立方体の体積計算
計算結果
体積
- 表面積
- 150.0000 cm²
立方体の体積計算は、1つの測定値を2つに変えます。辺の長さから立方体の体積と、6つの面を合計した表面積です。辺に5を入れると、立方体は125 cm³の空間を占め、150 cm²の表面を覆うことになります。どの辺の長さも立方体を与えるので、入力はその1つだけです。残りはs³と6s²から導かれます。辺の長さはセンチメートル、メートル、ミリメートル、インチ、フィートで入力でき、辺がゼロの場合も退化した場合として受け付けられます。
よくある立方体：辺から求めた体積と表面積
| 辺（cm） | 体積（cm³） | 表面積（cm²） |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 |
| 6 | 216 | 216 |
| 5 | 125 | 150 |
| 7 | 343 | 294 |
| 2 | 8 | 24 |
| 3 | 27 | 54 |
| 4 | 64 | 96 |
| 10 | 1000 | 600 |
| 0.5 | 0.125 | 1.5 |
6 cmの行が交点で、2つの読み値が216で等しくなります。10 cmの行はこのページの外でも覚えておく価値があります。1,000立方センチメートルはちょうど1リットルなので、リットルで測る容器はどれもこのくらいの立方体として思い描けます。7 cmの行は3乗計算自身の例を繰り返しているので、同じ立方体を2つのページで確かめられ、どちらでも同じ数を印字しなければなりません。この表の辺はすべて整数のセンチメートルです。表のセルは地域ごとに書き分けないので、小数は言語によって1.5とも1,5とも書かれてしまうからです。
公式
V = s³ S = 6s²
- s
- 辺の長さで、この立体が必要とする唯一の測定値です。立方体は縦と横と高さがすべて等しい唯一の箱なので、1つの数で完全に決まります。単位を付けて入力し、計算の前にセンチメートルへ換算します。どの単位で打ち込んでも結果がセンチメートルで報告されるのはそのためです。
- V
- 体積で、立方体が囲む空間です。辺の長さの3乗で、立方センチメートルを小数4桁で報告し、パネルの主結果になります。整数の辺では結果は近似ではなく厳密です。5の3乗は125で、小数点以下には何も付きません。4桁があるのは整数でない辺のためです。
- S
- 表面積で、6つの正方形の面を合計したものです。1面はs²で、それが6つあるので全体は6s²になり、平方センチメートルを小数4桁で報告します。立方体の面はどれも合同なので、表面積は長方形ごとの足し算ではなく1回の掛け算と足し算で済みます。
大きさを測りたい実物の立方体があるときに使います。箱、サイコロ、木箱、材料のブロック、高さと幅が同じ水槽などです。問いが数のことだけであるとき、つまり7の3乗はいくつかというときは、3乗計算が同じ算術を単位のない値で行い、その隣に立方根を足します。底面が正方形でないときは、直方体の体積計算が3つの辺の長さを受け取ります。
計算例
辺5 cmの立方体
- 体積は辺の長さの3乗：5 × 5 = 25、次に25 × 5 = 125
- つまり立方体は125立方センチメートルを占める
- 1つの面は5 × 5 = 25平方センチメートル
- 6面で6 × 25 = 150平方センチメートルの表面積になる
ここでは2つの読み値がどちらも厳密です。それがこの立体に限った話ではないと知っておく価値があります。球や円柱は半径が整数でも、円周率が無理数なので体積は近似になります。立方体では決してそうなりません。2つの数は本当に別の問いにも答えています。125 cm³は箱がどれだけ入るかで、150 cm²は箱を組み立てるのにどれだけの厚紙が要るかです。
体積と表面積が出会う辺
- 体積：6 × 6 = 36、次に36 × 6 = 216立方センチメートル
- 表面積：1面は6 × 6 = 36で、6面で216平方センチメートル
- どちらの読み値も216になり、これは偶然ではない
- s³ = 6s²が、ゼロより大きい辺についてs = 6に帰着するから
