倍加時間計算

t = ln(2) ÷ ln(1 + r) t ≈ 72 ÷ R

r

1期間あたりの成長率で、パーセントではなく小数で書きます。1期間あたり5パーセントの率は0.05として式に入ります。正でなければなりません。増えていない量はいつまでも2倍にならないからです。入力欄ではパーセントとして打ち込みます。ここで扱うのは複利成長です。各期間の増分が、それまでに増えた分を含めた全体にかかるので、倍加時間は不可能ではなく有限になります。

ln 2

2の自然対数で、およそ0.693147、厳密な式に現れる唯一の定数です。2倍になるというのは成長係数がちょうど2に達したという意味なので、1を2に変えるには(1 + r)を何回掛ければよいかが問いになります。その問いに答える演算が対数なので、ここに出てきます。

t

倍加時間で、期間の単位で小数3桁まで印字します。それ自体の単位は持ちません。入れた率が月あたりならtは月数、年あたりなら年数です。最後の1回の倍加は途中で終わるので、tは整数にはなりません。5パーセントで14期間たっても量は2倍にわずかに届かず、15期間目の中途で追い越します。

R

同じ率をパーセントで表したもので、入力欄に打ち込む数そのものです。72の法則は72をRで割る近似で、パネルの2番目の読み値になります。8パーセント付近で正確で、低い率では大きく出て、高い率では小さく出ます。丸い数による割り算のほうが対数よりずっと暗算しやすかったから生き残っている近似です。

成長率が与えられていて欲しいのが時間であるときに使います。このページが扱うのは指数関数的成長です。指数関数的増減計算は同じ模型を逆方向に走らせ、初期量と期間数から出発します。半減期計算は2倍ではなく2分の1を係数にした鏡像です。72の法則計算は同じ算術をお金の場面に置いたもので、主役になるのが厳密な答えではなく経験則のほうです。

1. 1期間あたり5パーセント

   1. 率を小数にすると0.05なので、各期間で量は1.05倍になる
   2. 厳密な答えはln 2 ÷ ln 1.05 = 0.693147 ÷ 0.048790 = 14.207期間
   3. 72の法則は72 ÷ 5 = 14.4期間を与える
   4. 両者は1期間の1週間分ほどしか違わない。法則と真値のあいだのよくある隔たりがこれ

   検算は簡単です。1.05の14乗は1.98で2をわずかに下回り、15乗は2.08でわずかに上回ります。つまり追い越しは14期間目と15期間目のあいだで起きていて、14.207が言っているとおりの場所です。この確認は一度やっておく価値があります。小数が会計上の産物ではなく、時間軸上の位置であることが見えるからです。

2. 1期間あたり1パーセント

   1. 厳密な答えはln 2 ÷ ln 1.01 = 0.693147 ÷ 0.009950 = 69.661期間
   2. 72の法則は72 ÷ 1 = 72期間を与える
   3. ここでは法則が2.3期間ずれている。1パーセントでは2期間以上余分に待つという意味になる
   4. 誤差は偶然ではなく系統的で、72の法則は8パーセントあたりに合わせてあり、低い側でずれていく

   低い率での隔たりこそ、2つの読み値を片方が他方を置き換えるのではなく並べて見せる理由です。複利が一生続く場面で2期間ずれる経験則は実際の差で、両方の数を見ることで、自分の率ではどちらを信じればよいかが分かります。

3. 1期間あたり20パーセント

   1. 厳密な答えはln 2 ÷ ln 1.2 = 0.693147 ÷ 0.182322 = 3.802期間
   2. 72の法則は72 ÷ 20 = 3.6期間を与える
   3. 今度は法則が大きく出るのではなく小さく出る。8パーセントを超えるとそうなる
   4. 検算：1.2の3乗は1.728、4乗は2.074なので、追い越しは3期間目と4期間目のあいだにある

   この例と1パーセントの例のあいだで、法則の誤差は符号を変えます。低い率では過大に、高い率では過小に見積もる。それは近似の形そのもので、間違いではありません。2つの読み値がいちばん近づくのは8パーセントあたりで、法則は9、厳密な答えは9.006になります。

倍加時間はそれ自体の単位を持ちません。率を測った期間がそのまま単位になり、率が年あたりなら14.207は年、月あたりなら月、細菌を眺めているなら分です。このページにはどれなのか分かりませんし、推測もしません。率は正でなければならず、1期間あたり0.1パーセントから1,000パーセントのあいだにあります。ゼロはどちらの式にも答えがないので断り、負の率は縮んでいく量を表していて、倍加はせず半減期計算の担当になります。定数の2は固定です。このページが求めるのは2倍になるまでの時間で、3倍になるまでの時間やほかの倍数を聞くことはできません。成長はなめらかで一定、つまり年ごとの段階ではなく連続してかかると仮定しています。ふつうの模型ですが、銀行が実際にやっていることではありません。72の法則の読み値は作りからして近似で、答えではなく比較のために示しており、2つの読み値のあいだの誤差の分析はここでは行いません。

倍加時間はどう計算するのか

2の自然対数を、1たす率の自然対数で割ります。1期間あたり5パーセントなら0.693147 ÷ 0.048790で、14.207期間になります。対数が働いているのは、2倍になることが未知の回数だけ繰り返す掛け算であり、それを割り算に変えるのが対数だからです。

72の法則とは何か、正確なのか

72をパーセントの率で割る近道で、5パーセントならおよそ14.4期間で2倍になります。8パーセントの付近では数パーセント以内で正確ですが、低い率では時間を過大に見積もり、1パーセントでは真の69.661に対して72と言います。高い率では過小に見積もり、20パーセントでは真の3.802に対して3.6になります。このページが両方の数を並べるのは、自分の率での隔たりが見えるようにするためです。

倍加時間は年で測るのか

入れた成長率が年あたりのときだけです。率は1期間あたりで、その期間が何かは入れる側が決めます。月あたりの率なら答えは月、日あたりなら日、20分ごとに2倍になる細菌なら20分を単位とする数になります。このページが出力に単位を付けないのは意図的で、どれを意味したのか分からないからです。

成長率がゼロや負だと断られるのはなぜか

何も2倍にならないからです。ゼロでは量は永遠にそのままで、72の法則はゼロで割ることになります。負の率では量は縮んでいき、正直な問いは倍加時間ではなく半減期になります。1期間あたり0.1パーセント未満も同じ実務上の理由で断り、縮む場合は半減期計算が引き受けます。

指数関数的増減とは何が違うのか

向きです。このページは成長率から出発して時間を返し、指数関数的増減計算は率と期間数から出発して結果の量を返します。土台の模型は同じなので、5パーセントで倍加時間が14.207期間というのは、指数曲線上のその点で成長係数が2に達するという主張そのものです。

• Exponential Growth — 現在の量に比例した率で増える成長と、そこから従う倍加時間 — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Function — 底e、それを打ち消す自然対数、そしてln 2があらゆる倍加の式に現れる理由 — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — 同じ成長係数を期間ごとに掛けていくこと。倍加時間が最初に出会う場所 — Wolfram MathWorld (United States)