指数関数的増減計算

N = N₀ × (1 + r)^t：成長係数 = 1 + r：全体の変化率 = ((1 + r)^t − 1) × 100%

N₀

初期量で、成長が始まる前にあった量のことです。正でなければなりません。パーセントの列はこれを割るので、初期量がゼロだと全体の変化率は大きな数ではなくゼロをゼロで割ったものになってしまいます。単位は持ちません。同じ計算が人でも細菌でも指数の点でも覆うので、このページはどれなのかを言いません。

r

1期間あたりの成長率で、パーセントで与えます。5パーセントなら0.05ではなく5と打ち込み、負の値も取れます。−20パーセントの率は毎期間でその量の5分の1が失われるという意味で、別の計算ではなく減衰そのものです。−100パーセントより下には行けません。ちょうど−100で量はゼロに達し、それを下回ると1期間あたりの係数が負になって符号が毎期間入れ替わり、それはもう量の記述ではありません。

t

期間の数です。何を1期間と数えるかは入れる側が決めます。年でも月でも日でも世代でもかまいませんが、率も同じ基準で言い表されている必要があります。小数も使えます。半期間はごくふつうの入力で、2分の1を掛けるのではなく1期間分の係数の平方根を掛けます。負の値は断ります。始まる前の量まで遡るのは、このパネルが答えている問いとは別の問いだからです。

(1 + r)^t

最後までに量が掛けられた全体の係数です。これが成長を足し算ではなく指数関数的にしている部分で、各期間はすでにあるもの全体に掛かるので、10期目の増分は1期目の増分ではなく、それよりずっと大きくなります。累乗計算の演算そのものでもあり、底が1たす率、指数が期間の数にあたります。

1 + r

1期間あたりの成長係数で、真ん中の読み値です。率が5パーセントなら1.05になり、毎期間で量が1より少し大きい数を掛けられることになります。これが別に印字されるのは、問いが変わったときに手を伸ばす数だからです。1.05を4期間に伸ばす、同じ率を10パーセントに倍にする、初期量を変える。どれもこれが見えていれば掛け算1回で済みます。

((1 + r)^t − 1) × 100%

全体を通した変化率を、出発点に対するパーセントで表したものです。5パーセントを10期間で50ではなく62.889パーセント与えるのは、各期間の5パーセントが前より大きい量から取られるからです。1を引くのは係数を変化に変えるためで、係数1.6289は62.89パーセントの変化にあたり、係数が1を下回れば負の変化になり、減衰はそう報告されます。

r = −100%

下限であり、量をちょうどゼロにする唯一の率です。これが認められるのは、縮んでいく量の極限だからです。−100パーセントでは成長係数がゼロになり、最初の期間より後はゼロにゼロを掛け続けます。その下では係数が負になり、量は毎期間で符号を入れ替わり、模型はもう何も記述していません。だからその入力は計算されずに断られるのです。

量が同じ係数を繰り返し掛けられていて、どこに落ち着くのか、あるいは全体でどれだけになったのかを知りたいときに使います。残高の複利成長、一定の率で増える人口、何十年もかけて上がる物価指数、倍になっていく培養、毎年一定の割合で縮む市場などです。文章に引用するなら全体の変化率の列です。「10期間で62.9パーセントの増加」は、多くの読み手に最終的な数字より多くを伝えますし、成長率だけでは出てこない数でもあります。率を係数に変えるのもこのページで、複利の問いはどれも計算に入る前にその段階を要します。量が半分ずつ減っていて率ではなく時間で表されているときは半減期計算を使ってください。あちらは半減期をそのまま受け取り、回数も報告します。底が率から導かれるのではなくすでに手元にある数なら累乗計算です。同じ演算からパーセントを外しただけのものです。掛け算が決まった予定で起こり、入出金や複利の頻度が関わるなら複利計算を使ってください。それはこのページが持っていない貨幣固有の次元です。

1. 100が5パーセントで10期間成長する

   1. 成長係数：1 + 0.05 = 1.05
   2. 全体の係数：1.05¹⁰ = 1.628894627…
   3. 最終量：100 × 1.628894627… = 162.889463
   4. 全体の変化率：(1.628894627… − 1) × 100 = 62.889463パーセント

   既定の場合で、全体の変化率の列がなぜあるのかを見せる行です。5パーセントで10期間は50パーセントに聞こえますが、パネルは62.89と言います。余分は、各期間の5パーセントがその前より大きい量から取られることから来ています。最終量だけを引用した読み手は残高を伝えても物語を伝えておらず、繰り返されるのはパーセントのほうです。

2. 100が20パーセントで3期間縮む

   1. 成長係数：1 + (−0.20) = 0.8
   2. 全体の係数：0.8³ = 0.512
   3. 最終量：100 × 0.512 = 51.2
   4. 全体の変化率：(0.512 − 1) × 100 = −48.8パーセント

   同じページが減衰を計算しています。負の率を受け付けて2つ目のツールを作らないのはそのためです。20パーセントを3期間は60パーセントではなく48.8パーセントの損失で、成長の場合が行き過ぎるのと同じ理由です。各期間はその5分の1を残っているものから取ります。成長係数が1を下回ることは、符号の約束事が働いていることのいちばん明快な合図でもあります。

3. 100が毎期間2倍で5期間

   1. 100パーセントの率は、量がそれ自身と同じだけ増えるということなので、係数は2になる
   2. 全体の係数：2⁵ = 32
   3. 最終量：100 × 32 = 3,200
   4. 全体の変化率：(32 − 1) × 100 = 3,100パーセント

