平均変化率計算
計算結果
平均変化率
- yの変化量（Δy）
- 8.000000
- xの変化量（Δx）
- 2.000000
平均変化率とは、区間の両端を取って、その区間で関数が入力1単位あたり平均してどれだけ変化したかを表す量です。グラフで言えば、2点を結ぶ割線の急さとして見える量であり、微分が極限として引き継ぐ考え方でもあります。2つの座標を入れると、平均変化率に加えて、出力の変化量と入力の変化量が符号付きで返ってきます。割り算がどこから来たのかを隠さずに見せるためです。速度、成長、そしてある量が別の量に反応して動くあらゆる場面で使えます。
2乗の関数の平均変化率
| a | b | 平均変化率 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 2 | 2 |
| 0 | 3 | 3 |
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 4 |
| 2 | 4 | 6 |
| -1 | 1 | 0 |
| -2 | 3 | 1 |
| -3 | -1 | -4 |
各行はaからbまでの区間と、その区間における2乗の関数の平均変化率です。どの答えもa + bになっています。この関数があらゆる区間で従う規則です。最初の3行は0から始まるので右端の値をそのまま写した形になり、真ん中の行は別の位置から始まり、最後の行は負の入力をまたいで負の変化率を返します。読む価値があるのは最後の行です。関数は区間で9から1へ落ち、表はその下落を大きさではなく符号付きの数として示しています。3列とも整数なので、この表は10の言語すべてで同じものになります。小数の変化率の表は言語ごとに書き分けが要ります。1.5は多くの言語で1,5と書かれるからです。
公式
平均変化率 = Δy ÷ Δx = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- x₁
- 区間の1つ目の端点における入力です。関数が何を受け取るかによって意味が変わり、速度の場面では時刻、図形の場面では位置になります。制約はなく、x₂より小さくある必要もありません。端点はどちらの順で与えてもかまいません。
- x₂
- 2つ目の端点における入力です。x₁と等しくはできません。等しいと比の分母がゼロになり、平均する対象がなくなります。入力が変わらないのに関数へ変化を求めていることになり、それは変化率ではなく垂直な線分です。
- y₁, y₂
- その2つの入力における関数の出力です。関数が式でも、測定値の表でも、画面の曲線でも、このページに必要なのは2つの値だけです。順序は比の中では打ち消えますが、変化量の2列には効いてきます。
- Δy ÷ Δx
- 平均変化率そのものです。出力の総変化量を、それが起きた区間の長さで割ったものになります。デルタ記法のΔは差を表すので、Δyはyの変化、Δxはxの変化です。答えを1単位あたりの言い方で読むことが要点で、xが1進むあいだにyがどれだけ動いたかが返ります。
- (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- 同じ量を書き下したものです。2点を結ぶ直線の傾きと数値としては一致します。2つの計算機が別の問いに同じ答えを出すのはそのためで、傾きのページは線の急さを問い、このページは関数が区間でどれだけ動いたかを問います。微分に残るのは後者の捉え方だけで、そこでは区間がどんどん狭められます。
計算例
1から3までの区間におけるx²の平均変化率
- 区間の長さは2：Δx = 3 − 1 = 2
- 出力は8だけ変化した：Δy = 9 − 1 = 8
- 割る：8 ÷ 2 = 4
- 入力1単位あたり平均4だけ出力が増えたことになる
2乗の関数では答えが覚えておく価値のある規則に従います。aからbまでの区間では平均変化率がつねにa + bになり、ここでは1 + 3 = 4です。b²からa²を引くと(b − a)(b + a)に因数分解でき、b − aが分母と打ち消すのでこの規則が成り立ちます。下の参考表がこの1つの関数で組まれているのも同じ理由です。
3秒間の平均速度
- 入力は0から3までの時間（秒）
- 出力は位置で、10から70へ動いた
- 位置は3秒で60変化した：60 ÷ 3 = 20
- 平均速度は毎秒20の距離になる
この量が具体的になる読み方です。位置を縦軸、時間を横軸に取ると、平均変化率はそのまま平均速度になります。これは本当の意味での平均で、実際の速度は区間の途中で変わっていたかもしれません。この比が語るのは両端の2点についてだけで、区間の内側については何も言いません。
