CAGR計算

CAGR = (最終値 ÷ 初期値)^(1 ÷ 年数) − 1

初期値

始まりの金額で、率が存在するためには0より大きい必要があります。

最終値

終わりの金額で、ゼロでもかまいません。全損なら率はちょうど−100%になります。

年数

2つの金額のあいだにある整数の年数です。

CAGR

初期値を年数のあいだに最終値へ導く、一定の年成長率です。

長さの違う2つの運用を比べるときに使います。それが公平に比べる唯一の方法です。3年で3倍になった投資と15年で4倍になった投資は、総額を見ても順序は明らかではありませんが、年率にすると44.225%と9.682%になり、比べられます。決算報告書が売上の年平均成長率と呼び、ファンドの月報が年率換算収益率と呼ぶのも同じ算術です。ただし2つの注意が付きます。1つ目は、この率は凸凹した経路をなめらかに置き換えたものだということです。同じ終点を生む一定の率であって、何かが実際に稼いだ率ではなく、同じCAGRの2つの投資がまったく違うリスクを持つこともあります。2つ目は、2つの端点より前や後の年について何も言わないということです。都合のよい2つの日付を選べば、どんな系列も立派に見えます。

1. 10,000が10年で25,000になる

   1. 増加倍率：25,000 ÷ 10,000 = 2.5
   2. 総収益率：2.5 − 1 = 150%
   3. 年率換算：2.5^(1 ÷ 10) − 1 = 1.095958 − 1 = 9.596%

   既定のケースです。手で確かめる価値があるのは逆方向で、10,000 × 1.09596^10 = 25,000.40になります。つまりこの率を10年間均等に当てはめると、本当に元の終点に戻ります。

2. 5,000が4年で8,000になる

   1. 増加倍率：8,000 ÷ 5,000 = 1.6
   2. 総収益率：1.6 − 1 = 60%
   3. 年率換算：1.6^(1 ÷ 4) − 1 = 1.124682 − 1 = 12.468%

   控えめな総収益率でも、4年に広げるだけでもう2桁台の率になります。同じ総収益なら期間が短いほど年率は大きくなるのです。1年の収益を10年に引き伸ばして語る数字がほとんど何も語らないのは、この非対称のせいです。

3. 20,000が5年でゼロになる

   1. 増加倍率：0 ÷ 20,000 = 0
   2. 総収益率：0 − 1 = −100%
   3. 年率換算：0^(1 ÷ 5) − 1 = 0 − 1 = −100%

   全損でも答えがきちんと定義される唯一の場合で、答えはちょうど−100%です。どんな正の値でもゼロにする一定の率は、毎年すべてを失うことにほかなりません。増加倍率が0なので、計算がそれで割ることはありません。この率は予測ではなく境界として読んでください。すべてを失った投資が、毎年安定して−100%ずつ減ったわけではありません。

このページが返すのは要約で、要約は何かを落とします。ちょうど2つの金額とそのあいだの年数から計算するので、途中で何が起きたかについては何も言いません。10,000から25,000へ10年で到達した2つの投資は、片方がなめらかに上がり、もう片方が3年目に半減してから戻ったとしても、同じCAGRになります。入力した窓の外の年も見えません。そのため人を誤らせるのが特に容易で、頂点を始点に底を終点に選べばどんな長期の記録も悲惨に見え、逆にすれば輝いて見えます。初期値は0より大きい必要があります。何もないところから何かへ成長する場合、有限の年率は存在しないからです。年数は整数でなければならず、ファンドの月報が使う端数の年は扱えません。入出金はまったく考慮しません。期間中にお金を足したり引き出したりしていれば、真の年率換算は内部収益率であり、このページは誤った答えを返します。ときには大きく外します。税、インフレ、手数料はすべて含まれないので、10年で9.596%の名目CAGRは、9.596%の実質購買力ではありません。最後に、通貨記号は付きません。

CAGRはどう計算するのか

最終値を初期値で割り、その数を年数の逆数乗して1を引きます。10,000が10年で25,000になる場合、25,000 ÷ 10,000 = 2.5、2.5^(1 ÷ 10) = 1.095958、1.095958 − 1 = 9.596%です。これが年平均成長率で、同じ年数で同じ終点を生む単一の安定した率にあたります。

CAGRと総収益率の違いは何か

総収益率は始まりから終わりまでの変化そのもので、時間を参照しません。CAGRはその同じ変化を1年あたりの率に広げます。10,000から25,000になるのは、1年で起きても20年で起きても総収益率150%です。CAGRは1年なら150.000%、20年なら4.688%になります。どちらも同じ歩みを表しており、片方しか引用しないページは何かを隠しています。

CAGRは負になることがあるのか

最終値が初期値を下回れば必ず負になります。20,000が5年で12,000に落ちる場合のCAGRは−9.712%で、全損ならちょうど−100%です。負の率は誤りではなく、計算は特別扱いなしにそれを扱います。2つの値の比が0と1のあいだにあり、それを正の累乗してもそこにとどまるからです。

投資がゼロになったらどうなるのか

率はちょうど−100%になり、それは失敗ではなく本当の答えです。正の初期値がゼロに到達できるのは、毎年すべてを失う場合しかないので、−100%が2つの端点と整合する唯一の率です。増加倍率は0で返るので、計算がそれで割ることはありません。このページに分からないのは崩壊にどれだけかかったかで、端点は経路について何も語りません。

短い期間だと年率換算が高く出るのはなぜか

年率換算は短い歩みを1年分に引き伸ばすからです。4年で60%の総収益率は年12.468%ですが、同じ60%が1年なら60%、20年ならわずか2.378%です。窓が短いほど、その率が持続可能な何かの記述として意味を持つ度合いは下がります。よい四半期が1つあれば、どんな投資も長くは稼げない数字に年率換算できてしまいます。率は似た期間どうしで比べてください。

CAGRは途中で足したお金を考慮するのか

しません。そしてこれがこの数が最もよく誤用される点です。ちょうど2つの値だけを比べ、あいだに何も動かなかったと仮定します。口座に入金したり引き出したりしていれば、変化の一部は成長ではなくあなた自身のお金で、真の年率換算は内部収益率になります。これは各キャッシュフローをそれが運用されていた長さで重み付けするものです。入金のおかげで増えたポートフォリオは、このページで立派なCAGRを見せます。

• Compound Interest Calculator — 同じ方程式の順方向の形で、年率換算した率を確かめるのに使う — U.S. Securities and Exchange Commission (Investor.gov)
• H.15 Selected Interest Rates — 年率換算した収益率を突き合わせる先になる公表金利 — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)