点傾斜形計算
計算結果
点傾斜形
- 傾き切片形
- y = 2x + 1
- y切片
- 1.000000
点傾斜形の計算ツールです。直線上の1点とその傾きが分かっているときに、その直線の式を書きます。答えは2通りの並べ方で返ります。1つは点傾斜形で、式を組み立てた数のまま点が見える形にしておくものです。もう1つは傾き切片形で、展開してy切片を直接読めるようにしたものです。既定値は点（1, 3）を通る傾き2の直線で、y − 3 = 2(x − 1)、並べ替えるとy = 2x + 1になります。この直線がどういうものかは最初の並べ方にもう全部見えていて、それがこちらを好む理由です。傾きは前にある数で、点の座標は入力した場所にそのまま座っています。傾きが分数でも正当な入力で、丸めずに分数として書きます。式は厳密な対象で、小数はその数の綴り方の1つにすぎないからです。
10通りの傾きと点、そしてそれらが作る式
| 傾き | x₁ | y₁ | 点傾斜形 |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 3 | y - 3 = 2(x - 1) |
| 1 | 0 | 0 | y = x |
| 1 | 5 | 0 | y = (x - 5) |
| -1 | 2 | 5 | y - 5 = -(x - 2) |
| -1 | 0 | 4 | y - 4 = -x |
| 0 | 1 | 3 | y - 3 = 0 |
| 0.5 | 4 | 1 | y - 1 = (1/2)(x - 4) |
| 3 | 0 | -2 | y + 2 = 3x |
| -2 | -1 | -3 | y + 3 = -2(x + 1) |
| 4 | 2 | 2 | y - 2 = 4(x - 2) |
各行が傾きと1点を取り、出てくる式を示します。行は恣意的ではなく、書き方の約束を網羅するように選んであります。読者が突き合わせるのはそこだからです。2行目は両方の座標が0で、括弧がまるごと消えます。3行目は高さが0で、左辺が裸のyのまま残ります。6行目は傾きが0で、右側に素の0を印字します。7行目は分数の傾きを持ち、括弧が付きます。9行目は負の座標で、2つの符号が同時に反転します。どれも手書きの答えが間違えやすい場合で、2行目と9行目を並べて置く価値があるのは、符号付きの座標のほうです。どのセルも数か表記なので、この表は10言語すべてで同じものになります。
公式
y − y₁ = m(x − x₁) 傾き切片形：y = mx + (y₁ − m·x₁)
- m
- 傾きで、直線がどれだけ急に上がるか下がるかを符号付きの数で表したものです。右辺では括弧の前の係数で、式を並べ替えるとxの係数になります。傾きが0だと直線は水平になり、そのとき計算ツールは、何も掛かっていない括弧ではなく素の0を書きます。
- x₁, y₁
- 既知の1点です。ここで必要なのは1点だけです。傾きが向きを決め、点が位置を決め、その2つがそろって直線が定まります。添字は公式が使っているもので、リストの番号ではありません。このページに2点目はありません。
- y intercept
- 直線がy軸と交わる場所で、式を並べ替えたあとに残る定数です。同じ3つの入力から出てきます。直線は与えられた点を通るので、xが0のときの高さは、そこへ来るまでに傾きが生むはずだった上昇ぶんを、その点の高さから引いたものになります。
- x, y
- 式が結び付けている2つの変数です。どちらにも値は与えません。答えは直線上のすべての点に同時に当てはまる規則で、だから主の読みが1つの数ではなくテキストになっています。
傾きとその上の1点が分かっているときに直線を書き下すために使います。変化の割合と初期値から、既知の場所での接線の傾きから、あるいは2点間の傾きを先に求めておいてから、といった場面です。逆に2点から傾きへ進むのは傾きのページ、出来上がった式を使って直線上の先の値を予測するのは補間のページです。
計算例
（1, 3）を通る傾き2の直線
- 傾きと点を雛形に入れる：y − y₁ = m(x − x₁)
- 左辺はy − 3に、括弧は(x − 1)になる
- 点傾斜形はy − 3 = 2(x − 1)
- 括弧を展開する：2(x − 1) = 2x − 2
- −3を移項する：y = 2x − 2 + 3 = 2x + 1
- 傾き切片形はy = 2x + 1で、y切片は1
既定値の場合で、入力と見比べて読むべき例です。括弧の中の2つの数は入力した座標そのもので、引き算によって符号が反転しています。点傾斜形という並べ方が存在する理由がこれです。与えられた点を定数に畳み込まず、読める形のまま残します。
