複利計算

FV = P × (1 + r ÷ m)^(m × t)、連続複利ではFV = P × e^(r × t)

P

始めに置く金額です。

r

名目の年利で、百分率ではなく小数として扱います。

m

利息を年に何回加えるかで、1、2、4、12、365のいずれかです。

t

そのお金を動かさずに置いておく満年数です。

FV

最後の残高で、将来価値とも呼ばれます。

利率が複利の頻度とともに示されていて、示された数ではなく実際の数が欲しいときはいつでも使います。上の式が唯一必要な式で、頻度の欄は指数を1つ変えるだけです。お金を入れる前に2つの頻度で2回走らせる価値があります。年1回と毎月の差は実在し、利率と期間とともに広がるからです。年5%で10年なら181.14、より高い利率でより長い期間なら数千になります。このページで最も役に立つ比較は、最後の2つの出力を並べて読むことです。複利で得られる利息と、同じお金が複利なしで得たはずの利息です。

1. 10,000を年5%で10年、毎月の複利

   1. 期の利率：5 ÷ 100 ÷ 12 = 0.00416667（月あたり）
   2. 期数：12 × 10 = 120か月
   3. 残高：10,000 × 1.00416667^120 = 16,470.09
   4. 得られる利息：16,470.09 − 10,000 = 6,470.09
   5. 実効年率：1.00416667^12 − 1 = 5.116%
   6. 同じ10年の単利：10,000 × 5% × 10 = 5,000.00なので、複利は6,470.09 − 5,000.00 = 1,470.09を上乗せします

   このページの既定のケースです。最後の2つの出力は対で読んでください。ここでは複利が1,470.09の値打ちを持ち、その数は利率だけを掲げるページには見えません。

2. 100,000を年4.5%で30年、毎月の複利

   1. 期の利率：4.5 ÷ 100 ÷ 12 = 0.00375（月あたり）
   2. 期数：12 × 30 = 360か月
   3. 残高：100,000 × 1.00375^360 = 384,769.80
   4. 得られる利息：384,769.80 − 100,000 = 284,769.80
   5. 実効年率：1.00375^12 − 1 = 4.594%
   6. 単利：100,000 × 4.5% × 30 = 135,000.00なので、複利は149,769.80を上乗せします

   上の例と比べてください。お金は10倍、期間は3倍なのに、残高は23倍になっています。複利は直線ではなく、曲がりの大半は後半の年にあります。

3. 10,000を年5%で10年、連続複利

   1. 連続的な成長：10,000 × e^(0.05 × 10) = 10,000 × e^0.5 = 16,487.21
   2. 得られる利息：16,487.21 − 10,000 = 6,487.21
   3. 実効年率：e^0.05 − 1 = 5.127%
   4. 同じ10年の単利：5,000.00なので、複利は1,487.21を上乗せします

   連続複利は天井であって商品ではありません。毎日の複利である16,486.65を0.56だけ上回り、どんな離散的な頻度もこれを追い越せません。頻度の表を下へ読んでいくと、最後の行がそれをやっています。

このページが値付けするのは、手を付けずに置いた一括の元本だけです。それで全部です。後から足すものは何も扱いません。毎月の積立も、引き出しも、インフレに合わせて増える掛け金もないので、毎月お金を入れる貯蓄計画にはこのページではなく積立投資のページが要ります。利率が全期間を通じて変わらないことも前提にしています。実際の預金金利は動きます。優遇金利は期限が切れ、中央銀行は利下げし、固定金利の債券は満期を迎えてそのときの条件で再投資されます。ここに出る答えは、今日の利率で作った見通しであって約束ではありません。税も入っていません。多くの貯蓄者にとって税は利息が発生するたびに引かれるので、実際に残る残高はここよりゆっくりしか増えません。限界税率30%の課税口座では、表示された利息のおよそ10分の7しか残りません。インフレもありません。10年後の16,470.09は、今日の16,470.09より買えるものが少ないのです。途中で丸めていないので計算は正確ですが、入金ごとに銀行が丸める口座明細とは1、2セント違うことがあります。最後に、金額に通貨記号が付きません。思い描いた通貨では正しく、それ以外では正しくありません。

一括の元本の複利はどう計算するのか

金額に、1に期の利率を足したものを期数で累乗した値を掛けます。期の利率は年利を1年に利息を加える回数で割ったもので、期数はその同じ回数を年数に掛けたものです。10,000を年5%で毎月複利の10年なら、10,000 × 1.00416667^120 = 16,470.09です。得られる利息は6,470.09になります。これが複利計算の式の唯一の形で、このページの残りはすべて同じ式を別の頻度で読んだものです。

年利と実効年率の違いは何か

年利——このページの例では5%——は表示された利率です。実効年率は、その1年の中で生じた利息がさらに利息を生んだあとに、お金が実際に1年でどれだけ増えるかです。毎月の複利で5.116%、連続複利で5.127%、利息を年に1回だけ加えるならちょうど5.000%です。両者が一致するのは年1回の複利のときだけで、差は頻度と利率とともに広がります。

複利の計算頻度はどれを選べばよいのか

口座が実際に使っているもので、普通は契約条件に書いてあります。商品を比べるなら、表示された利率ではなく実効年率で比べてください。土俵がそろっているからです。頻度は預ける側には有利に、借りる側には不利に働き、どれだけ動くかを知っておく価値があります。10,000を年5%で10年なら、年1回から毎日までの開きは197.70です。

連続複利は実在するのか、それとも数学の話か

どちらでもあります。毎瞬利息を加える預金口座はないので、商品としては存在しません。しかし極限としては、教科書もオプション価格も中央銀行の計算もこれを使い、どの離散的な頻度も細かくなるにつれて近づいていく先です。同じ10,000で、毎月が16,470.09、毎日が16,486.65、連続が16,487.21になります。上限が見えるようにここに置いてあります。

複利の頻度は利率より大事なのか

いいえ、比べものになりません。10,000を年5%から6%へ動かすと、毎月複利の10年で1,723.88増えますが、年5%のまま年1回から連続複利へ動かしても198.26です。1パーセントポイントの利率は、選べるどの頻度にも勝り、どちらも年数の前では小さく見えます。頻度は実在する効果で、正しく取るのは無料ですが、利率と期間がそれを圧倒します。まず利率、次に期間、最後に頻度を動かしてください。

なぜ税とインフレが入っていないのか

どちらもこのページには分からない事実に依存するからです。利息への課税はあなたの税率区分と国、そして口座が非課税かどうかで決まり、インフレはどの指数のどの期間かを決めないと語れません。年5%で積み上がった残高は名目の残高——実際に見る金額——で、実質の収益率は同じ年数のインフレを引いたものです。ここに出る数を名目として扱い、2つについては自分で調整してください。

• Compound Interest Calculator — 同じ閉じた式を、頻度の説明つきで — U.S. Securities and Exchange Commission (Investor.gov)
• 12 CFR Part 1026, Appendix J — このページのすべての頻度の背後にある「年に何回」の慣行 — Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• H.15 Selected Interest Rates — 年利の欄が代わりに立っている公表金利 — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)