零？
- 因为直角处邻边缩成了零，而对边正是最长的时候。分子为零的比值就是零，所以这是一个普通的零，没有任何特判。这个角正是三角函数那一页拒答的角，对比本身就是重点：两个函数把「谁答得出、谁答不出」换了个位置。
- 余切是负数说明什么？
- 说明两条直角边一正一负，也就是点落在第二或第四象限。过了直角，邻边指向另一边而对边没有变，比值就转负，一路负到一百八十度；第三象限两边都是负的，比值又转正；过了二百七十度再转负。
- 余切多久重复一次？
- 每半圈重复一次，比正弦余弦勤一倍。给一个角加上一百八十度，邻边与对边同时翻号，两个都翻号的量相除结果不变。所以三十度与二百一十度的余切都是 1.7321，下面那张表里这一对中间隔了八行。正弦与余弦则要整整一圈才回得来。
- 角可以填弧度吗？
- 可以——输入框旁边有单位选择，选哪一种，读出的都是同一个角。四十五度与 0.7854 弧度给出同一个余切，一。要留意的还是拿去对照的那份资料默认用哪个单位，绝大多数默认是度。
参考资料
- Cotangent — 正切的倒数、它的周期是半圈，以及它在零度与一百八十度上的极点 — Wolfram MathWorld（美国）
- Trigonometric Functions — 六个比值的定义与定义域，以及它们各自在哪些角上没有值 — Wolfram MathWorld（美国）
- Tangent — 本页要翻转的那个函数、它自己在九十度与二百七十度上的极点，以及两个函数之间的倒数关系 — Wolfram MathWorld（美国）
- Sine, Cosine and Tangent — 从直角三角形出发把三个比值讲一遍，另外三个比值怎样从它们得到 — Math is Fun（英国）