累乗計算
計算結果
累乗の値
- 展開形
- 2 × 2 × … × 2
累乗計算は、底をべき乗して、出てくる数だけでなくその裏にある掛け算も見せます。底を入れ、指数を入れると、このページは累乗そのものの隣に展開形を返します。3の4乗なら81と、3 × 3 × 3 × 3です。ここでの指数は実数なので0.5も許され、それは平方根に行き着きます。負の指数は負の値ではなく逆数を意味し、2の−3乗は1 ÷ (2 × 2 × 2)、つまり0.125です。長い答えは指数表記で書くので、2の64乗は20桁の数字が連なるのではなく1.844674 × 10¹⁹として印字されます。3つの入力は答えを返さずに断ります。負の底の小数乗は実数にならず、ゼロの負の累乗はゼロ除算で、ゼロのゼロ乗には定義された値がまったくありません。最後のものについてJavaScriptは1を返しますが、その1は言語の約束事であって数学的な結果ではありません。
2の累乗、2⁰から2¹⁰まで
| 指数 | 2の累乗 |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
| 5 | 32 |
| 6 | 64 |
| 7 | 128 |
| 8 | 256 |
| 9 | 512 |
| 10 | 1024 |
11行あり、最初の行がこの表がここから始まる理由です。2⁰は0ではなく1で、読者がいちばん信じない項目です。行数が数学ではなく機械に従っているのも同じ筋で、1バイトは8ビット、2¹⁰は1キロバイト、2¹⁰より先は人が実際に使う単位が名前の上で2の累乗でなくなります。2列目を上から読めば毎行で倍になっているのが見え、それが個々の項目を確かめるいちばん速い方法です。512、1,024、2,048。どのセルもページの構築時にその行の指数から計算し直すので、表と計算機がずれることはありません。
公式
bⁿ = b × b × … × b（因数の個数：n） b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)
- b
- 底で、それ自身を掛け合わせられる数です。単位のないただの数で、負でも小数でもゼロでもかまいません。どれにも下にそれぞれの規則があります。負の底が有効なのは整数の指数のときだけです。負の数の偶数次の根は実数にならないからです。
- n
- 指数で、積の中に底が何回現れるかです。このページでは整数だけでなく実数で、分数は根を意味し（0.5の指数は平方根、0.3333は立方根に近い）、負の符号は正の累乗の逆数を意味します。
- bⁿ
- 累乗そのもので、主結果です。0.001から100万までの範囲を外れると指数表記で印字されるので、2の64乗は20桁の整数ではなく仮数と10の指数として表示されます。ここに上限はありません。唯一の天井は倍精度数が保持できる範囲です。
- b × b × … × b
- 展開形で、同じ式を繰り返しの掛け算として書き出したものです。6個より長い積は省略記号で短くし、それ以下はすべて書き出します。3の4乗が4つの因数を示し、2の10乗が10個示さないのはそのためです。
- b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)
- 負の指数がすることです。正の累乗の逆数、つまり1をその積で割ったものを取ります。2の−3乗は−8ではなく1 ÷ 8です。この記法のいちばんよくある読み間違いで、展開形を印字する価値があるのはそのためです。逆数はそこにしか見えません。
- b⁰ = 1
- ゼロでない底のゼロ乗は1で、展開形は空の積ではなく裸の1を印字してそれを示します。段階を下げる規則がそう強制します。指数が1つ下がるたびに底で割る計算が成り立ち続ける必要があり、b ÷ bは1だからです。7の0乗が1なのはこのページが選んだ約束事ではありません。ゼロのゼロ乗だけはその規則でも決まらず、断られます。
- 0.5 as an exponent
- 小数の指数は根です。数を0.5乗することは平方根、3分の1乗は立方根にあたります。このページが負の底と小数の指数の組み合わせを断るのはそのためです。負の数の立方根は完全に実数ですが、その計算の仕方では実数になりません。その違いが分かっているのはn乗根計算のほうです。
