平均値計算

平均値 = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n = Σx ÷ n

xᵢ

リストの中の1つの数です。負の値でもかまいません。気温、残高、目標からのずれなどがそれにあたります。小数でも分数でもよく、式に入るのは合計と個数だけなので、先に並べ替えておく必要は何もありません

Σx

すべての値の合計で、結果パネルに表示されます。分数の分子にあたり、単位を背負っているのもこの数です。分の合計は分で測られ、そこから出てくる平均もまた分で測られます

n

値の個数で、こちらも表示されます。分母にあたり、この平均の意味はここから来ます。合計を値どうしで等しく分け合うので、答えはすべての値が同じ量だったら1つ分はいくらか、という数になります

Σx ÷ n

たった1回の割り算を、実際の数を入れてパネルに書き出したものです。合計と個数を別々に見せているのは、これを確かめるためです。答えがおかしいとき、合計を打ち間違えたのか個数を間違えたのかを言ってくれるのがこの行です

平均値を使うのは、足し合わせられる量で、しかもどの項目も等しく1票を持つべきときです。日常のほとんどの場面がこれにあたります。クラスの平均点、買い物かごに入れた品物の平均価格、ある作業にかかる平均の分数、1か月の平均気温。平均値は、合計がつじつまの合う数でもあります。平均からのずれを全部足すとちょうど0になる、という性質です。だから合計を要約するのに自然で、統計学のほぼすべての入口にもなっています。別のものを使うべきなのは次の場合です。項目の重みが等しくないときは加重平均、値が足し算ではなく掛け算で効くとき（成長率や比率）は幾何平均、値が何かをする速さであるときは調和平均、極端な値がいくつかあって典型的な場合から答えを引き離してしまうときは中央値です。平均値は作りからして外れ値に弱く、どの値も自分と平均との距離に比例して引っ張ります。その弱さが理由で使うこともあれば、使わない理由になることもあります。

1. 5つのテストの点数

   1. 値を足す：85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433
   2. 個数を数える：5つある
   3. 割る：433 ÷ 5 = 86.6

   パネルはその割り算を省略せずに書きます。(85 + 90 + 78 + 92 + 88) / 5 = 86.6000です。足し算をやり直さなくても答えを確かめられ、分母がほかの何かではなく個数であることも目に見えます。ここでは合計の433もそれ自体で見る価値があります。クラスが稼いだ点数の総計であり、平均はそれを等しく分け合ったら全員が取ったはずの点数です。この5つの数のリストは、このグループの4ページすべてで既定値になっているので、どのページから入っても同じデータが別の平均で現れます。86.6が算術平均で、加重平均・幾何平均・調和平均はこのリストではどれもこれより小さくなります。

2. 負の値を含むリスト

   1. 値を足す：−5 + (−1) + 3 = −3
   2. 値は3つある
   3. 割る：−3 ÷ 3 = −1

   負の値はごくふつうの入力です。氷点下の気温、赤字の残高、基準からのずれ。パネルは合計を (−5 + −1 + 3) ではなく (−5 − 1 + 3) と書きます。同じことですが、人が口に出すときの読み方になります。答えの−1は最小値と最大値の間にあることにも注目してください。平均は必ずそうなります。データの範囲の外に落ちる平均は、どこかで打ち間違えたしるしです。また、答えはリストの中の値である必要もなく、このリストではそうなっていません。

3. 小数2つの値

   1. 値を足す：0.3 + 0.45 = 0.75
   2. 値は2つある
   3. 割る：0.75 ÷ 2 = 0.375

   小数はここでは小数点で入力し、桁数はいくつでもかまいません。入れる途中で丸められるものは何もありません。答えは小数第4位まで表示されるので、この組では末尾に0が1つ付きます。0.375ではなく0.3750です。この0埋めは意図したもので、精度の主張ではありません。結果パネルをその上に書かれた割り算と桁をそろえるためのもので、このページの結果が使う桁数でもあります。

4. 8つの値、Σで書く

   1. 値を足す：2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. 値は8つある
   3. 割る：40 ÷ 8 = 5

