直線の傾き計算
計算結果
傾き
- y切片
- 0.000000
- 勾配の角度
- 63.4349
直線の傾き計算ツールです。直線はふつう2通りの形で与えられるので、このページはどちらからでも傾きを求めます。その直線上の2点か、ax + by = cの形の直線の方程式です。傾きと一緒にy切片と、その直線が水平となす角度も返します。どちらの入力欄を読むかは上の「与えられた条件」が決めます。2点を選べば傾きはyの変化量をxの変化量で割ったもので、方程式を選べば傾きは−a ÷ b、y切片はc ÷ bになります。2組の入力欄はどちらも画面に出たままです。読まれていないほうは灰色にならず、まちがえたほうに入れた数は何の効果もなく、警告も出ません。その欄を効かせるには選択を切り替えます。垂直な直線は傾きを無限大として報告せずに拒否します。無限大は次の計算に持ち込める数ではありませんし、垂直な直線にはそもそも傾きが無いからです。出てくる角度は傾きの逆正接で、−90度から90度まで動きます。右へ下がる直線は負の角度で返り、幾何の教科書が使う傾角なら同じ直線を135度と呼びます。どちらの出力にも単位は付きません。傾きはただの数で、両方の軸を同じもので測ったときにだけ「1単位あたりいくつ」という意味を持つからです。
よく使う傾きとその角度
| 傾き | 角度（度） |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 45 |
| -1 | -45 |
| 0.5 | 26.5651 |
| 2 | 63.4349 |
| 3 | 71.5651 |
| -3 | -71.5651 |
| 0.25 | 14.0362 |
よく出てくる8行の傾きと、それぞれが水平となす角度です。1列目がこのページの出す答えで、2列目がそれを逆正接に通したもので、この表は入力の一覧ではなく計算済みの結果の一覧です。ここにあるものは座標ではありません。2行は角度が厳密なので暗記する価値があります。傾き1は45度、傾き−1は−45度です。値は小数4桁まで、しかも小数点が1つだけの数に限っています。これは意図的です。表のセルはローカライズされないので、1,414214のように書く言語の読者は、文脈から切り離された2つの区切り文字の数を読むことになります。各セルはページを構築するときにその行から計算し直しています。
公式
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) b = y₁ − m·x₁ ax + by = c ⇒ m = −a ÷ b, b = c ÷ b
- x₁, y₁, x₂, y₂
- 「与えられた条件」が2点のときに使う、その直線上の2つの点です。1点目と2点目は入れ替えてもかまいません。入れ替えると分子と分母の符号が同時に反転するので、傾きは同じ値になります。入れ替えてはいけないのは、xをyの欄に入れることです。それはどこも検査しておらず、結果はまったく普通に見える数になります。
- a, b, c
- ax + by = cの3つの係数で、「与えられた条件」が方程式のときに使います。読まれるのはそのモードのときだけで、もう一方のモードでは画面上に何の表示もなく無視されます。ここでのbはyの係数であってy切片ではないことに注意してください。y切片は別の出力で、この2つを混同することがこの形でいちばん多いまちがいです。
- m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- 2点から求めた傾きで、縦の変化を横の変化で割ったものです。2点をどれだけ離しても同じ数になることが、直線がまっすぐであるということです。1マイル離れた2点でも1ミリ離れた2点でも比は変わりません。これが成り立たなくなるのはx₁とx₂が等しいときだけで、分母が0になり、その直線は垂直です。
- m = −a ÷ b
- 直線の方程式から求めた傾きで、ax + by = cをy = (−a ÷ b)x + (c ÷ b)に並べ替えて得られます。負号は落としやすく、落とすと大きさは正しく符号だけが違う傾きが出ます。直線が下がっているのに上がって見えるのは、まさにこの誤りです。bが0のときはこの並べ替えが0で割ることになり、その直線は垂直なので、その場合は近似せずに拒否します。
- b = y₁ − m·x₁
- y切片で、直線が縦軸と交わる場所です。グラフから読み取るのではなく、傾きと2点のうちの1点から計算し、0になるときも含めて常に印字します。原点を通る直線のy切片はちょうど0で、これは明示的に見る価値があります。方程式に定数項がまったく無い場合だからです。
- angle = arctan(m)
