傾き切片形計算

2点(x1, y1)と(x2, y2) → m = (y2 - y1) / (x2 - x1) → b = y1 - m * x1 → y = m * x + b

m

傾きで、右へ1歩進むあいだに直線がどれだけ上るかです。縦の変化を横の変化で割ったもので、符号が向きを表します。正なら上り、負なら下り、0なら水平な直線です。傾き4は、xが1増えるあいだにyが4増えるということです。

b

y切片で、直線が縦軸を横切る場所のyの値です。x = 0のときのyの値と同じで、傾きの寄与を取り除いたあとに残るものです。このページで、式からそのまま読み取れる唯一の数でもあります。

(x1, y1), (x2, y2)

2つの点です。どちらを1点目と呼んでもかまいません。入れ替えると傾きの分子と分母の符号が同時に反転し、2つの反転は打ち消し合います。同じxの座標を共有してはいけません。その割り算が0で割ることになるからです。

x, y

できあがった式の2つの変数です。それを満たす組はどれもこの直線の上にあり、だからこの式は役に立ちます。どんなxを入れても、その上の点のyが返ってきます。もとの2点はもう要りません。

直線がその上の2点で与えられていて、その直線そのものが欲しいときに使います。つまり直線の方程式と傾きと、軸と交わる場所です。その直線についての1つの数ではありません。表から取った2つの読み、グラフ上の2つの位置、最初の値とあとで測った1つの値、そういう組から、傾きはどれだけ速く変わるかを、y切片はどこから始まったかを告げます。欲しいのが傾きだけ、あるいは2点のあいだの予測だけなら、下に並んでいる計算ツールがまさにそれだけを行います。

1. (1, 2)と(3, 10)、ごく普通の場合

   1. 縦の変化：10 − 2 = 8。横の変化：3 − 1 = 2
   2. 傾き：m = 8 / 2 = 4
   3. y切片：b = 2 − 4 × 1 = -2
   4. 式：y = 4x - 2

   2点の両方で確かめてください。残しておく価値のある習慣です。x = 1なら4 × 1 − 2 = 2で、x = 3なら4 × 3 − 2 = 10になります。2点とも軸より上にあるのにy切片が負なのは誤りではありません。この直線は急なので、1点目よりずっと左のx = 0.5で軸を横切ります。

2. (0, 1)と(2, 2)、傾きが整数にならない場合

   1. 縦の変化：2 − 1 = 1。横の変化：2 − 0 = 2
   2. 傾き：m = 1 / 2 = 0.5
   3. 1点目がすでに軸の上にあるので、y切片はそのまま落ちてくる：b = 1 − 0.5 × 0 = 1
   4. 式：y = (1/2)x + 1

   係数が括弧でくくられているのは、1/2xと書くと1を2xで割ったものと読まれるからです。印字された2つの数が式とぴったり一致していることにも注目してください。傾きの行は0.5と言い、式は(1/2)と言いますが、これは同じ数を分数で書いたものです。分母が十分小さくて読む価値があるとき、このページは有限小数を分数として印字します。

3. (1, 3)と(5, 3)、水平な直線

   1. 縦の変化：3 − 3 = 0。横の変化：5 − 1 = 4
   2. 傾き：m = 0 / 4 = 0
   3. y切片：b = 3 − 0 × 1 = 3
   4. 式：y = 3。傾きの項がまったく寄与しないから

   傾きが0だと式が潰れます。xがまったく残らず、y = 0x + 3と書いても常に0の項が1つ増えるだけです。印字される式がy = mx + bの形に見えなくなる唯一の場所ですが、それは手抜きではなく正しい答えです。この直線上のどの点も、xが何であれy = 3になります。

扱うのは直線だけで、しかも異なる2点を通るものだけです。2点のxが同じならその直線は垂直で、傾きを持たず、y軸と決して交わりません。だから傾き切片形として出せるものが無く、このページは式を印字せずに計算の失敗として報告します。そこで正直な答えはx = 3ですが、それはこのページが作れる形の直線の方程式ではありません。2点が一致する場合も同じです。1つの点を通る直線は無数にあるからです。傾きはy切片を計算する前に小数6桁へ丸めるので、印字される2つの数は常に印字される式と一致します。その代わり、傾きが循環するときは6桁目より先で厳密な直線と食い違います。1/3は0.333333になり、式はそれから作られます。このページは式を印字するだけで、解いたりはしません。直線がx軸と交わる場所も、2本の直線が平行かどうかも、別のxでyがいくつかも告げません。座標はどちらの向きも100万までに限っています。単位はどこにも関わりません。座標は測定値ではなく数だからです。

どちらの点を先に入れればよいのか

どちらでもかまいません。答えは変わりません。2点を入れ替えると(y2 - y1) / (x2 - x1)の分子と分母の符号が同時に反転し、2つの反転は打ち消し合います。y切片についても同じです。それは点と傾きから計算されるからです。大事なのは、1つの点の2つの座標を同じ行に入れることだけです。

2点のxが同じだったらどうなるのか

その直線は垂直になり、このページは計算の失敗として報告します。垂直な直線は傾きをまったく持ちません。横の変化が0なので、その割り算には答えが無いからです。y軸とも決して交わらないので、mとbをどう選んでもy = mx + bという式では表せません。垂直な直線の式はx = 3で、傾きもy切片も入っていません。だからこのページの作れるものの外にあります。

傾きが丸められるのはなぜで、循環小数のときはどうなるのか

小数6桁に丸め、y切片は厳密な値ではなくその丸めた値から計算します。これは意図的で、結果パネルの2つの数がその下に印字される式とぴったり一致するようにしています。そうすれば答えを手で確かめられます。代償は、傾きが循環するときです。(1, 1)と(4, 2)が作る1/3のような場合、印字される直線は丸めた直線、つまり3分の1ではなく0.333333になります。

点と傾きの形の計算ツールとは何が違うのか

入力が違います。このページは2点を受け取ります。ふつう手元にあるのはそれです。点と傾きの形のページは、1つの点とすでに分かっている傾きを受け取り、その点が見える形で式を印字します。同じ直線を表すので、2つのページは続けて使えます。このページが出した傾きと、2点のうちの1点目を入れれば、あちらが同じ直線を別の書き方で書きます。

式が分数になったり小数になったりするのはなぜか

数桁で終わる小数は、分母が小さいときに分数として印字します。0.5は(1/2)、0.25は(1/4)になります。傾きは手で書くときふつうそう書くからです。それより長いものは小数6桁のままになり、3分の1は0.333333として出ます。どちらでも数は同じで、式の上の傾きの行は常にそれと一致します。

答えを手で確かめるにはどうするのか

自分のxの値を印字された式に入れて、その点のyが出るか見てください。(1, 2)と(3, 10)なら式はy = 4x - 2で、x = 1では2、x = 3では10になり、どちらの点も直線の上にあります。片方が合わなければ、式の上に印字されている傾きとy切片の2つが、自分の計算と見比べるべき数です。

• Slope — rise over run、そしてこのページの1つ目の出力が従う符号の約束 — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — ここまでの話の対象そのもので、その方程式が取りうるいくつかの形 — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear equation — 2変数の方程式としてのy = mx + b。傾きと切片を1つずつ持つ — Wolfram MathWorld (United States)