線形補間計算
計算結果
補間したy
- 傾き
- 3.000000
- 線分上の位置
- 0.500000
線形補間の計算ツールです。既知の2点を通る直線上で、指定したxに対応するyの値を求めます。2点と目標のxを入力すると、補間したy、その直線の傾き、線分上の位置tが一度に返ります。tは1つ目の点で0、2つ目の点で1になる値で、これが1を超えたり0を下回ったりすれば外挿だと分かります。既定値は（1, 2）と（3, 8）でxが2のときで、ちょうど中間に当たるのでyは5になります。補間とは、2つの測定値を通る直線から値を読み取ることなので、答えの確かさは「この区間では直線的に動く」という仮定の確かさと同じです。目標のxが2点の外側にあるときも同じ式がそのまま走り、結果は補間ではなく外挿になります。このページはそれを拒まず、位置が範囲の外に出ることで外挿だと伝えます。
（1, 2）から（3, 8）までの区間を5等分した位置
| x | t | y |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 2 |
| 1.5 | 0.25 | 3.5 |
| 2 | 0.5 | 5 |
| 2.5 | 0.75 | 6.5 |
| 3 | 1 | 8 |
5つの位置は両端と、区間を等分する3つの点です。だから真ん中の列は0、0.25、0.5、0.75、1と並びます。下へ読むことがこの表の狙いです。yの列が毎回同じ幅で進むのは、位置が等間隔なら値も等間隔になるのが直線そのものだからです。両端を入れてあるので、最初と最後の行は算術なしで2つの既知の点と見比べられます。どのセルも数なので、この表は10言語すべてで同じものになります。
公式
y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) t = (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁) y = (1 − t)·y₁ + t·y₂
- x₁, y₁
- 1つ目の既知の点です。この点が直線を固定します。xがx₁に等しいときは距離の項がまるごと0になるので、式はy₁をそのまま返します。x₁に0を置くのはよくある使い方で、その点がy軸に載るので扱いやすくなります。
- x₂, y₂
- 2つ目の既知の点です。2点がそろってはじめて直線が決まり、直線に必要なのはそれだけです。ただしxの値は異なっている必要があります。xが同じ2点は縦線を表し、1つのxにすべてのyが同時に対応してしまうので、答えが1つに定まりません。
- x
- 値を知りたい位置です。2点の間にある必要はありません。範囲の外でも同じ式がそのまま走り続け、結果は補間ではなく外挿になります。だからこのページは読み取りを制限せず、外挿であることを報告する形にしています。
- t
- 線分上の位置で、1つ目の点から数えて直線上をどれだけ進んだかを表します。1つ目の点で0、中間で0.5、2つ目の点で1になり、2つのyの値を混ぜる重みそのものです。点が線分を分ける比、と言い換えても同じことです。
2つの測定値が分かっていて、その間の値が欲しいときに使います。表の2つの行の間を読む、2回の観測の間の日付の値を出す、直線的に動くとみなせる2つの量の間を埋める、といった場面です。2点のほうが先にあってそこから傾きを知りたいときは直線の傾きのページへ、欲しい値がちょうど真ん中なら中点のページへ進んでください。
計算例
（1, 2）と（3, 8）の中間
- yの変化は8 − 2 = 6、xの変化は3 − 1 = 2
- xが1増えるごとにyは3増えるので、傾きは3
- x = 2は長さ2の区間を1だけ進んだ位置なので、線分上の位置は1 ÷ 2 = 0.5
- その割合で2つの値を混ぜる：(1 − 0.5) × 2 + 0.5 × 8 = 1 + 4 = 5
- 補間した値はy = 5
既定値の場合で、2度読む価値があります。位置がちょうど半分のとき、答えは2つのyの値2と8の単純な平均になります。これは真ん中に落ちた偶然であって規則ではありません。区間の4分の1の位置なら、答えは3.5になります。
右下がりの直線
- yの変化は−20 − 0 = −20、xの変化は10 − 0 = 10
- 傾きは−20 ÷ 10 = −2で、横に1進むごとに2下がる直線