- 勾配の角度で、傾きの逆正接を度で表したもので、−90から90のあいだになります。傾き1なら45度、−1なら−45度、水平な直線なら0度です。座標幾何で使う傾角ではありません。傾角は0から180まで動き、同じ−45の直線を135と報告します。ここで逆正接を使うのは、それが傾きから直接1対1で決まり、逆にもどせる角度だからです。
直線が標準的な2つの形のどちらかで与えられていて、そこから傾きを出さなければならないときに使います。手で並べ替えずに直線の方程式を読んで傾きとy切片を知りたいときにも便利です。2x + 3y = 6なら、1手で傾き−2/3、y切片2と分かります。すでに引いた直線を確かめるページでもあります。傾きの符号が逆に出たり、y切片が軸を横切る位置と合わなかったりすれば、どこかで直線の方程式を読み違えています。角度は、傾きを実際の坂と見比べたいときに役立ちますが、それは傾角ではなく逆正接なので、その違いを頭に置いて読んでください。
計算例
(1, 2)と(4, 8)を通る直線
- yの変化量：8 − 2 = 6
- xの変化量：4 − 1 = 3
- 傾き：6 ÷ 3 = 2
- y切片：2 − 2 × 1 = 0なので、この直線は原点を通る
- 勾配の角度：arctan(2) = 63.4349度
2点の場合で、角度以外はすべてきりのよい数になります。有理数の傾きの逆正接はほとんど決して整数の度数にならないので、これはごく普通のことです。y切片がちょうど0であることは少し立ち止まる価値があります。この直線の方程式はy = 2xで、足されるものが何も無いということです。y切片は軸の上に見える距離のはずだと思っていた読者には、原点をちょうど通る直線が見えています。
(0, 3)と(4, 0)を通る直線
- yの変化量：0 − 3 = −3
- xの変化量：4 − 0 = 4
- 傾き：−3 ÷ 4 = −0.75、右へ下がるので負になる
- y切片：3 − (−0.75 × 0) = 3で、グラフでは点(0, 3)として見える
- 勾配の角度：arctan(−0.75) = −36.8699度
負の傾きの場合で、角度の流儀がものを言う場面です。この直線は右へ下がるので角度は負になります。幾何の教科書なら同じ直線の傾角を143.13度と呼び、2つの数は同じ1本の直線を表しています。ここではy切片がいちばん確かめやすく、1点目のxが0なのでその点はそのまま縦軸の上にあります。
直線2x + 3y = 6
- y = mx + bの形に並べ替える：3y = 6 − 2xなので、y = 2 − (2 ÷ 3)x
- 傾きは−a ÷ b = −2 ÷ 3 = −0.666667
- y切片はc ÷ b = 6 ÷ 3 = 2
- 勾配の角度：arctan(−0.666667) = −33.6901度
- 検算：x = 0とすると方程式は3y = 6なので、y = 2となり、これがy切片
方程式モードの場合で、公式に負号がある理由が見える例です。その負号を落とすと−0.666667ではなく0.666667になります。急さは同じで、下がるかわりに上がるという、もとの方程式と突き合わせれば捕まえられるのに、数を眺めただけでは分からない種類の誤りです。y切片は公式を信じるのではなく、方程式でxを0と置いて確かめられます。
直線x − y = 4
- 並べ替え：−y = 4 − xなので、y = x − 4
- 傾きは−a ÷ b = −1 ÷ (−1) = 1
- y切片はc ÷ b = 4 ÷ (−1) = −4
- 勾配の角度：arctan(1) = ちょうど45度
bが負の場合で、公式の2つの負号が打ち消し合って答えが正になる場所です。角度が整数の度数になる数少ない直線の1つでもあります。傾き1は45度、傾き−1は−45度で、参考表にその2行があるのはこのためです。y切片が−4ということは原点より下で交わるということで、負の係数は負の傾きを意味するはずだと思った読者は、ちょうど逆を読みます。
(2, 5)と(6, 5)を通る水平な直線
- yの変化量：5 − 5 = 0
- xの変化量：6 − 2 = 4
- 傾き：0 ÷ 4 = 0。水平な直線で、傾きは定義されないのではなく0になる
- y切片：5 − 0 × 2 = 5で、直線がいる高さ
- 勾配の角度：arctan(0) = 0度
傾きが0の場合で、このページが拒否する垂直な直線といちばん混同される例です。水平な直線の傾きはちょうど0で、上がりも下がりもしません。垂直な直線には傾きがまったく無く、違いは0が分子に来るか分母に来るかだけです。ここではすべての出力がきれいな数なので、下書きと突き合わせるのにいちばん楽な行です。
適用限界