2つの数が一致する辺の長さは1つだけで、それが6です。それより小さいと表面積のほうが大きく、1 cmの立方体は1 cm³の中身に対して6 cm²の皮を持ちます。それより大きいと体積が逃げていきます。立方体を2倍にすると体積が8倍になるのに表面積が4倍にしかならないのはそのためです。
10 cmの立方体
- 10 × 10 = 100、100 × 10 = 1,000なので、体積は1,000立方センチメートル
- これはちょうど1リットルで、リットルが立方デシメートルと定義されているのはそのため
- 1つの面は10 × 10 = 100平方センチメートル
- 6面で600平方センチメートル
覚えておく価値があるのは10 cmの立方体です。このページをサイト上の他の体積のページすべてと結びつけてくれるからです。1,000 cm³は1リットルなので、リットルで言い表せる容器はどれもこのくらいの立方体と見比べて確かめられます。同じ立方体は、3つの辺がたまたま等しくなった行として、直方体の体積計算の参考表にも現れます。
適用限界
辺の長さは1,000,000,000までに限られ、負にはできません。負の辺は、明らかに体積を持つ立体に負の体積を与えてしまうからです。ゼロは受け付け、どちらの読み値もゼロを返します。出力の単位は固定です。体積はつねに立方センチメートル、表面積はつねに平方センチメートルで報告され、インチやフィートで入力した場合も変わりません。したがって2インチの立方体は8立方インチではなく131.0965 cm³として返ってきます。2つの読み値は整数の辺では厳密で、それ以外でも小数4桁まで正しくなります。例外は非常に大きな辺で、そこでは3乗がすべての整数を表せる点を超え、末尾の桁が信用できなくなります。返るのは体積と表面積だけで、空間対角線は出力に含まれません。あれは2次元を扱う正方形計算の持ち物です。
よくある質問
- 立方体の体積はどう求めるのか
- 辺の長さを3乗します。つまりそれ自身を2回掛けます。辺5 cmの立方体の体積は5 × 5 × 5 = 125立方センチメートルです。立方体は、定義により縦と横と高さがすべて同じ辺の長さなので、測定値1つで済む唯一の箱です。
- 立方体の表面積はいくつか
- 1つの面の面積の6倍で、6s²です。5 cmの立方体は1面が25平方センチメートルで、6面合わせて150平方センチメートルになります。面はどれも合同なので、箱のように異なる長方形を足し合わせるのではなく、1回の掛け算で済みます。
- 体積と表面積が同じ数になる辺の長さはあるのか
- あります。6で、それが唯一です。6 cmの立方体は体積が216立方センチメートル、表面積が216平方センチメートルです。s³ = 6s²を立ててs²で割るとs = 6が残ります。それより小さいと表面積のほうが大きく、大きいと体積のほうが大きくなります。
- 辺の長さをインチやフィートで入れられるのか
- 入れられ、換算も自動で行われますが、読み値はつねにセンチメートルと平方・立方センチメートルで返ります。このページで気をつけるのはそこだけです。2インチを入れると8立方インチではなく131.0965 cm³になるので、ヤード・ポンド法の単位で答えが要るなら、パネルがやってくれると期待せず結果のほうを換算してください。
- 答えが丸められないのはなぜか
- この立体では丸める必要がないからです。体積はs³、表面積は6s²で、どちらも整数係数の式なので、辺が整数なら答えも整数になります。7 cmなら343 cm³と294 cm²です。小数4桁があるのは分数の辺のためで、例えば0.5 cmの立方体は0.125 cm³になります。
参考文献
- Cube — 正六面体。定義によりすべての辺が等しく、体積はs³、表面積は6s² — Wolfram MathWorld (United States)
- Volume — 立体の体積がどう定義され、なぜ単位が3乗になるのか — Wolfram MathWorld (United States)
- Surface Area — 立体の境界面の総面積と、立方体の6つの合同な面 — Wolfram MathWorld (United States)