正弦计算器
结果
正弦
- 象限（0 表示在坐标轴上）
- 1
正弦计算器给任意角的正弦值——含这个角的直角三角形里，对边比斜边；放到单位圆上看，它就是角的终点的高度。六个比值里，正弦回答的是「多高」：三十度时高度是一半，九十度时是全部。正弦在任何角上都有值，这一点与正切正好相反——分母是斜边，而斜边永远不为零，所以本页不拒答任何输入，表格里也不会有破折号。两条性质比其余的更要紧。第一，正弦是奇函数，负角给出的是相反数；余弦就不是，余弦在负角上给出与正角相同的结果。第二，正弦的周期是一整圈，正切只要半圈，因为终点的高度要转满一圈才回到原处。结果区第二行是象限，这是本页比余弦那一页多出来的一格。象限是坐标平面被两条坐标轴分成的四块，从正横轴起按逆时针数；正弦的符号说明点在横轴上方还是下方，余弦的符号说明它在纵轴左边还是右边，两个符号合起来才定得出是哪一块。三十度时正弦是 0.5、象限是 1，点在两条轴围成的右上那一块里；一百五十度时正弦还是 0.5，象限却变成 2——同样的高度，换了一侧。这一对是本页最值得看的地方：一个角的正弦等于它补角的正弦，所以表里同一个数会出现两次，旁边跟着不同的象限，而单独一个数值分不出这两个角。落在坐标轴上的四个角——零度、九十度、一百八十度、二百七十度——不属于任何象限，那一列写 0：它们压在象限的边界上而不是落在某一块里面，写 0 是实情，不是缺值。下面那张正弦值表把十二个角与它们的象限并列出来，与余弦那一页用的是同一串角，两页可以一行一行对着读；要的是正弦、余弦、正切三个一起，三角函数那一页一次给齐。
十二个角上的正弦与象限
| θ（度） | sin θ | 象限 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 30 | 0.5 | 1 |
| 45 | 0.7071 | 1 |
| 60 | 0.866 | 1 |
| 90 | 1 | 0 |
| 120 | 0.866 | 2 |
| 135 | 0.7071 | 2 |
| 150 | 0.5 | 2 |
| 180 | 0 | 0 |
| 210 | -0.5 | 3 |
| 270 | -1 | 0 |
| 330 | -0.5 | 4 |
十二个角、三列，一道破折号都没有——这一页从不拒答任何角，表里就是它显形的地方。象限那一列往下读，四块依次出现：前九十度是 1，九十到一百八十度是 2，再到二百七十度是 3，最后一段是 4，中间四个位置写着 0，那是压在坐标轴上、不属于任何一块的角。数值那一列有自己的走法：从零升到一，再落回零，越过横轴以后一路降到二百七十度的负一，然后往回爬。还有几对行的数值是相同的——三十度与一百五十度、四十五度与一百三十五度、六十度与一百二十度、二百一十度与三百三十度，每一对都是一个角与它关于纵轴的镜像，也就是互为补角的那两个角。
公式
sin θ = 对边 ÷ 斜边 sin θ = y ÷ r sin θ = −sin(−θ)
- θ
- 这个角，可以用度也可以用弧度。它可以是负的，也可以超过一整圈——只有它落在圆上的位置有意义
- 对边 / 斜边
- 含角 θ 的直角三角形里给出的两条边：θ 对面的那一条，与最长的那一条。正弦是前者比后者，所以它永远不大于一、也不小于负一
- y / r
- 同一个比值放在半径为 r 的圆上看：y 是角终点的纵坐标。单位圆上 r 是一，正弦就是这个高度本身
- 象限
- 角落在坐标平面的哪一块，从正横轴起按逆时针数。零表示这个角正好压在坐标轴上，不属于任何一块
手里有角度、要的是跟着它的高度时用它：坡面的竖直分量、把力拆成朝上的那一部分、按长度算出来的爬升量。它也是检查符号最快的办法——角过了直角而不到一百八十度时，正弦仍然是正的，本页把象限一并印出来，就是为了让「点往左去了、但还在上面」这件事看得见。要的是正弦、余弦、正切三个一起，三角函数那一页一次给齐，两页的数逐位相同。反过来，手里是一个正弦值、想要角，那是另一个方向的问题：负一到一之间的每一个值都有两个角，选哪一个要额外决定，本页不做这件事。
算例
三十度，页面打开时的那个角
- 等边三角形对半切开，就是含三十度角的直角三角形
- 三十度对面的那条边是斜边的一半
- 一半除以一等于 0.5；点落在横轴上方、纵轴右侧，所以象限是 1
页面打开时就是这个角，也是本页唯一一个不需要小数就能说清的值。在几个特殊角里，三十度是正弦最小而仍然不为零的那一个：直角是 1，四十五度是 0.7071，这里是 0.5。象限那一格写 1，因为点既在横轴上方、也在纵轴右侧。
一百五十度，同一个正弦值，换了一块象限
- 一百五十度是离平角还差三十度
- 点已经越过纵轴到了左边，但仍在横轴上方
