立方根計算

∛x = ∛(m³ · r) = m · ∛r ∛(n ÷ d) = ∛(n · d²) ÷ d

x

被開方数で、根号の下にある数です。負でもかまいません。立方根は奇数次の根で、負の数の奇数乗は負のままです。−27の立方根は−3、−1の立方根は−1です。小数も3桁まで受け付け、その場合は簡約の前に分数へ戻します。

m³

被開方数を割り切る最大の完全立方数で、8、27、64、125などです。これを見つけることが簡約のすべてで、ページは大きいほうから順に探すので、最初に見つかった因数が最大になります。72ならその因数は8で、根号の下には9が残ります。

m

その完全立方数の立方根で、根号の前に出てきます。整数のときは厳密な形が2∛9と読め、1のときは係数が落ちて∛2になります。1∛2とは誰も書かないからです。

r

立方因数をすべて外に出したあとに根号の下へ残るものです。立方因子を持たない、というのがまさにこの形が最終である理由です。何も残らないとき、つまりもとの被開方数が完全立方数だったときは根号が丸ごと消え、厳密な形は27の立方根のようにただの整数になります。

d²

分母の2乗で、小数の場合を平方根のページからそのまま持ってこられない理由です。立方根の下から分母dを払うには、その中にdの3乗が要ります。そこでn ÷ dは(n · d²) ÷ d³と書き直され、その立方根は∛(n · d²) ÷ dになります。d²ではなくdを使っても数は出ますが、出るのは正しくない数です。

立方根の厳密な形が要るとき、または被開方数が負のときに使います。3乗計算は順方向、つまり数を3乗して根を読み返すほうを扱い、このページが根号の記法を印字するところで向こうは小数を印字します。次数が3でないときは、n乗根計算が2から12までの任意の次数を受け取り、同じように簡約します。

1. 72の立方根を簡約する

   1. 72を割り切る最大の完全立方数を探す
   2. 8が割り切る：72 ÷ 8 = 9なので72 = 8 × 9
   3. 8の立方根は2で、これが前に出る：∛72 = 2∛9
   4. この厳密な形を評価すると4.160168になる

   検算は1行です。2∛9を3乗すると2³ × 9、つまり8 × 9で72になります。小数の列はそうやって検算できません。4.160168を3乗すると71.99999…と少しずれます。厳密な形を隣に印字する理由はそこにあります。

2. 完全立方数は整数にたたまれる

   1. 27は3 × 3 × 3なので、最大の立方因数は27自身
   2. 外に出すと根号の下には何も残らない：27 = 27 × 1
   3. 下に何も残らないので根号が消え、厳密な形は3
   4. 小数も3なので、2つの列が一致する

   根号が空になったら、それが被開方数は完全立方数だったという合図です。この行こそコンピュータが既定で間違える行だと知っておく価値があります。浮動小数点で27の3分の1乗を計算すると3.0000000000000004になり、このページは近くの整数を3乗して27に戻るかどうかを確かめて直します。

3. 負の被開方数

   1. まず符号を外に出す：∛−72 = −∛72
   2. 正の部分は前とまったく同じに簡約できる：∛72 = 2∛9
   3. 符号を戻すと−2∛9
   4. 小数は−4.160168で、正の場合の符号を変えたもの

   マイナス符号は根号の中ではなく前に置きます。−2∛9と2∛−9は同じ数ですが、標準的な書き方は前者だけです。後者を印字すると別の式に見えてしまいます。これは平方根計算がまったく扱えない場合です。負の数の偶数次の根は実数になりません。

4. 完全立方数になる小数の被開方数

   1. 0.125は分数にすると1/8
   2. どちらの部分も完全立方数：∛1 = 1、∛8 = 2
   3. 根号の下には何も残らないので、厳密な形は分数の1/2
   4. 小数で書けば0.5

   この行があるから、このページは2桁ではなく3桁の小数を受け付けるのです。8分の1は立方根が実際に出会ういちばん自然な小数で、2桁では分数として読むことすらできません。いちばん受け入れるに値する数によって、読者が立方根のページから追い返されることになっていました。

被開方数は小数3桁までに限られます。4桁目は丸めずに断ります。簡約は小数を分数に戻してから試し割りで進むので、それ以上では算術が信頼できなくなるからです。関わる整数の積が倍精度で正確に表せる範囲を超え、答えは遅くなるのではなく静かに間違ったものになります。大きさは±1,000,000までで、そこまでは試し割りの費用も軽いままです。厳密な形は数ではなく記法で、言語を問わず同じように書かれます。根号と除算記号に言葉は含まれていないからです。隣の小数は6桁に丸めます。返るのは実数の立方根だけです。ゼロでない数には複素平面上に3つの立方根があり、残る2つは表示しません。負の数の立方根は符号を前に出して印字します。標準的な書き方ですが、負の被開方数に根号をかぶせた文字列とは同じではありません。

立方根の計算ツールは何をするのか

被開方数を受け取り、2つ返します。その立方根の小数値と、最大の完全立方数を根号の前に出した厳密な形です。72の立方根は小数で4.160168、厳密な形で2∛9になり、2つは同じ数を2通りに書いたものです。

立方根を手で簡約するには

被開方数を割り切る最大の完全立方数を探して外に出し、その立方根を根号の前に置きます。72ならその因数は8で、72 ÷ 8 = 9なので全体は2∛9になります。根号の下に立方因子を持たないものが何も残らなくなれば終わりです。27では根号が完全に空になり、答えはただの3になります。

被開方数は負でもよいのか

よく、ここが平方根計算とのいちばん明確な違いです。あちらは負をきっぱり断ります。立方根は奇数次の根なので負の被開方数でも問題ありません。−64の立方根は−4です。符号は先に外に出し、厳密な形の前に印字するので、−72は負の数に根号をかぶせた形ではなく−2∛9に簡約されます。

厳密な形が分数になることがあるのはなぜか

被開方数が分数の3乗のとき、根号の下には何も残らず、厳密な形はただの分数にたたまれます。0.125の立方根は1/2、0.001の立方根は1/10です。根号が生き残るのは、その下に立方因子を持たないものが残ったときだけで、27の立方根がただの整数になるのと同じ規則です。

被開方数は何桁の小数まで取るのか

3桁で、平方根のページより1桁多いです。この1桁は特定の数のためにあります。0.125は8分の1で0.5の立方根であり、2桁では分数として認識することすらできません。4桁目は丸めずに断ります。それ以上では試し割りが厳密でなくなるからです。

• Cube Root — 3乗の逆演算。次数が奇数なので負の入力にも定義される — Wolfram MathWorld (United States)
• Cubic Number — 簡約が探しに行く完全立方数。8から被開方数の許すところまで — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — 根号、被開方数、そして根の前に係数を置くときの書き方の約束 — Wolfram MathWorld (United States)