3乗計算
計算結果
3乗
- 立方根
- 1.912931
- 展開形
- 7 × 7 × 7
3乗とは、ある数を3回掛け合わせた値のことです。このページはその計算と、それが表している掛け算を並べて表示するので、7の3乗は343として、その隣に7 × 7 × 7が出てきます。同じ画面で逆向きの問いにも答え、その数の立方根を印字します。27を入れれば3、343を入れれば7です。立方根が整数になれば、入れた数が完全立方数であることの合図になり、小数になればそれも同じだけの情報になります。負の数はどちらの向きでも受け付けます。負の数を3乗すれば負になり、負の数の立方根も負だからで、マイナス符号は断られずにそのまま生き残ります。表示しきれない大きさの結果は、ゼロを並べるのではなく指数表記に書き換えます。
1から12までの整数の3乗
| 値 | 3乗 |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 8 |
| 3 | 27 |
| 4 | 64 |
| 5 | 125 |
| 6 | 216 |
| 7 | 343 |
| 8 | 512 |
| 9 | 729 |
| 10 | 1000 |
| 11 | 1331 |
| 12 | 1728 |
ここにある行はすべて厳密で、最後の行がこのページの大きな結果を指数表記で出す理由になっています。12の3乗は1,728でまだ楽ですが、同じ形を100万まで持ち上げるとそうはいきません。いちばんよく引かれるのは2、3、4、5の行、つまり8、27、64、125です。因数分解や図形の問題で出てくる完全立方数がそれだからです。立方根のページの参考表と並べると、こちらが順方向、あちらが逆方向で、その2つがこのページの答えている問いの組になっています。
公式
x³ = x × x × x ∛x = x^(1/3)
- x
- 3乗する数です。負でもよく、小数も6桁まで付けられます。範囲は−1,000,000から1,000,000までです。このページに正の値だけという制約がないのは、負の数を3乗することが完全に定義されているからです。−4 × −4 × −4は−64になります。すぐ下の立方根も同じで、こちらは奇数次の根なので負の入力に対しても定義されます。
- x³
- 3乗そのもので、小数6桁まで印字します。表示枠の外では大きさが読み取れるように指数表記で書きます。1,000,000の3乗は、パネルを横切る19桁の整数ではなく1.000000 × 10¹⁸になります。枠の中では通常の表記を保つので、343は10の累乗ではなく343.000000として印字されます。
- ∛x
- 同じ数の立方根で、1列目を打ち消します。それ自身を2回掛けるとxに戻る値のことです。xが完全立方数のときは根がちょうど整数になり、丸めは一切入りません。それ以外は小数6桁に丸めます。これが奇数次の根と偶数次の根の違いであり、負の入力がここでは問題ないのに、負の数の平方根には実数の答えがまったくない理由です。
問いが図形ではなく数についてのものであるときに使います。7の3乗はいくつか、1.5の3乗はいくつか、343の立方根はいくつか、という場面です。3乗が物を表しているとき、つまり辺の長さと立方センチメートル単位の体積を持つ箱のときは、立方体の体積計算のほうが辺の長さを受け取って単位付きで答えます。
計算例
7の3乗と、そこから戻ってくる根
- まず2乗する：7 × 7 = 49
- もう一度7を掛ける：49 × 7 = 343
- 343の立方根は7。7 × 7 × 7 = 343だから
- 入力した7自身の立方根は1.912931で、小数6桁が要るのはここ。7は完全立方数ではない
このページの2つの半分は別々の問いに答えていて、どちらにも価値があります。3乗の343は厳密で、そこから戻る根も厳密です。入力の根である1.912931のほうは丸めた値で、それ自身を3回掛けると6.999999…と少しずれます。小数6桁で7に近づけられる限界がそこです。
完全立方数：27
- 27 × 27 = 729
- 729 × 27 = 19,683
- 27の立方根はちょうど3で、小数点以下には何も付かない
- その3という厳密な値が、27は完全立方数かという問いの答えそのもの
