n乗根計算

ⁿ√x ⁿ√(mⁿ · r) = m · ⁿ√r ⁿ√x = x^(1/n)

x

被開方数で、根を取られる側の数です。ここでは整数で、指数が奇数のときは負でもかまいません。整数に限っているのは計算の都合ではなく厳密な形の都合です。2.5の平方根はごく普通の数ですが、その厳密な形は根号を含む分数で、この列が印字する答えとは別の形になります。

n

根指数で、2から12までです。指数1は恒等、つまり何の1乗根もそれ自身で、指数0は定義されないので、どちらも答えるのではなく拒否します。上限が12なのは実際的な理由です。厳密な形は被開方数を割り切る最大の完全n乗を見つけて作るので、それがすぐにまばらになります。12を超えると、この列はほとんど空の根号と巨大な数が並ぶだけになります。

ⁿ√x

小数で表した根で、主の読みです。厳密でないときは小数6桁で印字します。計算に使うのはこちらで、情報を失うのもこちらです。8.485281は√71.9999から来たのではなく√72から来たことを教えてくれません。それを教えるのが隣の厳密な形です。

m · ⁿ√r

厳密な形です。被開方数を割り切る完全n乗を根号の外へ出し、小さくなった根号の前に係数として書きます。√72なら72 = 36 × 2で36が平方数なので6√2になります。被開方数が完全n乗のときは残りが無く、根号はまるごと消えて答えは整数として書かれます。割り切れたことをこのページがそうやって報告します。

x^(1/n)

同じ根を累乗として書いたもので、計算はこの形で行っています。2つの表記は同じ操作で、それを知っておく価値があります。指数1/nがあるからこそ、分数の指数が得体の知れないものではなく根になるのです。指数のページはこの形をそのまま受け取り、被開方数が整数でないときや指数が整数でないときに使うページです。

√

指数を書かない根号は常に平方根を意味します。だからこのページは指数2で素の√を、指数3で∛を印字します。12を超えると1文字の記号が尽きるので、高い指数は記号の前に数字を書いて表します。そのときこのページは、係数と4以上の指数のあいだに掛け算記号を入れます。2 × 4√2です。24√2と書くと、24掛ける2の平方根と読まれてしまうからです。

根を値として求めるだけでなく簡単にしなければならないときに使います。小数だけの平方根ツールとの違いがそこです。√72を6√2にすること、ある数が完全平方かを確かめること、答えを厳密な形で書くことが求められる問題を解くこと、といった場面です。根にまつわる2つの問いに答えるページでもあります。負の数の立方根はいくつかという問い（奇数の指数なら実数です）と、ある数の4乗根はいくつかという問いです。指数が整数でないときは指数のページへ進んでください。分数の指数は同じ操作を累乗として書いたもので、あのページはそれをそのまま受け取ります。根号が単独ではなく公式の下に出てくるときは二次方程式のページへ進んでください。判別式は平方根で、あのページはその符号も値も読みます。2つの指数のうち片方だけが欲しいときは平方根のページか立方根のページへ進んでください。それぞれの場合は固有の材料を載せています。

1. 16の平方根

   1. 指数2、被開方数16で、平方根になる
   2. 16は4 × 4なので完全平方で、まるごと外へ出る
   3. 根は4で、丸めた値ではなく厳密に4
   4. 厳密な形は裸の整数4で、根号はまったく残らない

   このページがいちばんよく開かれる場合で、厳密な形の列が成功をどう報告するかが見えます。根号も小数も無く、整数だけです。16が完全平方かどうかだけを知りたかった読者は、1列目を読まずに2列目で答えを得られます。

2. 72の平方根

   1. 72は完全平方ではないので、根は無理数になる
   2. 72を割り切る最大の平方数は36で、72 = 36 × 2
   3. 36を根号の外へ出すと外側が6になる：√72 = 6√2
   4. 小数の値は小数6桁で8.485281、そして6√2が厳密な値

   このページ全体を正当化する算例です。8.485281は近似で、パネルは厳密な形をその隣に印字することでそう告げています。小数だけを見せる競合ページは、72の平方根ではない数を読者に渡していることになります。根号の下に残った2も、状況をいちばん速く読ませてくれます。中にまだ何かあるので、割り切れてはいないのです。

3. 54の立方根

   1. 指数3、被開方数54で、立方根になる
   2. 54は完全立方ではないが27で割り切れる：54 = 27 × 2
   3. 27を外へ出すと外側が3になる：∛54 = 3∛2
   4. 小数の値は3.779763

   同じ簡単化を別の指数で行った例で、このページが2つではなく1つの道具であることが分かります。手でやる必要があるのは54より下の最大の完全立方を見つけることで、8ではなく27です。このページの参考表はまさにその照合を速くする一覧です。3の3乗が27、4の3乗が64で、64は大きすぎます。

4. 32の4乗根

   1. 32は16 × 2で、16は4乗数。16 = 2⁴だから
   2. 16を根号の外へ出すと外側が2になる：⁴√32 = 2 × ⁴√2
   3. 指数4には1文字の根号記号が無いので、掛け算記号を書く
   4. 小数の値は2.378414

