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直方体の体積計算

範囲：0 cm〜1,000,000,000 cm

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計算結果

80.0000 cm³

体積

表面積
112.0000 cm²

直方体の体積計算は、長方形の箱の長さ・幅・高さを入れると、2つの数を返します。箱が囲む空間の大きさ（立方センチメートル）と、6つの面の面積の合計（平方センチメートル）です。どちらも聞かれるのは、箱にはたいてい両方が同時に要るからです。どれだけ入るか、そして作る・覆うのにどれだけ材料が要るか。体積は長さ × 幅 × 高さで、教わらなくても誰もが知っている唯一の式です。1cmの立方体がいくつ入るか、ということだからです。直方体の表面積は、3組の面の和の2倍です。箱の向かい合う面は同じなので、考えるべき長方形は3種類だけで、それぞれが2回ずつ現れます。箱の大きさが変わるとき、体積と表面積は違う振る舞いをします。それがこのページでいちばん役に立つ事実です。すべての辺を2倍にすると、表面積は4倍、体積は8倍になります。だから大きな容器は、小さなものよりはるかにたくさん入るのに、中身1単位あたりの材料は少なくて済みます。体長が2倍の動物が2倍の重さではない理由もこれです。下の表が同じ組を2行並べているのはそのためです。3・4・5は6・8・10に拡大し、表面積は94から376へ、体積は60から480へ変わります。単位については一言必要です。ここが最も間違えやすいところだからです。3つの箱はそれぞれセンチメートル・メートル・ミリメートル・インチ・フィートを受け付け、答えはどちらもセンチメートルで返ります。体積は3乗、表面積は2乗です。だからインチで測った箱の体積を立方インチで読むには16.387064で割る必要があり、2.54でも6.4516でもありません。体積の換算は長さの係数の3乗で、長さの係数をそのまま使うのが注意すべき間違いです。3つの寸法はすべて埋めなければなりません。2つを入れて3つ目を求める形にはなっておらず、形を選ぶドロップダウンもありません。これは直方体であり、直方体だけです。円柱・円錐・球なら別のページです。丸い水槽なら、水槽のページが同じ3つの測定を受け取り、リットルと米ガロンで答えます。出力の順番について1つ。体積が1行目、表面積が2行目で、どちらを目当てに来たかは関係ありません。このページが体積の名を冠しているからで、体積のほうが誰でも知っている単一の式を持ち、表面積は調べなければならない側だからです。

よくある箱：3つの辺の長さから求めた体積と表面積

長さ（cm）幅（cm）高さ（cm）体積（cm³）表面積（cm²）
11116
3456094
54480112
6810480376
1010101000600
1286576432
20151030001300
0.50.50.50.1251.5

8つの箱と5つの列で、3つの寸法が入り、2つの値が出てきます。2行目と4行目がこのページの要点を運ぶ組です。3・4・5を2倍にして6・8・10にすると、体積は60から480へ、表面積は94から376へしか増えません。3行目はこのページが読み込まれるときの組、5・4・4で、表面積のページが角柱の選択肢で計算している例でもあり、どちらも112になります。1行目は単位立方体で、体積1・表面積6。いちばん小さな箱で、表面の数値を読むときに頭に置いておくと役立ちます。5行目は体積1,000の立方体、6行目と7行目は平たく長い箱で、体積はそれぞれ576と3,000です。立方体と並べると、箱は大きさだけでなく形にも払うことが見えます。6行目は576立方センチメートルを432平方センチメートルの表面で包んでいて、1立方センチメートルあたり0.75平方センチメートル、立方体は0.6です。立方体がいちばん経済的な箱で、そこから離れるほど段ボールが余分に要ります。最後の行は0.5cmの立方体で、体積は0.125。表示の4桁まで丸めたのではなく、計算が正確なのでそのまま書かれています。

公式

体積 = 長さ × 幅 × 高さ、表面積 = 2 × (長さ × 幅 + 長さ × 高さ + 幅 × 高さ)

