正切计算器

tan θ = 对边 ÷ 邻边 tan θ = sin θ ÷ cos θ tan θ = 斜率

θ

这个角，可以用度也可以用弧度。它可以是负的，也可以超过一整圈——只有它落在圆上的位置有意义

对边 / 邻边

含角 θ 的直角三角形里的两条直角边：θ 对面的那一条，和挨着它的那一条。正切是前者比后者——斜边完全不参与

sin θ ÷ cos θ

同一个比值换成另外两个的写法。正是这个写法解释了极点：余弦为零的地方除法没有答案，而余弦在九十度与二百七十度上正好为零

斜率

这个比值在单位圆上的含义：从原点连到角终点那条直线的坡度。正切为一就是一条四十五度的直线，读数越大线越陡

要的是一个坡度而不是一个高度时用它：屋面写成上升比水平的坡度、道路的纵坡百分比、梯子或斜坡该摆成什么角度、过两点的直线朝哪个方向。也可以用来把「有多陡」压成一个数——正弦与余弦各自只说出了方向的一半，正切一次说完整。读它的时候留意两件事。角过了九十度，读数转负并继续变大，如果手里只有一张图而没有坐标，那个负号说的是这条线朝另一边斜，不是陡度变了。角逼近直角时读数越来越大、没有上界，那是在说这条线快竖直了；到九十度就没有读数可给，因为竖直的线没有水平距离可以除。要的是正弦与余弦跟它并排，去三角函数那一页；要的是这个数的倒数，那是另一个函数，断掉的位置也换到了另外两个角上。

1. 四十五度，唯一一个整数答案

   1. 四十五度时直角三角形的两条直角边相等
   2. 正切是对边比邻边
   3. 两个相等的量相除正好是一，所以读数是 1，不是 0.9999

   页面打开时就是这个角，也是这个函数唯一取到整数的角。四十五度同时也是斜率为一的那个角，同一件事换个说法就是「水平走一格、竖直升一格」。本页其余的读数不是根号就是根号的倒数，下面那张表要写到四位小数，原因就在这里。

2. 三十度的角

   1. 三十度时对边是斜边的一半
   2. 邻边是另一条直角边，长度是二分之根号三
   3. 一半除以二分之根号三等于根号三分之一，约 0.5774

   三十度的正切与六十度的余切是同一个数，这是一条规则而不是巧合：直角三角形的两个锐角相加是九十度，而一个角的对边正是另一个角的邻边。所以一个角的正切永远等于它余角的余切，反过来也成立，两句话说的是同一件事。

3. 第二象限的角，一百三十五度

   1. 一百三十五度是直角再过去四十五度
   2. 点落在第二象限，邻边变成负的，对边仍然是正的
   3. 正的除以负的得负，所以正切是 −1

   正好是四十五度读数的相反数，而这也是整个第二象限的规律：正切的绝对值与折回第一象限那个角上的完全相同，变的只有符号。这一行也是正弦那一页给出另一套结果的地方——一百三十五度的正弦仍然是正的 0.7071，因为点还在横轴上方；而正切已经转负，因为水平方向那一段已经指到了左边。

4. 二百一十度，比三十度多了半圈

   1. 二百一十度是三十度加上一个平角
   2. 加上一百八十度，对边与邻边同时翻号，两条都成了负的
   3. 负的除以负的得正，大小也没变，所以读数还是 0.5774

   这条是「周期只有半圈」最干净的例子，也是本页与正弦、余弦分道扬镳的地方：那两个要转满一整圈才回到同一个读数，正切半圈就到了。原因是一个比值不在乎分子与分母是不是同时变了号。下面那张表里这一对中间隔了八行。

三件要说清楚的事。第一，读数只给四位小数，而其中大多数是无理数：三十度的正切是根号三分之一，0.5774 是它截断之后的位置，不是它本身；四十五度是本页唯一一个精确、有限的值。第二，正切在九十度、二百七十度、以及一切能化简到这两个角的角上都没有值，负角和超过一整圈的角一样包括在内——负九十度与四百五十度与九十度是同一个理由被拒掉的。角非常接近但没有到达直角时，读数会很大，本页照常给数；到了直角本身，本页给的是错误提示而不是一个极大的数字，因为这个数列并不收敛：从一侧逼近时它一路上冲，从另一侧逼近时它从最下面往上爬，两侧的走向并不相同。第三，本页不反着走。手里有一个正切值一，角可以是四十五度，可以是二百二十五度，也可以是相隔半圈的无穷多个角；在它们之间挑选需要一个本页不做的决定。

为什么九十度的正切没有值？

因为正切是对边除以邻边，而直角处邻边缩成了零。除以零没有答案，所以没有数可印。这不是「值非常大」的意思——角越接近九十度读数确实越大，但到了九十度本身就没有数了，而且从两侧逼近时的走向也不相同。二百七十度是同一件事晚了半圈再发生一次，凡是能化简到这两个角的角一样被拒答。

正切是不是就等于正弦除以余弦？

是，这是它最短的说法。它同时还是对边比邻边，也是角所画直线的斜率，三种说法说的是同一件事。最能解释问题的是除法这个写法：余弦为零的地方这个分数没有答案，而余弦在九十度与二百七十度上正好为零——下面那张表里两道破折号就在这两行。

为什么一百三十五度的正切是负的，正弦却是正的？

因为正切既看上升也看水平距离。一百三十五度时点还在横轴上方，所以正弦保持为正的 0.7071；但点已经越到纵轴左边，邻边变成负的，除法跟着转负。正切的符号说的其实是两条直角边的方向是否一致，而不是点有多高——这也是它比正弦早四分之一圈转负的原因。

正切值很大说明什么？

说明这条线快竖直了。读数就是斜率，正切为十的意思是水平走一格、竖直升十格，角越接近九十度这个数越大、没有上界。越过九十度之后同一条线从最下面重新出现，再往上爬向零，所以极点两侧的读数并不接近，而是差得不能再远。

正切多久重复一次？

每半圈重复一次，比正弦余弦勤一倍。给一个角加上一百八十度，对边与邻边同时翻号，两个都翻号的量相除结果不变，所以三十度与二百一十度的正切都是 0.5774。正弦与余弦则要整整一圈才回得来。

角可以填弧度吗？

可以——输入框旁边有单位选择，选哪一种读出的都是同一个角。四十五度与 0.7854 弧度给出同一个正切：一。要留意的还是拿去对照的那份资料默认用哪个单位，印刷出来的表绝大多数默认是度。

• Tangent — 对边比邻边这个比值、它半圈的周期，以及它在九十度与二百七十度上的极点 — Wolfram MathWorld（美国）
• Trigonometric Functions — 六个比值的定义、值域与定义域，以及它们各自在哪些角上没有值 — Wolfram MathWorld（美国）
• Cotangent — 本页的倒数函数，它自己的极点落在零度与一百八十度上 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；锐角三角函数是义务教育阶段「图形的性质」的内容，正切是其中三个比值之一，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部