   2倍の場合で、暗算で確かめられるほど算術がやさしく、パーセントの列がそうではない例です。量は32倍になっており、このページはそれを3,100パーセントの増加として報告します。「32倍」の隣に置くとばかげて聞こえますが、同じことを言っています。最後の列が変化と呼ぶ前に1を引く理由がここにいちばん明快に出ています。

4. 100が5パーセントで半期間成長する

   1. 成長係数は1期間あたりの量なので、半期間でも1.05のまま
   2. 全体の係数：1.05^0.5 = 1.024695076…、つまり1.05の平方根
   3. 最終量：100 × 1.024695076… = 102.469508
   4. 全体の変化率：2.469508パーセント

   小数の期間で、2つの読み値の違いがいちばんはっきり出る場合です。成長係数は1期間あたりの量なので半期間でも1.05のままですが、全体の係数はその平方根なので、5パーセントの半期間は2.5ではなく2.47パーセントになります。率を半分にすればよいわけではなく、それが分かるのがこの行です。

5. 2.5が12パーセントで4期間成長する

   1. 成長係数：1 + 0.12 = 1.12
   2. 全体の係数：1.12⁴ = 1.57351936
   3. 最終量：2.5 × 1.57351936 = 3.933798
   4. 全体の変化率：57.351936パーセント

   初期量が丸い数でない場合は何も変わりません。係数の列は量がどこから始まったかにまったく依存せず、2.5は250とまったく同じ57.35パーセント成長します。2つの筋書きを比べるときに読むのは「どれだけ」に答える2つの列で、初期量が変わっても動かないのはその2つだけです。

率と期間の数は同じ基準で言い表されている必要があり、このページにそれを確かめる手立てはありません。年あたり5パーセントを10か月に当てれば、まったくふつうに見える誤った答えが出ます。1期間が何かは入れる側が決めることで、年でも月でも日でも世代でもかまいませんし、このページはそれを尋ねません。成長は毎期間で同じ係数を掛けるものとして模型化されており、それは複利成長の意味ですが、増えるものすべてに当てはまるわけではありません。限界に近づいた人口、飽和した市場、それ自体が変化している率は、どれもこの模型の外にあります。率は−100パーセントより下に行けません。そこが量のゼロに達する点で、その先では符号が毎期間入れ替わるからです。上限の1,000パーセントと期間の上限1,000は、桁あふれをまれにするためにあり、数学上の限界を表しているわけではありません。初期量は正でなければならず、負から正へ移る量は表せません。複利は1期間に1回で、連続的ではありません。年あたり5パーセントを年に2回2.5パーセントずつ複利するのは別の結果で、その計算は複利の頻度を持つ複利計算の担当です。入金・出金・拠出はどれも模型化していません。量はそのままにされて増えるだけです。最後に、出力は小数6桁に丸められるので、数が大きくなるとパーセントの列でそれが効いてきます。

全体の変化率が率かける期間より大きくなるのはなぜか

各期間のパーセントがその前の期間より大きい量から取られるからです。5パーセントで10期間は50パーセントではなく62.89になります。2期目の5パーセントは、すでに増えた量に掛かるからです。その複利こそ指数関数的成長と足し算の成長の違いそのもので、全体の変化率の列はそこに現れます。最終量だけではそれが見えません。

負の成長率は使えるのか

使えます。負の率は減衰で、同じページが計算します。−20パーセントの率は毎期間でその量の5分の1が失われるという意味なので、100は3期間で51.2になります。率は−100パーセントより下には行けません。ちょうど−100では量はゼロに達してそのまま止まり、それを下回ると1期間あたりの係数が負になって量が毎期間で符号を変え、それはもう量を記述していません。

1期間とは何を指すのか

入れる側が決めてよく、率が同じ基準で言い表されていればそれで足ります。年あたり5パーセントで期間数が10なら10年、月あたりの同じ率で10なら10か月で、2つの答えは別の問いに対するものです。このページに組み合わせを確かめる手立てはないので、年あたりの率に月数の期間を当てると、まったくふつうに見える誤った答えになります。

成長係数と全体の変化率は何が違うのか

成長係数は1期間が掛ける数で、全体の変化率は全体が足し上げた結果です。5パーセントの率は成長係数1.05を与えます。1期間でも100期間でも同じ1期間あたりの数です。一方で10期間は全体の変化率62.89パーセントを与え、これは係数を複利で伸ばしたものです。どちらがどれだけ速いかという問いでは、比べるべきは成長係数のほうです。

期間の数は小数でもよいのか

よく、半期間はよくある入力です。5パーセント成長の半期間は2.5パーセントではなく、1.05の平方根である2.47パーセントになります。だから小数の期間が丸めの便宜ではなく意味を持つのです。量は最後に一度跳ぶのではなく期間を通してなめらかに増え、その連続性を表すのが根を取ることです。

複利計算とは何が違うのか

式は同じで、主題が違います。このページは率と期間の数を受け取って任意の量を扱い、複利計算は貨幣にあって人口にないものを足します。複利の頻度、定期的な入金、そして返済できる元本です。残高への支払いが関わる場合や、年に1回ではなく毎月複利する場合は、あちらのページが余分な次元を持っており、こちらは持っていません。

• Exponential Growth — このページが評価する法則。成長率と期間の数を2つのパラメータとして持つ — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — 同じ式を貨幣に当てたもの。複利の頻度という、あちらの計算とこちらを分ける区別を含む — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — 同じ法則の負の率の側。1期間あたりの係数が1を下回り、量がゼロに近づいていく — Wolfram MathWorld (United States)