傾き−1、括弧を残さなければならない場合
- 雛形はy − 5 = m(x − 2)になる
- 傾き−1は−1ではなく素の負号として書く。係数1を省くのと同じ扱い
- 括弧は残す：−x − 2と書いてしまうと別の直線になる
- 点傾斜形はy − 5 = −(x − 2)
- 展開する：−(x − 2) = −x + 2、よってy = −x + 2 + 5
- 傾き切片形はy = −x + 7で、y切片は7
いちばん間違えやすい行です。傾き1と傾き−1はどちらも数字が見えない形で書きますが、負号は括弧の外に残さなければなりません。括弧を外すと−(x − 2)が−x − 2になり、それ以外はどこも正常に見える式の真ん中で符号の誤りになります。
分数の傾き
- 傾き0.5は小数ではなく厳密な分数1/2として保つ
- 雛形はy − 1 = (1/2)(x − 4)になる
- 分数には括弧を付ける。1/2(x − 4)は1を括弧の2倍で割ったものと読めてしまうから
- 同じ括弧付けを傾き切片形でも繰り返す：y = (1/2)x − 1
- y切片は−1
2つの約束を同時に決める例です。分数は厳密なまま保つので、式は近似ではなく式のままでいられます。分数の係数には括弧を付けるので、変数ではなく括弧に付いたままになります。どちらの約束も、同じ種類の数に対して他の代数のページが使っているものと同じです。
適用限界
傾きと2つの座標は、大きさ100万までに限っています。分数の入力は、分母が割り切れて1,000以下なら分数として、それ以外は小数6桁として印字します。だから0.5は1/2と出ますが、循環部分が長い小数は丸めに戻ります。傾きと座標は小数としてのみ受け付けます。テキストとして打ち込んだ分数は受け付けないので、1/3はそれが丸められる先の小数として入力してください。縦線はそもそもこの形では書けません。傾きが定義できず、それを生むmの値が存在しないので、与えられた点を通る縦線は、このページが記述できるどの直線でもありません。このページがやらないのは、2点から傾きを求めることと、直線がx軸と交わる場所を告げることです。
よくある質問
- 点傾斜形とは何か
- 直線上の既知の1点が見える形のまま残す、一次方程式の書き方です。yから点の高さを引いたものが、傾きかけるx引く点の位置に等しい、という形になります。どんな点と傾きでもこの形で書け、式を読み返せばどの点とどの傾きからできたかが分かります。
- 傾き切片形のほうが簡単なのに、なぜ役に立つのか
- 既知のものから直接組み立てられるからです。傾き切片形はグラフを描くには整っていますが、そこへ行くには展開して項をまとめる必要があり、計算のつまずきは定数の中に隠れてしまいます。点傾斜形は与えられた数を入力した場所に保つので、一目で確かめられます。
- y切片は何を教えてくれるのか
- 直線がy軸と交わる場所、つまりxが0のときの高さです。同じ3つの入力から決まります。既知の点から出発して、軸からそこへ来るまでに傾きが生むはずだった上昇ぶんを打ち消せばよいのです。既知の点がすでに軸の上にあるなら、切片はその高さそのままです。
- 傾き1はなぜ数字なしで書くのか
- ほかの場所で係数1を省くのと同じ理由です。1(x − 2)と書いても情報を運ばない記号が1つ増えるだけです。傾き−1は負号を残しますが数字はやはり落とし、そこで括弧を残さなければならなくなります。負号は括弧の外に属し、括弧を外すと直線が変わってしまうからです。
- 分数の傾きに括弧が付くのはなぜか
- 分数をxではなく括弧に付けたままにするためです。括弧なしで1/2(x − 4)と書くと、1を括弧の2倍で割ったものと読めてしまい、別の式になります。括弧を付けて(1/2)(x − 4)とすれば、掛け算の順序が一通りに定まります。
- 縦線はこの形で書けるのか
- 書けません。縦線には傾きがありません。上昇は実際にありますが、横の変化が0だからです。それを生むmの値は存在せず、点傾斜形では記述できません。そうした直線はxが定数に等しいという形で書き、その形はこのページの扱う範囲の外です。
参考文献
- Point-Slope Form — このページが出発点にしている並べ方と、傾きと1点だけで足りる理由 — Wolfram MathWorld (United States)
- Linear Equation — 2つの出力がどちらもその特別な場合にあたる一般形と、答えを並べ替えて行ける標準形 — Wolfram MathWorld (United States)
- Slope — 直線の向きを決める数であり、縦線ではそもそも値を持たない量 — Wolfram MathWorld (United States)