完全立方数は、根の列に丸めがまったく入らない唯一の場合です。それが数値としてなぜ効くのかは見ておく価値があります。コンピュータで27の3分の1乗を計算すると3.0000000000000004になり、それを印字すると3.000000となって丸めの失敗のように見えます。このページは、近くの整数を3乗して入力に戻るかどうかを確かめることで、それを片づけています。
負の数の3乗
- −4 × −4 = 16で正の数。負どうしを掛けると正になるから
- 16 × −4 = −64で再び負。3つ目の因数がまだ負だから
- したがって−4の3乗は−64で、−64の立方根はちょうど−4
- 入力−4の立方根は−1.587401
符号を決めるのは因数の個数です。負が奇数個なら積は負、偶数個なら正になります。立方根が負を受け付けて平方根が受け付けないのも同じ理由で、奇数次の根は打ち消せて、偶数次の根は打ち消せません。マイナス符号は手で書くときと同じく、根の前に印字されます。
適用限界
入力は±1,000,000までに限られます。これは数学上の限界ではなく表示上の限界です。1,000,000の3乗は1の後に0が18個続く数になりますが、それでも倍精度で正確に表せる範囲に収まっているので、境界で桁あふれは起きません。読者が一目で受け取れない数を印字しない、というだけのことです。この範囲内なら、3乗は整数に対して厳密で、それ以外でも小数6桁まで正しくなります。立方根は1つの実数値であって、複素数として扱うときの3つの立方根の集合ではありません。負の入力の実数の根は負のほうで、残る2つの複素数の根は表示しません。展開形の列は掛け算の記法であり、どの言語でも同じように書かれます。数値の3乗ではなく箱の体積が知りたいときは、辺の長さを単位付きで受け取る立方体の体積計算のページがあります。
よくある質問
- 3乗の計算は単なる掛け算と何が違うのか
- 両方向を同時に返し、しかも厳密さを保ちます。27を入れると3乗の19,683と、その隣に立方根の3が返ります。27に戻すには3乗すべき値のことです。手でやれば別々の計算2回になり、そのうち根のほうが間違えやすいほうです。
- 完全立方数はどれか
- 1、8、27、64、125、216、343、512、729、1,000、1,331、1,728で、1から12までの整数の3乗です。下の参考表が示しているのはまさにそれです。判定は暗記ではありません。数を入れて根の列を見てください。そこが整数なら完全立方数、小数ならそうではありません。
- 負の数も3乗できるのか、その立方根も取れるのか
- どちらもでき、答えは2回とも負になります。負を3つ掛けると負になるのは、マイナスの個数が奇数だと生き残るからで、−4の3乗は−64、−64の立方根は−4です。偶数次の根にはこれができません。負の数の平方根は実数にならないからで、平方根計算が負を断り、このページが断らない理由がそこにあります。
- 大きな結果が指数表記に切り替わるのはなぜか
- 0が19桁並んでも何も分からないからです。1,000,000の3乗は1の後に0が18個続く数で、そのまま印字するとパネルを折り返すだけで大きさは伝わりません。1.000000 × 10¹⁸と書けば大きさがすぐ分かります。小さな結果はそのままです。343は10の累乗ではなく343.000000として印字します。
- 立方体の体積計算とは何が違うのか
- 片方は数を受け取り、もう片方は長さを受け取ります。ここでの入力は単位のない純粋な値なので、5の3乗は125でそれで終わりです。立方体の体積計算は同じ5をセンチメートル単位の辺の長さとして読み、125 cm³の体積と150 cm²の表面積を返します。同じ算術に別の問いが付いたものです。
参考文献
- Cube — 数の3乗、x·x·xという展開、そして負の数の3乗が負のままである理由 — Wolfram MathWorld (United States)
- Cubic Number — 完全立方数（1、8、27、64）と、それを見分ける判定 — Wolfram MathWorld (United States)
- Cube Root — 3乗の逆演算。次数が奇数なので負の入力にも定義される — Wolfram MathWorld (United States)