幾何平均計算

幾何平均 = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ) = exp(mean(ln xᵢ))

xᵢ

リストの中の1つの値で、そのすべてが0より大きい必要があります。0が1つあると積が0になり、残りの値が何であっても答えは0になります。負の値があると負の積の偶数乗根を取ることになり、それは実数ではありません

n

値の個数で、結果パネルに表示されます。これが根の指数になります。値が2つなら平方根、3つなら立方根、5つなら5乗根です。手計算でこの平均を間違えるいちばん多い原因がこの数え間違いなので、リストから数え直させるのではなく画面に出しています

x₁ · x₂ · … · xₙ

すべての値の積です。効いてくるのは積だけなので、答えは値を並べた順番に依存しません。値が2つだけのときは、おなじみの「2つの値の積の平方根」になります

mean(ln xᵢ)

同じことを書いたもう1つの形で、電卓が実際に使っているほうです。各値の自然対数を取って平均し、最後に対数を戻します。先に掛け合わせるのと同じ答えが、大きな値の長いリストを掛け合わせたときの桁あふれなしに出ます

幾何平均は、数が足し合わさるのではなく掛け合わさるときに使います。複利で増える百分比、比率、指数の水準、成長率がそれです。10%上がり、20%上がり、10%下がったファンドは3年で18.8%のプラスになりますが、これは1.1 × 1.2 × 0.9を掛け合わせたものです。1年あたりの平均成長率はその立方根である1.0591なので、正直な年率は5.91%で、3つの百分比をそのまま平均した6.67%ではありません。同じ理屈が掛け算の尺度で測られるものすべてに当てはまります。細菌の数、地震のマグニチュード、桁が何桁も離れた一群の大きさ、そして株価収益率のように1つの極端な値が素の平均を支配しかねない比率の集合です。足し合わせられる量には使わないでください。気温や点数や価格のリストには意味のある積がなく、その幾何平均は解釈のつかない数になります。覚えておく価値があるのは、正の数であれば幾何平均は必ず算術平均のほうが低いという一点で、値のばらつきが大きいほど両者は離れます。つまり両者の差は、そのリストのばらつき具合の目安になります。

1. 5つのテストの点数

   1. 値を掛け合わせる：85 × 90 × 78 × 92 × 88 = 4,830,883,200
   2. 値は5つなので5乗根を取る：⁵√4,830,883,200 = 86.458
   3. 同じリストの算術平均は86.6

   2つの答えの差は0.142で、この5つの点数が互いに近いために小さくなっています。幾何平均が算術平均を下回る幅は、リストがばらつくほど大きくなります。この不等式は丸めの産物ではありません。正の値であれば幾何平均が算術平均を上回ることは決してなく、すべての値が同じときにだけ一致します。点数は本来「掛け合わさる量」ではないので、この算例はこの道具の自然な用途というより仕組みを見せるためのものです。この道具が本来向いているのは次の算例のファンドの利回りです。

2. 10%上昇、20%上昇、10%下落のファンド

   1. 成長率を掛け合わせる：1.1 × 1.2 × 0.9 = 1.188
   2. 要素は3つなので立方根を取る：³√1.188 = 1.0591
   3. 算術平均は1.0667で、こちらは高く、この問いでは誤り

   3年を通すと18.8%のプラスで、それを言い当てる数は1.188だけです。1年あたりの平均倍率は3年で1.188になる数、つまり立方根の1.0591であり、年平均成長率は5.91%になります。3つの百分比をそのまま平均すると6.67%になり、これが高すぎるのは百分比が足し算できないからです。10%の下落は10%の上昇を打ち消しきれません。より大きな元本から引かれるからです。ここでの差は年0.76ポイントで、20年続けば資産が3倍になるか3.6倍になるかの違いになります。

3. 2つの数：比例中項

   1. 2つの値を掛け合わせる：2 × 8 = 16
   2. 値は2つなので平方根を取る：√16 = 4
   3. 同じ組の算術平均は5

   値が2つのときの幾何平均は積の平方根で、古代の幾何学者が比例中項と呼んだ数そのものです。2対4は4対8と同じ比になります。また、2×8の長方形と同じ面積を持つ正方形の一辺でもあります。どちらも16です。一方、算術平均の5は周の長さが同じ正方形の一辺で、5×5の面積は25になります。2つの平均が食い違ういちばん分かりやすい例で、面積や尺度や成長についての問いには幾何平均が、合計についての問いには算術平均が正しい理由がここに現れています。