2つの端点を入れ替えた場合
- 1つ目の例と同じ2点を、逆の順で並べた
- Δx = 1 − 3 = −2、Δy = 1 − 9 = −8
- 比は−8 ÷ −2 = 4で、前と同じ値
- 変化量の2列は符号が反転したが、変化率は変わっていない
負のΔxの隣に正の変化率が並んでいても、誤りではありません。分子と分母が同時に符号を変えると比は変わらないので、平均変化率はどちらの端点を先と呼ぶかに依存しません。変化量の2列のほうは依存します。2点のあいだの移動の向きを表しているからです。主結果はどれだけ速くか、変化量の列はどこからどこへかを答えます。
適用限界
2つの入力は異なっていなければなりません。x₂がx₁と等しいと比の分母がゼロになるため、このページは無限大を返さずに断ります。xがまったく変化していないので、垂直な線分にはxの1単位あたりの変化率がありません。端点はどちらの順で与えてもよく、平均変化率はどちらでも同じですが、変化量の2列は符号付きなので順序を入れ替えると反転します。このページが返すのはつねに区間についての変化率で、点における変化率ではありません。瞬間変化率はこのページが取らない極限であり、2つの値ではなく関数そのものを知っている必要があります。各座標は1兆までに限られます。それを超えると引き算の精度が落ち、表示する小数6桁が誤解を招くものになるからです。結果は小数6桁に丸めますが、計算そのものは倍精度で行っています。角度は印字しません。角度は直線の性質であり、区間の上の関数には存在しないからです。リンクしている傾きの計算ツールとの違いの1つがここにあります。
よくある質問
- 平均変化率とは何か
- 区間における関数の出力の総変化量を、その区間の長さで割ったものです。位置が3秒で10から70へ動いたなら、平均変化率は60 ÷ 3、つまり毎秒20です。平均という言葉はここで実際に働いていて、この量は区間全体を1つの数で要約し、その内側で関数がどう振る舞ったかについては何も言いません。
- 傾きとは何が違うのか
- 計算は同じで、どちらも縦の量の変化を横の量の変化で割ります。違うのは問いのほうです。傾きは直線の急さという線そのものの性質を表します。平均変化率は関数が2点のあいだでどれだけ動いたかを表し、区間をゼロに近づけても意味を保つのはこちらです。微分に残るのは片方だけです。
- 2点を入れ替えても答えが同じなのはなぜか
- 分子と分母が同時に符号を変えると比が変わらないからで、端点を入れ替えると両方が一度に反転します。変化量の2列は実際に反転します。1点目から2点目への移動の向きを記録しているからです。つまり変化率はどれだけ速くかを、変化量の列はどこからどこへかを答えており、両方が同時に正しいのです。
- 平均変化率が負になることはあるか
- あります。その区間で入力が増えるあいだに出力が下がったという意味です。−3から−1までの区間で2乗の関数は9から1へ落ちるので、平均変化率は−4になります。負の値は入力の順序を間違えた印ではなく変化の向きそのもので、変化量の2列を比の隣に並べている理由でもあります。
- 2つの入力が等しいときはどうなるのか
- 計算を断ります。x₂がx₁と等しいと分母がゼロになり、平均する区間が存在しません。入力が変わらないのに関数へ変化を求めることになり、それは垂直な線分で、x1単位あたりの変化率を持ちません。このページは変化率ではない無限大を返す代わりに、断ったことを伝えます。
- 平均変化率と瞬間変化率は同じものか
- 関数が直線のときだけです。そこでは変化率がどこでも一定で、2つは一致します。それ以外では、平均は区間全体を、瞬間変化率は1つの入力値における振る舞いを表します。区間をどんどん狭めていくことが平均を瞬間変化率に変える操作で、その極限が微分です。このページは2つの値から出発するので、その一歩は踏みません。
参考文献
- Average Rate of Change — 区間における定義、割線としての読み方、そして瞬間変化率への移行 — Wolfram MathWorld (United States)
- Secant Line — 2つの端点を通る直線。その傾きがこのページの計算する数になる — Wolfram MathWorld (United States)
- Derivative — 区間を狭めていったときの平均変化率の極限。この量が向かっていく先 — Wolfram MathWorld (United States)