   このリストは6つより長いので、項ごとの行は略記に切り替わります。8つの数を全部書き並べる代わりに Σx / 8 = 5.0000です。Σは式のブロックで使っているのと同じ記号で、展開した行が意味していたこと、つまり全部足しなさい、をそのまま意味します。だから失われるものは何もなく、200個のリストが200個の数だけ長い行になることもありません。切り替わるのは6つを超えたところで、ほかのどこかではありません。それ以下なら展開した行のほうが短くて役に立ち、6つでもまだそうです。

リストには値が1つ以上200個以下必要で、数でないトークンは飛ばさずに拒否します。1と2とabcのリストは、解釈できた2つの数だけで平均するのではなく、まるごと拒否されます。桁の間にコンマを入れた入力も拒否します。世界の多くの地域では数字の間のコンマが小数点を意味するので、どちらの流儀かを推測すると答えが静かに1,000倍変わってしまうからです。コンマを外して書くか、小数で書き直してください。入力の途中では何も丸めません。値は打ち込まれたとおりに使われ、丸められるのは印字される結果の小数第4位だけなので、桁の多い値が並んだ長いリストでは、正しい答えが隣の行と同じ見た目で印字されることがあります。平均値には「これを超えたらおかしい」という上限も下限もありません。気温のリストにも価格のリストにも同じように答えを返し、その2つが同じリストに混ざっていることには気づけません。最後に、この平均は頑健ではありません。1つだけ非常に大きい値があると大きく動き、どの値も答えからの距離に比例して引っ張ります。

数のリストの平均の求め方は？

数を全部足し、個数を数え、合計を個数で割ります。このページの5つの点数なら合計が433で個数が5なので、平均は433 ÷ 5 = 86.6です。合計と個数は答えの隣に並んで印字されるので、足し算を自分でやり直さなくても割り算を確かめられます。データの平均を出すときにやることは、この3つだけです。

平均と平均値はどう違うのか

日常の言葉づかいでは同じ数を指していて、このページでも2つの語を同じ意味で使っています。もう少し慎重に書くなら、平均は真ん中に来る値一般の呼び名で、平均値・中央値・最頻値がすべてその中に入ります。それに対して平均値は、値を足して個数で割るという特定の計算で出るものを指し、幾何平均や調和平均と区別するために算術平均と呼ぶこともあります。

平均はリストにない数になることがあるのか

ありますし、たいていそうなります。計算のどこにも、答えが値の1つであることは要求されていません。1と2の平均は1.5で、これはそのリストにありませんし、このページの5つの点数の平均86.6も、5つの点数のどれでもありません。保証されているのは、答えが最小値と最大値の間に入ることと、リストがたまたまそうなる場合にだけどれかの値に一致することです。

負の数の平均はどう求めるのか

正の数のときとまったく同じです。足して、個数で割ります。符号は足し算の中で勝手に処理されるので、−5、−1、3の合計は−3、それを3で割って−1になります。パネルは負の数の前にプラスを置くのではなく、項と項の間にマイナスを置いて和を書きます。同じ計算を、声に出して読むときの形で書いたものです。

結果が小数第4位まで出るのはなぜか

このページの結果はすべて小数第4位までと決まっていて、桁数を固定することがパネルを毎回見比べられるものにしているからです。0.375は0.3750と表示され、上に書かれた割り算と桁がそろいます。答えが4桁まで正確だという主張ではありません。内部の値は計算の精度を全部持っていて、固定されているのは表示だけです。

平均が正しくない平均になるのはどんなときか

項目の重みが等しくないとき、値が足し算ではなく掛け算で効くとき、極端な値がいくつかあって典型的な場合から答えを引き離すときです。重みが等しくないなら加重平均、複利で効く成長率や比率なら幾何平均、決まった距離を進む速さのような率なら調和平均、合計よりも典型的な場合が大事な偏ったリストなら中央値が正しい平均です。

• Arithmetic Mean — 定義、偏差の和が0になる性質、および幾何平均・調和平均との不等式 — Wolfram MathWorld
• Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1（釣り合いの点としての平均と、極端な1つの値がそれを動かす様子） — NIST