すべての値が0より大きい必要があり、0や負の値を含むリストはページが拒否します。無意味な結果を返すくらいなら受け付けないという作りです。0が1つあるだけで積が0になり、残りの値が何であっても答えは0になり、負の積の偶数乗根は実数になりません。負の値が奇数個あるリストには原理上実数の答えがありますが、負の値から作った幾何平均の符号には解釈がないので、そうしたリストも拒否します。その場合は百分比の変化ではなく成長倍率のほうで扱ってください。この平均が意味を持つのは掛け算で成り立つ量だけで、点数や気温や価格に対しては計算自体はできても読み取れる意味がありません。だからこそ算術平均を置き換えるのではなく隣に並べて表示しています。1つでも0があると使えないので、全損を含む収益率の集合はここから外れます。リストは200個までで、桁の間にコンマを入れた入力（1,500のような書き方）は推測せずに拒否します。世界の多くの地域では数字の間のコンマが小数点を意味するためです。コンマを外して書くか、小数で書き直してください。

幾何平均はどうやって計算するのか

すべての値を掛け合わせ、その積のn乗根を取ります。nは値の個数です。2と8なら積が16で値は2つなので、幾何平均は√16 = 4になります。5つなら5乗根です。電卓は同じことを対数で行い、対数の平均を取って最後に戻します。巨大な中間の積を避けられるからです。

幾何平均の求め方が算術平均と違うのはなぜか

掛け算が下落と上昇を対等に扱わないからです。10%下がってから10%上がった値は、元より低いところで終わります。1.1 × 0.9 = 0.99です。上下どちらにも動くリストでは、幾何平均が算術平均を下回ります。両者が一致するのはすべての値が同じときだけで、値が離れているほど差が開きます。だからこの2つの数の差そのものが、リストのばらつき具合の目安になります。

算術平均ではなく幾何平均を使うべきなのはどんなときか

値が足し合わさるのではなく掛け合わさるときです。成長率、年ごとに複利で効く百分比、比率、指数の水準はいずれも掛け算で、素の平均を取ると答えを大きく見せてしまいます。足し合わせられる量、つまり点数や気温や価格や個数には算術平均が正しいほうです。判定の目安は、すべての値を2倍にしたら答えも2倍になるべきかどうかです。そうなるなら掛け算の量です。

0や負の値を含むリストにも使えるのか

使えません。ページも拒否します。0が1つあると積が0になり、残りの値が何であっても答えは0になってしまい、それは何の平均でもありません。負の値があると積が負になり、その偶数乗根は実数になりません。全損を含む変化率の集合を扱いたいときは、成長倍率（50%の下落なら0.5）に直して考えるのが実際的な対処です。倍率が0になる全損には幾何平均がそもそも存在しないことも受け入れてください。

年平均成長率とはどう違うのか

年平均成長率は、年ごとの成長倍率の幾何平均を百分比で表したものです。投資が3年で1.1倍、1.2倍、0.9倍になったなら積は1.188、その立方根は1.0591で、年平均成長率は5.91%です。この計算ツールの入力はすでにその形になっています。百分比ではなく倍率のほうを入れてください。パネルに出る数が、百分比に直すとその成長率になる倍率です。

値の順番は答えに影響するのか

しません。幾何平均は積と個数からできていて、掛け算は順番を気にしないので、2、8、4でも8、4、2でも同じ答えになります。幾何平均が時間の並び（何年分かの利回り）を表すことが多いだけに、これは知っておく価値があります。どの良い年が先に来たかには意図的に目をつぶった答えだからです。答えが述べるのは平均的な1年がどんなものだったかで、特定の年に何が起きたかではありません。

• Geometric Mean — 定義、比例中項、および算術平均との不等式 — Wolfram MathWorld
• Geometric Mean — Dataplot Reference Manual, auxiliary chapters（率や比率に算術平均ではなく幾何平均が要る理由） — NIST