数がある決まった回数だけ掛け合わされ、欲しいのがその答えであるときはいつでも使えます。複利成長を掛け算の連鎖ではなく1つの係数として書く、2倍になることを決まった回数だけ繰り返す、同じ倍率を何度も掛ける、同じ出来事が続けて起きる確率、記憶容量の大きさを2の累乗で表す、といった場面です。混同されがちな2つの記法、つまり書き出した積と短く書いた累乗のためのページでもあります。両方を同時に印字するからで、展開形が定義、累乗が値であり、並べて見ることが負の指数を読めるようにします。指数のほうが未知で根を求めているときはn乗根計算を使ってください。あちらでは負と小数の場合にそれぞれの規則があります。底が固定で率から導かれるとき、つまりあらゆる利息と人口の問いの形は、指数関数的増減計算の担当です。累乗が分かっていて指数が欲しいときは対数計算を使ってください。同じ関係を逆向きに読んだものです。
計算例
2の10乗
- 底が2で指数が10なので、2という因数を10個掛け合わせる
- 対にして：2 × 2 = 4、4 × 4 = 16、16 × 16 = 256。これで8個分
- 残りは2個：256 × 2 × 2 = 1,024
- 積の因数が6個を超えるので、展開形は2 × 2 × … × 2と省略される
参考表が終わる行で、この一群で唯一暗記する価値のある数です。キロバイトが1,024バイトなのはこのおかげです。2つ目の読み値が省略されているのは場所が足りないからではありません。10個の因数と省略記号は、10個を書き出したものとまったく同じ情報を運んでおり、その個数は入力した指数にすでに入っています。
2の−3乗
- 指数が負なので、答えは正の累乗の逆数になる
- まず正の累乗：2 × 2 × 2 = 8
- 8の逆数は1 ÷ 8 = 0.125
- 展開形は逆数そのものを印字するので、割り算が見える：1 ÷ (2 × 2 × 2)
展開形がその席を稼ぐ場合です。マイナス符号を負の答えのことだと取った読者は−8を期待して0.125を受け取ります。1 ÷ (2 × 2 × 2)という読みが、逆数を覚えておくべきことではなく明らかなことにします。この読みは、答えが1より小さくならざるを得ないことも言っています。1を1より大きい数で割ってほかのものは出てきません。
1.05の4乗
- 1.05という因数を4個掛ける。これは5パーセントの成長4年分
- 2個：1.05 × 1.05 = 1.1025
- 4個：1.1025 × 1.1025 = 1.21550625
- 累乗は小数6桁で印字されるので、1.215506と読める
教室の外でこのページがいちばんよく使われる形です。1より少し大きい小数の底と、期間を数える指数です。4個の因数で1.2155になり、これはその量が4期間で21.55パーセント増えたと言うのと同じことです。その成長率から底を導くのが指数関数的増減計算で、あちらは引き算をさせる代わりにその百分率を直接報告します。
7の0乗
- 指数がゼロということは積が空であること。7という因数は1つも掛けられない
- 空の積は1で、これは掛け算の単位元。掛けても何も変わらない数
- 段階を下げる規則も同じことを言う：7¹ ÷ 7 = 1、7⁰ ÷ 7 = 7⁻¹なので、規則が成り立つには7⁰が1でなければならない
- 展開形は空の掛け算ではなく裸の1を印字する
0だと期待され、0だと推測されることのいちばん多い項目です。何も掛けていないので何も出てこようがありません。しかし隣り合う累乗をすべて正しく保つ値が1なので、定義は直観に訴えるのではなく空の積になっています。参考表が2⁰ = 1から始まるのも同じ理由です。
−2の3乗
- 底が負で指数が整数。これが許される組み合わせ
- −2 × −2 = 4。負どうしの掛け算は正になるから
- 4 × −2 = −8
- 負の因数が奇数個なので、答えの符号は負
負の底は断られません。断られるのは負の底と小数の指数の組み合わせだけで、そこで答えが実数でなくなるからです。結果の符号は指数の偶奇に従い、それは展開形で数えられます。−2の因数が3個あれば1回対になって負の因数が1つ残ります。指数を4に変えれば答えは+16です。