長さ
箱の長さで、単位はcmです。3つの辺のどれでも構いません。残りの2つが幅と高さになります。直方体は、どの名をどの辺に付けるかを気にしません。
幅
幅で、単位はcmです。長さと組になって、箱が立っている面である底面の長方形を決めます。
高さ
高さで、単位はcm。箱が底面からどれだけ立ち上がっているかです。3つ目の方向で、面積を持つ長方形を、体積を持つ立体に変えるのがこれです。
体積
3つの長さを掛けたものです。1辺1cmの立方体がいくつ入るか、つまり立方センチメートルとは何か、そのものです。
長さ × 幅、長さ × 高さ、幅 × 高さ
6つの面のうち、違う3つの長方形です。底面と正面と側面にあたります。残りの3つの面は同じ3つの長方形がもう一度出てきたもので、表面積の式が6つの面積を別々に足さなくてよいのはこのためです。
表面積
平方センチメートルで表した表面積です。係数の2は、箱の向かい合う面が同じであることを表しています。6つの面を全部足して、しかもそれぞれを2回数えてしまうときに抜け落ちるのがこの段です。
小数第4位
表示の幅です。3つの長さが正確ならどちらの値も正確なので、小数第4位は近似の印ではなく表示の幅にすぎません。0.125はそのまま全部書かれます。

梱包と発送が最もわかりやすい例です。荷物の体積は運送会社が料金を決める基準で、表面積は箱を作るのに要る段ボールです。企業が箱のサイズを決める前に必要な2つの数で、体積は品物が入るかどうかも決めます。2つ目は収納です。木箱、引き出し、収納ボックス、ファイルボックス、棚がどれだけ入るか、そしてその外側が壁のどれだけを占めるか。3つ目は材料です。表面積は、箱に塗る・包む・裏打ちする・粉体塗装する・覆う面積なので、平方メートル単位で見積もる仕事はこの式から始まります。体積のほうは、中身を体積で売る場合にどれだけ詰めるかです。建築や土木では、長方形のフーチングのコンクリート、長方形の掘削の残土、長方形の水槽や池の水、長方形の花壇の土——どれもこの1回の掛け算で、実際に間違えるのは3つの寸法を同じ単位にそろえるところです。製造では、削り出す塊の材料、ホッパーの容量、加工前のビレットの体積です。科学では、直方体に切り出せるものの密度——密度は質量を体積で割ったものなので——や、試料セルや長方形の試験片の体積です。教室では、体積と表面積が同じ3つの数から出てくる別の量だと示す実演そのものです。1cmの立方体で箱を組み、体積のために立方体を数え、表面のために外側の正方形を数える。箱を2倍にしたときに2つの数え方が違う割合で増えることが、この授業の全部です。そして日常の計算では、家具が戸口を通るか、盛り土の花壇にどれだけ土が要るか、戸棚の箱が入れようとしているものに入るかどうかです。

計算例

  1. 5 × 4 × 4の箱

    1. 底面の長方形：5 × 4 = 20
    2. 残り2つの長方形：5 × 4 = 20、4 × 4 = 16
    3. 3つを足して2倍：2 × (20 + 20 + 16) = 112平方センチメートル
    4. 3つの長さを掛ける：5 × 4 × 4 = 80立方センチメートル

    このページが読み込まれるときの寸法で、表面積のページが角柱の選択肢で使っている例でもあります。どちらのページも112を印字します。確かめる価値があります。2つのページは違う道筋でこの数に着き、食い違えばどちらかに不具合があることになるからです。3つの寸法のうち2つが等しいので、3種類の面のうち2つが同じ長方形になっています。

  2. 3 × 4 × 5の箱

    1. 3つの長方形：3 × 4 = 12、3 × 5 = 15、4 × 5 = 20
    2. 足して2倍：2 × (12 + 15 + 20) = 94平方センチメートル
    3. 3つを掛ける：3 × 4 × 5 = 60立方センチメートル

    定番の寸法で、次の行と並べて見るべき組です。すべての辺を2倍にすると、単に大きな箱になるのではなく、答えの形が変わります。この行は、このページが本当に言いたいことの小さいほうの半分です。

  3. 同じ箱を2倍にしたもの：6 × 8 × 10

    1. 3つの長方形：6 × 8 = 48、6 × 10 = 60、8 × 10 = 80
    2. 足して2倍：2 × (48 + 60 + 80) = 376平方センチメートル
    3. 3つを掛ける：6 × 8 × 10 = 480立方センチメートル

    すべての辺を2倍にしたので、表面積は前の行の94の4倍、体積は60の8倍です。これがこのページでいちばん役に立つ事実です。箱を2倍にしても、入る量も材料も2倍にはならず、しかも両者は同じ割合では増えません。大きな容器のほうが1リットルあたり安い理由がこれです。

  4. 12 × 8 × 6の箱

    1. 3つの長方形：12 × 8 = 96、12 × 6 = 72、8 × 6 = 48
    2. 足して2倍：2 × (96 + 72 + 48) = 432平方センチメートル
    3. 3つを掛ける：12 × 8 × 6 = 576立方センチメートル