- x = 4は長さ10の区間を4だけ進んだ位置なので、線分上の位置は0.4
- 混ぜる：0.6 × 0 + 0.4 × (−20) = −8
- 補間した値はy = −8
両端に符号が付く例で、だから手で確かめる価値があります。横の変化は−10ではなく10で、答えは2つの既知の値の外側ではなく間に落ちます。区間を逆向きに読むと傾きと位置の符号が同時に反転し、yは変わりません。位置が答えの隣に印字されているのは、そのためです。
2点の外側を尋ねる
- 1つ目の算例と同じ直線：横に1進むごとに3上がる
- x = 4は長さ2の区間を3だけ進んだ位置なので、線分上の位置は3 ÷ 2 = 1.5
- 位置が1を超えているので、点は2つ目の既知の値より先にあると分かる
- 混ぜる：(1 − 1.5) × 2 + 1.5 × 8 = −1 + 12 = 11
- 値はy = 11
外挿の例で、位置を区間に挟まずそのままの数で出す理由でもあります。位置が1.5というのは、点が区間の端からさらに半分だけ先にあるという意味です。計算は補間とまったく同じで、変わるのは読み方だけです。
適用限界
既知の2点はxの値が異なっている必要があります。xが同じ2点は縦線を表し、1つのxに無限に多くのyが対応するので、補間した答えが1つに定まりません。その入力は無限大を返すのではなく拒否します。5つの数はすべて大きさ100万までに限っています。傾きと位置はどちらも割り算の結果で、パネルはそれを小数6桁に丸めるので、それを超えると手で検算できなくなるからです。区間の外側の値は拒否せず、外挿として報告します。位置が1を超えるか0を下回って返るので、外挿したことが分かります。このページに分からないのは、その外挿が妥当だったかどうかです。2点を通る直線はその先で何が起きるかについて何も言いませんし、信頼度のような数も出しません。2点では支えられないからです。
よくある質問
- 線形補間とは何か
- 2つの既知の点を通る直線を引き、その間の位置に対応する値を読むことです。線形という言葉が仮定をそのまま言っています。その区間では量が一定の割合で変化するとみなすので、答えは2つの既知の値の重み付きの混ぜ合わせになり、測定値ではありません。
- 線分上の位置は何を教えてくれるのか
- 1つ目の既知の点から数えて、直線上をどれだけ進んだ位置に点があるかです。1つ目の点で0、中間で0.5、2つ目の点で1になります。値そのものは2つの既知のyをその割合で混ぜたものとして書けるので、補間が2点に付け加える情報はこの位置がすべてです。
- 2点の外側を補間できるのか
- できますし、このページは実際にそうします。ただしその操作は外挿になり、位置が1を超えるか0を下回ることでそれが分かります。2点を通る直線はその2点の間についての推測で、どちらかの端を越えて延ばすと、データが触れていない範囲についてのずっと強い推測になります。
- xが同じ2点を拒否するのはなぜか
- 1つに定まる答えが無いからです。xが同じ2点は上下に並び、それを通る直線はその1つのxにすべてのyを同時に対応させます。このページはその入力を、答えに見える無限大を返すのではなく、名指しで拒否します。
- 2点の順序は結果に影響するのか
- 直線から読み取る値には影響しませんが、傾きと位置は変わります。2点を入れ替えると傾きと線分上の位置の符号がどちらも反転し、補間したyはそのままです。同じ直線を逆向きに記述しているだけだからです。
- 信頼度のような数が出ないのはなぜか
- 2点では支えられないからです。2点に当てはめた直線は作り方からして完璧なので、当てはまりの良さを表す数は、元のデータがどうであれ必ず最良の値になります。このページが代わりに出しているのは傾きと位置で、これはデータについての主張ではなく直線そのものの事実です。
参考文献
- Cartesian Coordinates — 既知の点と求めたい位置を書き込む2軸の枠組み — Wolfram MathWorld (United States)
- Slope — 補間した値が等間隔で刻む一定の比。2つのxが一致するときには意味を持たない量 — Wolfram MathWorld (United States)
- Line — 異なる2点がただ1つに決める対象。その間の値を読むことを意味のあるものにする仮定 — Wolfram MathWorld (United States)