- 高度与三十度时相同，所以正弦是 0.5，象限变成 2
为什么本页要多印一列象限，这一行是最清楚的理由：单看 0.5 这个数，两个角分不出来。一整圈里只有三十度与一百五十度共享这个正弦值，而这是一条规则而不是巧合——一个角的正弦等于它补角的正弦，把圆沿纵轴对折就能看见两个点落在同一高度上。
负角，负三十度
- 负三十度是从正横轴出发顺时针量三十度
- 点落到了横轴下方而不是上方，高度是负的
- 读数是 −0.5，象限是 4
这就是奇函数的含义：角的符号一变，答案跟着变号。余弦不是这样——它在负三十度上给出的仍是 0.866，与正三十度一模一样。这个差别要记住，因为凡是同时出现正弦与余弦的公式都会用到它，也是下面那张表不对称的原因。
九十度，象限那一格写 0
- 直角处对边与斜边成了同一条边
- 一条边除以它自己是一，所以正弦取到最大值 1
- 点落在纵轴上而不是落在某一块里，所以象限是 0
读数 1 是正弦的上界，没有哪个角能超过它。象限那一格写 0，是本页对四个轴上角统一的约定：零度、九十度、一百八十度、二百七十度都不属于任何象限，因为象限是不含边界的四块，而坐标轴正是它们的边界。这张表里的两个 0 都来自这条约定，而这一行最容易看出它是实情而不是缺值。
局限
三件要说清楚的事。第一，读数只给四位小数，而其中大多数是无理数：六十度的正弦是二分之根号三，0.866 是它截断之后的位置，不是它本身；本页只有三十度、九十度以及它们的对称角落在干净的数上。第二，象限是「落在哪一块」的标签，不是量出来的数，而压在坐标轴上的四个角不属于任何一块——那一列对它们写 0，这个 0 既不是缺值，也不是第五个象限，而是「这个角在边界上」这句话本身。第三，本页不反着走。手里有一个正弦值 0.5，角可以是三十度，可以是一百五十度，也可以是两者加上任意整数圈，在它们之间挑选需要一个本页不做的决定。另外，超过一百万度的角会被直接拒掉而不是先化简：到了那个量级，化简本身已经没有意义。
常见问题
- 为什么正切会没有值，正弦却处处都有？
- 因为除法的方向不同。正弦是对边除以斜边，而斜边是最长的一条边，分子永远不大于分母，底下也永远不为零，所以结果始终在负一到一之间。正切是对边除以邻边，直角处邻边缩成了零——除以零没有答案，所以那个角是正切那一页拒答的角。本页连九十度都收，读数正好是一。
- 象限那一列是做什么用的？
- 它说明这个角落在坐标平面的哪一块里，从正横轴起按逆时针数。正弦的符号说明点在横轴上方还是下方，余弦的符号说明它在纵轴左边还是右边，两个符号合起来才能说出是哪一块。本页要印这一列，是因为单看正弦分不出来：三十度与一百五十度的正弦都是 0.5，只有象限能说是哪一个。
- 轴上的角为什么象限写 0？
- 因为零度、九十度、一百八十度、二百七十度压在坐标轴上，而象限是不含边界的四块，边界正是坐标轴。把它们归进第一象限是一句不真的话——点并不在横轴上方，它就在横轴上。写 0 才是实情，下面那张表的象限列用的也是这条约定。
- 为什么一百五十度与三十度的正弦一样？
- 因为一个角的正弦等于它补角的正弦。一百五十度是离平角还差三十度，把圆沿纵轴对折，这两个点就重合在一起，所以它们在同一高度上。一整圈里共享同一个正弦值的角总是这样一对，关于纵轴对称而不是关于横轴对称——这也正是数值不变而象限变了的原因。
- 正弦会是负的吗？
- 会，凡是点落到横轴以下的角都是负的，也就是半圈之后的那些角以及所有的负角。读数在一百八十度到三百六十度之间取负值，最小值是负一，出现在二百七十度。这一点上正弦与余弦的分界差四分之一圈：余弦在点越过纵轴时转负，正弦则在越过横轴时转负。
- 角可以填弧度吗？
- 可以——输入框旁边有单位选择，选哪一种读出的都是同一个角。三十度与 0.5236 弧度给出同一个正弦：0.5，象限也一样。要留意的还是拿去对照的那份资料默认用哪个单位，印刷出来的表绝大多数默认是度。
参考资料
- Sine — 对边比斜边这个比值、它的奇函数性质，以及一整圈的周期 — Wolfram MathWorld（美国）
- Trigonometric Functions — 六个比值的定义与值域，以及为什么正弦处处有定义而正切不是 — Wolfram MathWorld（美国）
- Unit Circle — 半径为一的圆、它被分成的四个象限，以及圆上一点为什么读作余弦与正弦 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；锐角三角函数是义务教育阶段「图形的性质」的内容，任意角的三角函数是它的延伸，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部