2組の入力欄はどちらも画面に出ていて、どちらが読まれるかは「与えられた条件」が決めます。読まれていないほうの組は灰色になりません。このページにはそれができないからです。だからまちがえたほうの組に入れた数は黙って無視され、その数を変えても結果は動きません。これがこのページで画面からでは分からない唯一の振る舞いで、直す方法は選択を確かめることだけです。2点と書いてあれば2点の欄が読まれ、直線の方程式と書いてあればa、b、cの欄が読まれます。垂直な直線はどちらのモードでも、傾きが無限大としてではなく拒否されます。無限大は使える数ではなく、垂直な直線にはそもそも傾きが無いからです。水平な直線はまったく別の場合で、傾きはちょうど0として返ります。角度は傾きの逆正接で、−90度から90度までです。座標幾何で使う0から180の傾角ではありません。同じ下がる直線がここでは−45、傾角では135になり、両者を混同すると角度から計算するものすべてに符号の誤りが入ります。傾きは単位を持たないただの数で、両方の軸を同じもので測ったときにだけ意味を持ちます。距離をメートル、時間を秒で測ったときの傾き5は毎秒5メートルですが、このページはそう言いません。座標の大きさは絶対値で100万までに限っています。これは表示の範囲です。等級はありません。直線の急さに権威あるしきい値は無く、上がるか下がるかは傾きの符号がすでに告げています。最後に、このページが扱うのは直線だけです。曲線は場所ごとに違う傾きを持ち、ここでは導関数を計算しません。
よくある質問
- 入力欄を変えても答えが変わらないことがあるのはなぜか
- 選択がもう一方の組を指しているからです。2組の入力欄は常に画面に出ていて、読まれるのは一度に1組だけです。2点を選んでいればa、b、cの欄はまったく無視され、方程式を選んでいれば4つの座標の欄が無視されます。使われていない組は灰色にならないので、どの数が効いているかを示すのは選択だけです。結果が動かないように見えたら、まずそこを確かめてください。
- 垂直な直線の傾きはいくつか
- 無い、というのが答えで、このページは無限大を印字せずにその入力を拒否します。傾きはyの変化量をxの変化量で割ったもので、垂直な直線ではxの変化量が0なので、計算は0で割ることを要求します。無限大は次の段階に持ち込める数ではありませんし、傾きが無限大と言うと、数が無いというより非常に大きい数があるように響きます。水平な直線は正反対の場合で、傾きはちょうど0です。
- 方程式から傾きを求めるにはどうするのか
- ax + by = cをy = mx + bに並べ替えます。そうすると傾きは−a ÷ b、y切片はc ÷ bになり、選択が方程式のときにこのページが計算しているのはこれです。符号は見た目より大事です。2x + 3y = 6なら傾きは−2/3で、負号を落とすと急さは同じまま逆向きに進む直線になります。
- 勾配の角度と傾角は何が違うのか
- 勾配の角度は傾きの逆正接で、−90度から90度のあいだにあります。座標幾何で使う傾角は0度から180度のあいだです。右へ下がる直線では両者は180度ずれます。傾き−1に対してこのページは−45と報告し、同じ直線の傾角は135です。このページが逆正接を使うのは、それが傾きから直接1対1で決まり、負の傾きに180を足すという余分な規則が要らないからです。
- 傾きに単位はあるのか
- それ自体では持っていません。傾きは2つの変化量の比なのでただの数で、両方の軸を同じもので測ったときにだけ「1単位あたりいくつ」になります。両方の軸をメートルで測れば無次元の数になり、メートルと秒で測ればメートル毎秒になります。このページはそれを尋ねないので、換算も表示もできません。軸が別々の単位なら傾きは割合で、その単位だけはこのページが用意できないものです。
- これを使って直線の方程式を求められるのか
- いいえ、このページは逆方向です。すでに2点か方程式で記述された直線を受け取り、その傾きとy切片を報告します。傾きと1点から方程式へ進むのは別の仕事で、そのページは点と傾きの形の計算ツールです。ただ、このページは途中でy切片も出します。傾きとy切片がそろえばそれだけで直線の方程式の傾き切片形になるので、自分で書き下したいときはそれを使えます。
参考文献
- Slope — 直線の傾きをrise over runとして定義したもの。このページが評価する2点の形と方程式の形の両方を含む — Wolfram MathWorld (United States)
- Line — 一般形ax + by = cとその傾き切片形への並べ替え。bが0になる垂直の場合も含む — Wolfram MathWorld (United States)
- Inverse Tangent — 角度の列に使っている逆正接と、傾角と区別する−90から90度という値域 — Wolfram MathWorld (United States)