半減期計算

N ＝ N₀ × (½)^(t ÷ T)：n ＝ t ÷ T：残りの割合 ＝ N ÷ N₀

N₀

初期量で、何かが減衰する前にあった量のことです。このページでは単位を持ちません。グラムでもベクレルでも原子の数でも濃度でも同じ入力です。減衰の法則が問うのはつねにどれだけの割合が残ったかだけだからです。ゼロより大きい必要があります。初期量がゼロだと、残りの割合は小さな数ではなくゼロをゼロで割ったものになってしまいます。

T

半減期で、そこにあるものの半分が失われるまでの時間です。試料ではなく物質の性質なので、初期量が変わっても変わりません。経過時間と同じ単位で入れる必要があります。どちらの単位なのかは尋ねません。2つの時間は互いに割り算され、両方を換算しても比が変わらないからです。

t

経過時間で、問いにしている区間のことです。半減期と同じ単位で測り、負にはできません。式は逆向きにも喜んで走りますが、「その前はどれだけあったか」はこのパネルが答えるようにできている問いとは別の問いだからです。

n ＝ t ÷ T

経過した半減期の回数で、2つ目の読み値であり、残りを確かめられるようにするものです。半減期は数えるもので、まるまる段階で減っていくわけではありません。2.5はごくふつうの値で、試料が2回と3回の半減のあいだにあることを意味します。小数4桁まで印字するので2.9999と3が区別できます。この2つは「ちょうど3回ではない」と「ちょうど3回」を意味するからです。

(½)^n

残りの割合で、2分の1を半減期1回につき1度ずつ掛けたものです。減衰の法則の全体がこれです。定数もなく、底は2分の1以外になく、半減期を超えて物質に依存することもありません。半減期が10回過ぎると0.1パーセント未満が残り、何回過ぎても割合がちょうどゼロになることはありませんが、倍精度ではやがてゼロにアンダーフローします。

N ＝ N₀ × (½)^n

残りの量で、主結果です。初期量をその割合で測ったものなので、絶対値ではなく比例の答えになります。初期量を2倍にすれば曲線のどの点でも残りは2倍になり、パーセントは変わりません。

N ÷ N₀

残りの割合をパーセントで表したもので、パーセント記号を付けた状態で印字されます。物質が分からないときに引用すべき読み値です。「およそ25パーセントが残っている」は、初期の放射能が分かっていれば「2.5ベクレル」が言うことをすべて言っており、初期量を変えても生き残る唯一の読み値でもあります。

何かが半減期で表された速さで減衰しているときに使います。不安定なものの減衰はそう書かれるからです。放射性同位体、体内から抜けていく薬、分解していく汚染物質、一定の割合で死んでいく個体群などです。放射性炭素年代測定のまわりで出てくる2つの問いのためのページでもあります。与えられた年数のあとに元の炭素14がどれだけ残っているか、そして測った割合が何回分の半減期にあたるかで、後者が年齢に変わる段階です。底が2分の1ではなく率から導かれるときは指数関数的増減計算を使ってください。同じ法則の定数が違うだけです。問いが逆向きで量が増えているときは倍加時間計算です。2倍は2分の1を反対から読んだものだからです。同じ指数を貨幣に当てていて、掛け算が連続ではなく決まった予定で起こるなら複利計算を使ってください。

1. 100単位、半減期5、15のあと

   1. 経過した半減期：15 ÷ 5 = 3
   2. 残りの割合：(½)³ = 1 ÷ 8 = 0.125
   3. 残りの量：100 × 0.125 = 12.5
   4. パーセントで：12.5パーセント

   参考表にも載っている行で、このページなしで確かめるのがいちばんやさしい行です。100を3回半分にすると50、25、12.5になります。この段階的に半分にしていく読みこそが半減期の回数のためにあり、このページが量の隣に回数を印字する理由でもあります。量だけでは曲線のどこまで来たのかが何も分かりません。

2. 半減期5,730年の炭素14、11,460年のあと

   1. 経過した半減期：11,460 ÷ 5,730 = 2
   2. 残りの割合：(½)² = 0.25
   3. 残りの量：1 × 0.25 = 0.25
   4. パーセントで：25パーセント

   このページが想定して作られた場合で、2つの時間の欄に単位の選択がない理由です。ここでの単位は年で、時や週のドロップダウンにはとても収まらない大きさの半減期です。初期量が実際の測定値ではなく1なので、答えがそのまま割合として読めます。半減期2回のあとに元の炭素14の4分の1が残り、それが放射性炭素年代測定の推論の前半分です。

3. 200単位、半減期4、10のあと

   1. 経過した半減期：10 ÷ 4 = 2.5
   2. 残りの割合：(½)^2.5 = 1 ÷ √32 = 0.176776695…
   3. 残りの量：200 × 0.176776695… = 35.355339…
   4. パーセントで：17.67767パーセント

