加重平均計算

加重平均 = Σ wᵢxᵢ ÷ Σ wᵢ

xᵢ

リストの中の1つの値で、点数や価格や測定値です。重みが0になった値でも、すべての値を必ず書く必要があります。省かれた値と、重み0が付いた値は同じものではありません

wᵢ

その値の重みで、2つ目の欄の同じ位置に書きます。百分率でも、単位数でも、人数でも、ほかのどんな分け前でもかまいません。効くのは重みどうしの比だけで、整数であることも合計が100になることも求めていません

Σ wᵢxᵢ

重み付きの合計です。各値にその重みを掛けてから足します。これが分子で、重みの大きい項目のほうへ答えを寄せる働きをします

Σ wᵢ

重みの合計で、結果パネルに表示されます。これで割ることが重み付きの合計を平均に戻す操作で、同時に検算の口でもあります。この数が思っていたのと違えば重みを打ち間違えており、その答えはほかのどの行にも現れない形で間違っています

項目によって重さが変わるなら加重平均、変わらないならふつうの平均です。日常でいちばん多いのは学校の評価で、30%の期末試験と10%の小テストは対等に平均すべき2つの点数ではありません。同じ計算が、評定平均、投資の平均取得単価、支店ごとに回答数が違う満足度調査にも当てはまります。それ自体が平均である数を扱うときにもこれが正解です。A支店が10件の売上で平均40、B支店が2件で平均90を報告したとき、40と90を平均すると65になりますが、それは誰も払っていない値段です。件数を重みにすれば、会社全体が実際に稼いだ額が出ます。ある値を、信頼できるからとか別の意味で大事だからという理由で強くしたいときには使わないでください。重みは合計のうちの分け前で、答えは「その値を重みの回数だけ繰り返して並べたときのふつうの平均」とちょうど同じになります。

1. 重みが百分率の5つの点数

   1. 各点数にその重みを掛ける：85 × 20 = 1,700、90 × 20 = 1,800、78 × 10 = 780、92 × 20 = 1,840、88 × 30 = 2,640
   2. 積を足す：1,700 + 1,800 + 780 + 1,840 + 2,640 = 8,760
   3. 重みを足す：20 + 20 + 10 + 20 + 30 = 100
   4. 割る：8,760 ÷ 100 = 87.6

   この5つの点数のふつうの平均は86.6なので、重み付けはここで1.0点ぶんの違いを生んでいます。どこに重みが乗っているかから来る差です。78はいちばん低い点数なのに重みは10しかなく、88は30という最大の分け前を持っています。だから加重平均は上に引っ張られます。重み付けが不公平だからではなく、重み付けにそう頼んだからです。同じ数を逆に読むと絵が完成します。30が88ではなく78に乗っていたら、答えは85.6になり、ふつうの平均を1点下回ります。加重平均は重みと同じだけしか意味を持ちません。だから重みの合計が隣に印字されるのです。

2. 5科目の評定平均

   1. 各評定にその科目の単位数を掛ける：4 × 3 = 12、3.7 × 4 = 14.8、3.3 × 3 = 9.9、3 × 2 = 6、4 × 3 = 12
   2. 積を足す：12 + 14.8 + 9.9 + 6 + 12 = 54.7
   3. 単位数を足す：3 + 4 + 3 + 2 + 3 = 15
   4. 割る：54.7 ÷ 15 = 3.6467

   これは評定平均の裏側にある計算で、ページが重みの合計を印字する理由でもあります。15単位は分数の分母であり、15単位から出た評定平均と60単位から出た評定平均は同じ主張ではありません。5つの評定のふつうの平均は3.6なので、単位数は答えを0.0467動かしています。前の算例より小さい動きですが、単位数は2から4までしかないのに対し、あちらの重みは10から30まであったからです。重みなしの数も知っておく価値があります。どの科目も同じ重さなら、この学生の記録は3.65ではなく3.6と読めます。

3. 合計が100にならない重み

   1. 各値にその重みを掛ける：10 × 1 = 10、20 × 2 = 40、30 × 3 = 90
   2. 積を足す：10 + 40 + 90 = 140
   3. 重みを足す：1 + 2 + 3 = 6
   4. 割る：140 ÷ 6 = 23.3333