適用限界
このページは数をべき乗するだけで、それ以外はしません。累乗どうしを足したり掛けたり2つを組み合わせたりはしません。指数法則は式の欄に書いてあり、手で適用するものです。これは意図的で、適用すべき2つ目の底をこのページは持っていないからです。対数も取りません。累乗と底が与えられて指数を求めるのは逆向きの問いで、対数計算の担当です。負の底が受け付けられるのは整数の指数のときだけで、その拒否は計算できないからではありません。−8の立方根は本当に−2です。これは振り分けの判断で、それを生む算術は累乗ではなく根であり、その規則を持っているのはn乗根計算のほうだからです。結果は倍精度で計算され、倍精度が正確なところでだけ正確です。整数は2の53乗まで正確に保持され、それを超えると隣り合う整数と見分けが付かなくなります。指数は±64、底は100万までに限られますが、これは表示範囲であって数学上の限界ではありません。本当の天井は結果が表現可能な数でなくなる点で、そこに達すると無限大を印字する代わりにエラーになります。展開形は6個を超えると省略されるので、掛け算の読みであってその完全な書き写しではありません。
よくある質問
- 負の指数は何を意味するのか
- 正の累乗の逆数を意味し、負の数ではありません。2の−3乗は1 ÷ (2 × 2 × 2)で、0.125です。答えは1より小さいのであって、ゼロより下ではありません。このページが展開形で結果だけでなく割り算を印字するのは、マイナス符号がこの記法で日常的に逆向きに読まれる唯一の部分だからです。
- 0乗が1になるのはなぜか
- 指数がゼロということは積が空であることで、空の積は掛け算の単位元、つまり1だからです。段階を下げる規則も同じことを言います。指数が1つ下がるたびに値は底で割られ、7¹ = 7を1段下げると7 ÷ 7 = 1になります。0になることはありません。何も掛けていないので、何も出てこようがないのです。
- 0の0乗はいくつか
- 定義された値がなく、このページは値を印字せずにそう言います。2つの規則がここで衝突します。ゼロでない底のゼロ乗は1で、ゼロの正の累乗は0です。JavaScriptはこの式に1を返しますが、それは言語が自分の演算どうしの整合のために決めたことであって数学的な結果ではありません。このページが黙って同意せず断るのはそのためです。
- 0.5のような小数の指数は使えるのか
- 正の底なら使えます。0.5の指数は平方根なので、2の0.5乗は1.414214です。負の底と小数の指数の組み合わせは断ります。その答えが実数にならないからです。小数の累乗の裏にある算術は対数を通り、負の数の対数は実数の中に存在しません。負の数の奇数次の根は実数で、その違いが分かっているのはn乗根計算のほうです。
- 展開形が6個の因数で止まるのはなぜか
- それ以上では省略記号が完全な積とまったく同じ情報を運ぶからです。2の64乗を書き出せば同じ因数が100文字以上続きますが、その個数は入力した指数にすでに入っているので、2 × 2 × … × 2と省略しても何も失いません。6個以下のときは掛け算をすべて書き出すので、3の4乗は4つとも示します。
- 答えが指数表記に切り替わるのはいつか
- 0.001から100万までの範囲を外れたときです。その窓の中ではふつうの小数で印字します。読者は9,375を一目で受け取りますが、9.375 × 10³ならまず翻訳が要るからです。外では仮数と10の指数の両方を示すので、2の64乗は大きさの見えない20桁の整数ではなく1.844674 × 10¹⁹として読めます。
参考文献
- Power — 繰り返しの掛け算としての累乗の定義と、負の指数・小数の指数の規則 — Wolfram MathWorld (United States)
- Exponentiation — 演算そのもの。負の指数の逆数規則と、不定形な場合である0⁰の扱いを含む — Wolfram MathWorld (United States)
- Exponentiation — 数の体系をまたいだ累乗の算術と、負の底に整数でない指数を載せると実数にならない理由 — Wikipedia