年率換算収益率計算

年率換算の収益率 = ((1 + 総収益 ÷ 100)^(1 ÷ 年数) − 1) × 100

総収益

保有期間全体の損益を百分率で表したもので、60は元本が60%増えたことを意味します。再投資した分配金を含む数です。

年数

保有期間の長さを整数の年で表したもので、1以上でなければなりません。

年率換算の収益率

その年数のあいだ一定に複利で適用すれば同じ総収益を再現する利率で、このページの主結果です。

年数で割った値

総収益を複利なしで年ごとに等分したもので、年率（APR）の慣行にあたり、主結果とは別の数です。

増加倍率

増加倍率は終了時の金額を開始時の金額で割ったもので、総収益を小数で表した数に1を足した値です。60%なら1.6倍になります。

総収益と保有期間が手元にあり、それを1年あたりで表示された何か——別のファンド、預金金利、ベンチマーク指数——と比べたいときに使います。収益が実際に公表される形がこれで、ファンドが広告する平均年率の総収益は割り算ではなく複利のほうの数であり、広告を規律する開示規則は1年・5年・10年の窓でそれを要求しています。一度にまとめた元本を一定期間保有して売却した場合の正しい尺度です。毎月積み立てた口座には正しい尺度ではありません。途中で入れたお金は全期間運用されていないからで、その場合は金額加重の収益率が要ります。過去の年率換算も予測ではありません。上にも下にも動いた経路の平均にすぎず、5年で9.856%で複利になったという事実は、次の5年について何も語りません。

1. 5年で60%——年9.856%、12%ではない

   1. 元本は開始時の1.6倍になった
   2. 年率換算：1.6^(1 ÷ 5) − 1 = 1.09856 − 1 = 9.856%
   3. 年数で割った値：60 ÷ 5 = 12.000%
   4. 両者の差は2.144ポイント

   既定のケースです。人が実際に口に出す言い方だから選んでいます。12%で5年複利になると76.2%になるはずで、60%で終わらないのは、その12%が直線であって元本が曲線をたどったからです。割り算のほうは間違いではありません。年率（APR）の背後にある慣行そのものです。ただし別の数であり、両方を出すページでは、目の前の目論見書がどちらを引用しているかが見えます。

2. 損失の場合——4年で−50%

   1. 元本は開始時の0.5倍になった
   2. 年率換算：0.5^(1 ÷ 4) − 1 = 0.840896 − 1 = −15.910%
   3. 年数で割った値：−50 ÷ 4 = −12.500%
   4. 両者の差は3.41ポイントで、利益の場合とは逆向き

   ここで大小関係が反転し、多くの人が引っかかります。利益のときは複利のほうが小さいのに対し、損失のときは複利のほうが絶対値で大きくなります。つまり年率換算は損失を重く見せ、割り算は軽く見せます。年12.5%で4年複利になると50%ではなく41.4%を失うというのが、同じ非対称を反対側から見た姿です。

3. 25年で200%——差が最も開く場合

   1. 元本は3倍になった
   2. 年率換算：3^(1 ÷ 25) − 1 = 1.04492 − 1 = 4.492%
   3. 年数で割った値：200 ÷ 25 = 8.000%
   4. 両者の差は3.508ポイントで、表のなかで最大

   元本が3倍になったと聞くと快挙に思え、年4.492%と聞くと物足りなく思えますが、同じ出来事です。総収益は保有期間と組み合わせて初めて意味を持つ理由がここにあります。25年で200%は平凡な利率で、同じ200%でも8年なら年14.7%になります。百分率だけではどちらを見ているのか分かりません。

この数は入力した百分率以上には良くなりません。そしてその百分率は、公表された価格の変化ではなく元本の総収益でなければなりません。ファンドが40%上がり、その分配金を再投資していたなら、総収益は40%より大きく、価格の変化を入れると年率換算は小さく出ます。もっともらしい小さめの数になるので、誤りに見えない種類の間違いです。保有期間は整数の年で扱うので、18か月保有した建玉は1.5年とは書けません。総収益と整数の年数で入れるか、金額加重の計算を使ってください。計算は開始時に一括で入れて最後まで動かさなかった元本を前提にしているので、途中の入出金があると崩れます。毎年同じ利率であることも前提にしていますが、そんな運用は存在しません。年率換算は経路の平均であって、同じ平均を持つ2つのファンドでも経路はまったく違います。税引前・インフレ調整前であり、予測でもありません。過去の年率換算は起きたことの記述で、繰り返しを期待できる利率ではないのです。

年率換算の収益率はどう計算するのか

終了時の金額を開始時の金額で割り、その数を年数の逆数乗して1を引きます。5年で60%なら倍率は1.6で、1.6の5分の1乗は1.09856なので、年率換算の収益率は9.856%です。60を5で割ると12%になり、これは別の慣行による別の数です。

なぜ年数で割った値より年率換算のほうが低いのか

複利は曲線で効き、割り算は直線で効くからです。各年の利益は元本だけでなく前年までの利益の上にも乗るので、同じ終点に着く一定の利率は、総収益の単純な平均より小さくなければなりません。利益の場合、複利のほうが必ず小さく、差は収益の大きさと保有期間の長さの両方で広がります。25年で200%では3.5ポイントに達します。

損失でも同じことが起きるのか

起きますが、大小関係は反転します。4年で−50%は年率換算で−15.910%、割り算で−12.5%になり、今度は複利のほうが絶対値で大きく、割り算のほうが損失を小さく見せます。理由は同じ曲線を反対から読んだもので、損失から回復するには損失そのものより大きな比率の利益が要るため、4年で半減させる一定の年率は4分の1より急でなければならないのです。

CAGR計算のページとの違いは何か

入力であって、計算ではありません。どちらも同じ方程式を解き、どちらも複利の年率を返します。CAGRのページは2つの金額を取ります。口座の明細を見ているときに手元にあるのがそれです。このページは総収益の百分率と保有期間を取ります。ファンドの報告書を見ているときに手元にあるのがこちらです。どちらが正しいということはなく、2つのページは互いにリンクしているので、目の前の紙に合うほうから入ってください。

年数で割った値は間違いなのか

いいえ、別の慣行です。期の利率を期数で割って年換算するのは、米国の証券規制当局が年率（APR）と呼ぶもので、引用や比較に広く使われています。ただ複利の利率ではないので、元本が1年ごとに実際どう動いたかを表しておらず、預金金利やファンドが広告する平均年間総収益率と並べて比べてはいけません。どちらも複利の数です。

総収益には何を含めるのか

元本そのものの価値の変化、つまり価格の変化に加えて再投資した分配金です。ファンドの価格が40%上がり、受け取った分配金を再投資していたなら、総収益は40%を超え、価格の変化だけを使うと年率換算は小さく出ます。現金で受け取った分配金は別の話です。そのお金は投資から出ていって複利の土台に残っていないからです。

• Annual Return — Investor.govの用語集（年率の計算には複数の流儀があり、そのうちどれが年率（APR）と呼ばれるかを整理している） — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• 17 CFR 230.482 — Advertising by an investment company（1年・5年・10年の平均年間総収益率の開示を定めている規則） — U.S. Securities and Exchange Commission rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• H.15 Selected Interest Rates — 計算した利率を突き合わせる先になる公表基準金利 — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)