   表記に気を遣うところです。これを24√2と書くと、多くの人には24掛ける2の平方根と読まれます。だからこのページは指数が4以上のときに掛け算記号を挟みます。係数も指数も数なので、何かで区切らなければならないからです。√も∛もこの問題を抱えず、記号が現れるのが指数4以上からなのはそのためです。

5. −54の立方根

   1. 被開方数が負で指数が奇数なので、根は実数になる
   2. 大きさの部分は前とまったく同じに簡単になる：∛54 = 3∛2
   3. 符号は外へ出し、厳密な形はいちばん前に印字する：−3∛2
   4. 小数の値は−3.779763

   負の場合で、厳密な形に独自の規則がある唯一の場所です。負号は根号の中ではなく式全体の前に付きます。ここは指数のページが人を送ってくる入口でもあります。あちらは負の底と分数の指数を拒否します。背後の計算が対数を通るからで、代わりに根を取って同じ問いに答えるのがこのページです。

被開方数は整数でなければなりません。2.5の平方根は実数ですが、このページは受け取りません。その根の厳密な形は根号を載せた分数で、厳密な形の列にその形を置く場所が無く、そこを小数だけにすると厳密な答えを捨てたことが隠れてしまうからです。分数や小数の被開方数は指数のページに分数の累乗として入力してください。負の被開方数は奇数の指数のときだけ受け付けます。−8の立方根は−2ですが、−4の平方根は実数ではないので、複素数の値を印字するのではなく拒否します。根指数は2から12までの整数です。指数1は恒等で指数0は定義されないので、どちらも受け付けず、分数の指数は分数の累乗として指数のページへ回します。割り切れない根は小数6桁で印字し、これは表示の限界であって精度の限界ではありません。背後の計算は倍精度いっぱいで走ります。厳密な形は完全累乗を外へ出すところまでで、これが簡単にした根号の標準形です。分母の有理化はしません。分数の下に根号がある場合は読者自身の仕事です。被開方数は10億までに限っています。この上限は数学ではなく費用の話です。簡単化は試し割りで行うので、これより大きいと答えが間違うのではなく、打ち込むたびに反応が遅くなります。

厳密な形と小数は何が違うのか

小数は丸めた値で、厳密な形は値そのものです。72の平方根は厳密に6√2で、8.485281はそれを小数6桁にしたものなので、8.485281を2乗すると72ではなく71.99999…になります。このページが両方を印字するのは、どちらか片方だけでは誤解を招くからです。計算に使うのは小数のほうで、割り切れたかどうかを教えるのは厳密な形のほうです。

平方根はどうやって簡単にするのか

その数を割り切る最大の平方数を探し、その根を前に出して残りを中に残します。72なら72 = 36 × 2なので36で、√72 = 6√2になります。平方数が1つも割り切らない場合、つまり2、3、5、7のように同じ素因数を2つ持たない数では根号は簡単にできず、厳密な形は√2のままです。

負の数の平方根は取れるのか

このページでは取れませんし、実数としてはどこでも取れません。−4の平方根は複素数の2iで、このページは実数の道具です。奇数の指数は話が別です。−8の立方根は−2で、ごく普通の実数です。負の数を3つ掛けると負になるからです。だからこのページは指数3の−8を受け付け、指数2の−4を拒否します。

被開方数に小数を入れられないのはなぜか

厳密な形に置き場所が無いからです。2.5の平方根は√10 ÷ 2で、分子に根号がある分数になります。このページの厳密な形の列が印字するのは根号の前の係数で、分数ではありません。小数だけを印字して厳密な答えを黙って落とすより、被開方数を整数に限ってそう告げています。小数の被開方数は指数のページに分数の累乗として入れられます。

根号の上の指数は何を意味するのか

その根を何回掛けると被開方数に戻るかという数です。指数3は立方根で、∛8は2になります。2 × 2 × 2 = 8だからです。指数が書かれていなければ2で、このページが平方根に素の√を、立方根に∛を印字するのはそのためです。指数1は数をそのまま返し、指数0は意味を持たないので、このページは2から始めます。

立方根は3分の1乗と同じなのか

同じで、このページもその形で計算しています。xのn乗根はxの1/n乗なので、54の立方根は54の0.3333…乗で3.779763になります。2つの表記は1つの操作を表しています。分かれるのは負の底のときです。累乗の形は対数を通るので−54を拒否しますが、奇数の根を取るのはそのままできます。だから指数のページはそういう場合をこちらへ送ってきます。

• nth Root — n乗根の定義。負の数の偶数乗根が実数の値を持たず、奇数乗根は持つという規則も含む — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Root — 指数2の場合。根号の簡単化と、このページの参考表が引き継いでいる平方数の表 — Wolfram MathWorld (United States)
• Cube Root — 指数3の場合。負の数に実数の立方根があり、実数の平方根が無い理由 — Wolfram MathWorld (United States)