    平たく長い箱で、表の立方体と比べる行です。576立方センチメートル入って、表面は432平方センチメートル。入る1立方センチメートルあたり0.75平方センチメートルの段ボールです。立方体は1,000入って600、つまり0.6です。同じ体積の箱のうち、表面積がいちばん小さいのは立方体で、そこから外れるほど材料がかさみます。立方体のカートンが効率的なのはこれが理由で、同じ容量の平たい箱はそうではありません。

  5. 高さのない箱：5 × 5 × 0

    1. 3つの長方形：5 × 5 = 25、5 × 0 = 0、5 × 0 = 0
    2. 足して2倍：2 × (25 + 0 + 0) = 50平方センチメートル
    3. 3つを掛ける：5 × 5 × 0 = 0立方センチメートル

    平らに潰れた箱です。体積は0で、これは正しく、ページが答えられなかったのではありません。表面積は0ではなく50で、残っている2つの面の分です。3つの箱のどれに入れても0は合法な値です。0を測ることも測定で、手がかりが何もないのは、箱を空欄のままにした場合だけです。

適用限界

このページが計算するのは直方体だけで、それ以外ではありません。円柱・円錐・球・角錐・不規則な立体は扱わず、体積から逆算して足りない辺を求めることもできません。3つの寸法はすべて必須で、どれも負の値にはできません。どちらの答えもセンチメートル系で返ります。体積は3乗、表面積は2乗です。それぞれの箱にどの単位が設定されていても同じで、換算は入ってくる途中で行われるからです。だからインチで測った箱の体積を立方インチで読むには16.387064で割る必要があります。体積の換算は長さの係数の3乗で、長さや面積と同じつもりで2.54や6.4516で割るのが避けるべき間違いです。箱の中心を通る対角線の出力はありません。画面の仕様から連想される対角線は面の対角線で、それは別の長さです。角が丸い箱、上ぶたのない箱、材料の厚みも扱いません。上ぶたのない箱はここに印字されるより少ない材料で済み、その差は省いた面1つ分です。小数第4位は表示の幅で、3つの入力が正確なら計算そのものも正確です。だから0.125のような値は丸められず、そのまま書かれます。立方センチメートルとリットルの換算もここにはありません。それが目的なら、水槽のページが同じ3つの測定を受け取り、リットルと米ガロンで答えます。

よくある質問

すべての辺を2倍にすると体積が8倍になるのはなぜか
3つの長さがそれぞれ2倍になり、それらを掛け合わせるので、2という係数が3回入るからです。2 × 2 × 2で8になります。表面積は2回しか2倍にならず、4倍で止まります。面積は長さ2つの積だからです。この差があるので、大きな容器ははるかにたくさん入るのに材料の割合は少なくて済み、同じ形の小さな箱が縮小版の割安になることはありません。
インチで入れたのに体積が立方センチメートルなのはなぜか
換算が出口ではなく入り口で行われるからです。入力したインチはセンチメートルに変換され、どちらの答えもセンチメートルで返ります。体積を立方インチで読むには16.387064で割ってください。これは2.54の3乗です。長さと同じつもりで2.54で割ると、約40倍ずれた答えになります。
3つの箱のどれが高さか
垂直として扱っているものならどれでも構いません。体積も表面積も3つに対して対称なので、直方体はどの名をどの辺に付けるかを気にしません。このページの高さは、水槽や人の背ではなく図形の高さの意味で使っていますが、2つを入れ替えても計算は変わりません。
水槽の体積のページと同じか
幾何学は同じで、3つの測定も同じ3つですが、答えは同じではありません。あちらは図形を容器として扱い、リットルと米ガロンで答え、水槽として無理のない寸法までに制限しています。こちらは図形を幾何学上の立体として扱い、立方センチメートルと表面積で答えます。箱が入れ物ではなく材料の塊であるときには、こちらが欲しい答えです。
表面積だけを求めたり、別の形を選んだりできるか
表面積のページは球・円錐・円柱・角柱を受け取り、外側の面積だけを返すので、この箱もほかの3つの図形と一緒に扱えます。その角柱の選択肢はこのページと同じ式で、両者は一致します。5 × 4 × 4の箱はどちらでも112です。1つの図形だけを、選ぶ手間なく求めたいなら、このページのほうが早道です。
箱の対角線がないのはなぜか
多くの人が思い浮かべる対角線、そしてこのサイトがほかの場所ですでに出している対角線は、平らな面を横切る対角線——画面の寸法として引用される値です。箱にはもう1つ、角から反対の角へ中心を通る対角線があり、長さも式も違います。それを単に「対角線」という名前で印字すると、2つのページのどちらかでラベルが嘘になるので、このページは出していません。

参考文献

関連する計算ツール

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