   この重みの合計は6で、まったく問題ありません。10、20、30と書いても0.1、0.2、0.3と書いても答えは同じになります。効くのは比だけなので、重みの組は百分率としてではなく配合表として読むのが正しい読み方です。合計がいくつであっても、値はその割合で混ぜられています。変わるのは答えの隣に印字される重みの合計だけで、それは打ち込んだ重みをそのまま反映します。もう1つ、答えがふつうの平均の20より最大値の30にはるかに近いことにも注目してください。いちばん重い重みがいちばん大きい項目に乗っており、加重平均は釣り合いの点なので、いちばん重いもののほうへ滑っていきます。

重みは0または正で、少なくとも1つは0より大きい必要があります。重みがすべて0のリストには加重平均が存在せず、何もないもので割るのではなくページが拒否します。1つだけ0の重みがあるのは許され、その項目は無視されるという意味になります。個数には数えられ、値の側にも現れますが、答えには何も寄与しません。0を「小さい重み」と読む前に知っておく価値があります。勝手に正規化されることはないので、合計が150になる重みも、合計が0.4になる重みもそのまま使えます。結果に効くのは重みどうしの比だけです。2つの欄は位置で対応するので、重みは値と同じ順に、同じ個数だけ書く必要があります。個数が食い違えばどちらの重みがどの値のものかを推測せずに拒否します。この拒否は、ここでいちばん怖い失敗の形に対する守りです。つまり、ずれた組から組み立てられた、正しく見える答えです。度数分布表の加重平均ではありません。値がたくさんの観測を代表している場合は、その値を1回だけ書いて度数を重みにすれば同じ答えになりますが、表をそのまま貼り付けては動きません。リストは200組までで、桁の間にコンマを入れた入力（1,500のような書き方）は推測せずに拒否します。世界の多くの地域では数字の間のコンマが小数点を意味するためです。コンマを外して書くか、小数で書き直してください。

加重平均の求め方は？

各値にその重みを掛け、その積を全部足し、重みの合計で割ります。このページの5つの点数なら積は1,700、1,800、780、1,840、2,640で、合計は8,760、重みの合計は100なので、加重平均は8,760 ÷ 100 = 87.6です。その割り算の2つの数はどちらも結果パネルに印字されるので、掛け算を手でやり直さなくても確かめられます。

加重平均と重み付き平均はどう違うのか

同じ数で、2つの呼び方が同じ意味で使われています。重み付き平均のほうがやや正式な言い方で統計の教科書に出てきて、加重平均のほうがふつうに検索される語です。考え方はどちらも同じで、各値に重みを与え、答えは重みの大きい値のほうに寄った釣り合いの点になります。すべての重みが等しいときにこれがふつうの平均に戻ります。

重みは合計が100でないといけないのか

いいえ、このページのどこでも100で割っていません。重みは分け前なので効くのは比だけです。1、2、3は10、20、30と同じ答えになり、百分率で書いても同じです。重みがそもそも百分率でないときは合計が100にならないほうがふつうで、単位数、回答数、資産の構成比などがそれにあたります。打ち込んだとおりに従う唯一の数は重みの合計で、それは答えの隣に印字されます。

重みが1つ0だったらどうなるのか

その値はリストに最初からなかったかのように平均から外れます。ただし個数には数えられ、2つの欄の両方に書く必要があります。2つの欄は位置で対応しているからです。0は「小さい重み」ではなく「重みなし」で、この2つは別の主張です。ページが受け付けないのは、すべての重みが0のときです。重みの合計が0になり割り算に答えがなくなるので、無限大を出す代わりに入力を拒否します。

テストの点数や評定平均に使えるのか

使えますし、どちらも標準的な用途です。点数に重みを付けるのは算例1と同じ計算で、1つ目の欄に点数、2つ目の欄にそれぞれの評価が持つ重みを入れます。評定平均も同じ仕組みで、評定を値、単位数を重みにします。これが算例2で、出てくる答えは学校が計算する数と同じであり、隣に印字される重みの合計は取得単位数そのものです。

答えが重みの合計に依存しないのに、なぜ表示するのか

その割り算を確かめるときに使う分母だからであり、打ち間違いがいちばん先に現れる場所だからです。百分率のつもりで重みの合計が100ではなく97になっていたら、どこかの重みを打ち間違えています。そしてそこから出てくる加重平均は、パネルのほかのどの行にも現れない形で間違っています。値も個数も正しく見えるからです。重みが単位数や回答数や人数といった実在の数のときは、その合計はそれ自体で持っておく価値のある数です。

• Weighted Mean — 定義、重みが等しいときにふつうの平均へ戻ること — Wolfram MathWorld
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6（平均が釣り合いの点であることと、重みがそれを動かす様子） — NIST