   ふつうの場合で、半減期がまるまる段階では数えられないことを示します。2回と半分が過ぎたので、試料は出発点の4分の1と8分の1のあいだにあります。ここでは割合が無理数になるので、答えに小数が付きます。経過時間が半減期の整数倍のときだけ正確になるからです。2.5という回数を読むことは実際に役に立ちます。12.5パーセントに2分の1の平方根を掛ければ、同じ17.68パーセントになります。

4. 80単位、半減期12、ちょうど12のあと

   1. 経過した半減期：12 ÷ 12 = 1
   2. 残りの割合：(½)¹ = 0.5
   3. 残りの量：80 × 0.5 = 40
   4. パーセントで：50パーセント

   半減期1回で、これは確かめている量の場合ではなくその定義そのものです。半減期が示されて、それが思っている意味かどうかを確かめたいときはこの行を使ってください。何から始めても、その時間のあとに半分が失われ、初期量は答えを変えません。

このページは1つの向きにしか答えません。初期量、半減期、区間が与えられたとき、どれだけ残るかです。逆向きの問い、つまりある量に達するまでの時間と、始めと終わりの量から半減期を求めることは、このパネルの欄にはありません。どちらも同じ式から出ますし、式の欄と下の質問で導いてあります。この批次にはどちらの計算ページもないので、必要なら指数を組み替えてください。2つの時間の欄は単位を共有しており、どちらなのかは尋ねません。半減期を日で、経過時間を時で入れると24倍ずれた答えが出ますが、見た目はまったくふつうになります。それがこのページで内側からは捕まえられない唯一の間違いです。初期量に名前が付いていないので、質量や放射能の単位換算はできません。グラムで入れたらグラムで返ります。判定はありません。「どれだけ残ったか」は連続量で、このページはそれを判定せずに印字します。割合はゼロに達しませんが、アンダーフローはします。およそ1,000回の半減期を過ぎると浮動小数点の結果はちょうどゼロになり、それは算術の限界であって物質についての主張ではありません。最後に、これはまるまる半分ずつという減衰の模型で、速さが一定であることを仮定しています。半減期とはそういう意味であり、薄れていくものすべてに当てはまるわけではありません。

ある時間のあとにどれだけ残るかはどう求めるのか

経過時間を半減期で割って半減期の回数を出し、その回数だけ初期量を半分にしていきます。半減期が5で経過時間が15なら3回過ぎているので、残りの割合は1 ÷ 8、初期量100なら12.5が残ります。このページも同じことを1つの式で行い、初期量に、2分の1を（経過時間÷半減期）乗したものを掛けます。

ある量だけ残るまでどれだけかかるのか

式を組み替えます。到達したい量を初期量で割って割合を出し、その割合の2分の1を底とする対数を取り、半減期を掛けます。元の8分の1が残ってほしいなら物質が何であれ半減期3回、4分の1なら2回なので、半減期5,730年なら答えは11,460年になります。半減期の回数を先に出すのが得で、残りは掛け算1回だからです。

半減期と経過時間はどの単位にすべきか

同じ単位であれば何でもかまいません。2つの時間は互いに割り算されるので、半減期5日で経過時間15日は、120時間と360時間とまったく同じ答えになります。このページに単位の選択がないのは意図的で、実際に使われる単位は秒から何十億年までわたり、どんな一覧にも収まらないからです。代償は単位の混在が検出されないことで、日と時を混ぜると24倍大きい答えが出ますが、見た目はまったくふつうです。

答えがゼロになることはあるのか

数学としてはありません。半減期のたびにそこにあるものの半分が失われ、正の数の半分はつねに正なので、残りの割合はゼロに近づいても到達しません。実際には到達します。計算機は有限の精度で数を保持し、およそ1,000回の半減期を過ぎると結果がアンダーフローしてちょうどゼロで返ります。物質が消えたのではなく算術が尽きたのであって、それは模型がまじめに使われるどの範囲よりもはるか先で起こります。

半減期と減衰定数は何が違うのか

同じ減衰を2通りの言い方で表したものです。減衰定数は指数の中にある単位時間あたりの速さで、半減期はその半分が失われるまでの時間です。2つは2の自然対数の因子で結ばれ、半減期はその対数を減衰定数で割ったものになります。このページが半減期を使うのは、数がそう公表されるからです。炭素14なら5,730年、薬なら数時間というぐあいです。減衰定数は、同じ法則を底eで書いたときに現れるほうです。

初期量は減衰にかかる時間を変えるのか

変わりません。それが半減期の要点です。半減期は試料の性質ではなく物質の性質です。100ではなく200単位から始めれば、100×2の−n乗ではなく200×2の−n乗が残るので、曲線上のどの量も2倍になり、パーセントは同じです。初期量を変えても半減期の回数と残りの割合はまったく動きません。

• Half-Life — 半減期の定義と、このページが評価する指数関数的減衰の法則。半減期の回数と残る割合の関係を含む — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — このページがその半減期の場合にあたる一般法則。減衰定数と半減期は2の自然対数の因子で結ばれる — Wolfram MathWorld (United States)
• Radiocarbon dating — 試料に残った炭素14の割合を年齢に変える方法。このページが印字する数の次の段階 — Wikipedia