72の法則計算

72の法則：倍加年数 ≈ 72 ÷ 年利。正確な年数 = ln(2) ÷ ln(1 + 年利 ÷ 100)

年利

百分率で表した年あたりの金利です。8なら8%の意味で、0より大きい必要があります。どちらの式もそこで消える数で割るからです。

72

近道の分子です。人がよく出会う金利で、この割り算が暗算でできるように選ばれています。

ln(2)

2の自然対数でおよそ0.6931です。2倍になるとは (1 + r) のn乗が2になることだから、ここに現れます。

倍加年数

複利で運用したときにお金が2倍になるまでの長さです。近道の答えと正確な答えを並べて示します。

誤差

近道の答えから正確な答えを引いたもので、低い金利では正、高い金利では負になります。

72の法則の年数後の実際の倍率

近道が告げた年数だけ待ったとき、お金が実際に何倍になるかです。ほとんどの金利で2をわずかに下回ります。

会話の途中で暗算の答えが要るときは近道を、その数を書き残すときは正確なほうを使ってください。ふつうの金利が住んでいる範囲では2つがよく一致するので、近道がいちばんよく働くのは5%から10%の粗略な計画で、いちばん悪いのは両端です。およそ3%を下回ると待ち時間をひどく長く見積もり、およそ15%を超えると短く見積もります。倍率の出力は、誤差が提起するのに決着をつけない問いに答えます。年数の5分の1ずれることが、実際に何かの損になるのかという問いです。年20%で、正確な3.802年ではなく法則の3.6年だけ待つと、手元は2倍ではなく1.9278倍になります。得られるはずだった利益のおよそ7%が消える計算で、高い金利で近道を使う前に知っておく価値があります。

1. 年8%——法則がほぼ正確になる金利

   1. 法則：72 ÷ 8 = 9.00年
   2. 正確な答え：ln(2) ÷ ln(1.08) = 0.693147 ÷ 0.076961 = 9.006年
   3. 誤差：9.00 − 9.006 = −0.006年、およそ2日
   4. 8%でちょうど9年成長させる：1.08⁹ = 1.9990

   法則がいちばんよく働く金利なのでこれが既定値です。その最良のケースがどれほどよいのかは見ておく価値があります。9年のうちおよそ2日しかずれていません。それでも正確ではないことは倍率の出力が教えてくれます。8%で9年複利にすると手元は2倍ではなく1.9990倍で、最後の0.001を埋めるにはさらに2日ほどかかります。

2. 年1%——法則は待ち時間を2年以上長く言う

   1. 法則：72 ÷ 1 = 72.00年
   2. 正確な答え：ln(2) ÷ ln(1.01) = 0.693147 ÷ 0.009950 = 69.661年
   3. 誤差：72.00 − 69.661 = +2.339年
   4. 1%で72年成長させる：1.01⁷² = 2.0471

   普通預金の金利では、近道は待ち時間を気前よく見積もります。その向きは多くの人が思っているのと逆です。倍率にすると具体的になります。1%で法則の72年待つと手元は2倍ではなく2.0471倍になるので、余分な2年と少しは無駄ではなく、行き過ぎているだけです。これが表の中でもっとも大きな誤差です。

3. 年20%——法則は今度は待ち時間を短く言う

   1. 法則：72 ÷ 20 = 3.60年
   2. 正確な答え：ln(2) ÷ ln(1.2) = 0.693147 ÷ 0.182322 = 3.802年
   3. 誤差：3.60 − 3.802 = −0.202年
   4. 20%で3.6年成長させる：1.2^3.6 = 1.9278

   1%のケースと並べると、このページの要点が見えます。誤差の符号が変わっているのです。今度は法則が5分の1年早く2倍になると約束し、それに頼ると手元は2倍ではなく1.9278倍になります。期待していた利益のおよそ7%です。2つのケースは金利がわざと大きく離してあり、年数で見た誤差の大きさは近くなっています。年数の誤差だけでは判断の頼りにならないからこそ、倍率がその隣に出ているのです。

72の法則は近似であり、このページはそうでないふりをしません。するのは、その近似があなたの金利でどれくらい大きいかを教えることです。金利が複利で、期間を通じて同じであることを前提にしています。途中で変わる金利には単一の倍加年数が無く、法則にもそれを表す方法がありません。0より大きい金利でしか働きません。割り算も対数も0で壊れるからで、入力欄が0.1%未満を受け付けないのはそのためです。税とインフレについては何も述べないので、報告される倍加年数は名目の金額での話です。年3%のインフレのもとでは、24年で2倍になる残高は買えるものの量では2倍になっていません。そして、そのまま置いておく1つの一括金額を説明するものなので、積み立ての列には当てはまりません。そこでは計算が別のものになり、答えはもっと短くなります。最後に、この近道は72という数についての規則であって、あなたの投資についての規則ではありません。数が重要なときは正確なほうを、話しているときは近道のほうを使ってください。

72の法則はどう使うのか

72を年利で割ると、お金が2倍になるまでのおおよその年数が出ます。年8%なら9.00年で正確な答えは9.006年なので、近道はほぼ完璧です。年1%では正確な答えが69.661年なのに72年と言い、年20%では3.802年なのに3.60年と言います。近道は暗算の道具で、このページはその隣に正確な倍加年数を出します。

72の法則が近似でしかないのはなぜか

対数を割り算で置き換えているからです。正確な倍加年数は複利の式を期数について解いたもので、2の自然対数を1足した金利の対数で割った形になります。近道は代わりに固定の分子を使い、その固定の分子は限られた金利の範囲でしかよく合いません。2つの答えは7%と8%のあいだのどこかで交差し、その前後で逆方向に離れていきます。

72の法則はどちらに間違えるのか

金利によって両方向です。それが多くの人が予想しないところです。交差点より下では近道は長すぎる答えを出します。年1%では正確な69.661年に対して72年で、待ち時間を2年以上長く言います。交差点より上では短すぎる答えを出します。年20%では正確な3.802年に対して3.60年です。誤差の符号は、まだ正である7%と、負に変わった8%のあいだで入れ替わります。

72の法則の年数後の実際の倍率とは何か

近道が告げた年数だけ待ったとき、お金が実際に何倍になるかです。8%で9年成長させると2倍ではなく1.9990倍になり、20%では法則の3.60年待っても1.9278倍しかありません。誤差を年数から金額に置き換えたもので、誤差が実際に損として効いてくる形がこれです。

低い金利で72の法則を使ってもよいのか

使えますが、金利が下がるほど誤差は速く大きくなり、その向きは待ち時間を長く言う側です。年1%では近道は72年と言い、正確な倍加年数は69.661年で、隔たりは2年以上あります。1%で72年成長させた残高は2.0471倍で終わります。入力欄は0以下の金利をそもそも受け付けません。割り算も対数もそこで壊れるからです。

72の法則はインフレや税を考慮しているのか

していませんし、このページの正確なほうも同じです。どちらも入力した金利で計算するので、その金利が名目なら倍加年数も名目のお金での話になります。年3%のインフレのもとで24年かけて名目で2倍になった残高は、購買力では2倍になっていません。税も同じです。途中で課税される収益はより低い実効金利で複利になるので、税引後の金利での倍加年数はここに出るものより長くなります。

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables：財務省証券の現在価値係数と価格式 — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Compound Interest Calculator — 同じ計算の順方向の形で、残高をその金利で成長させて確かめるためのもの — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• H.15 Selected Interest Rates — 計算した率を突き合わせる基準になる、公表されたベンチマーク金利 — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)