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円柱の体積計算

範囲：0 cm〜1,000,000,000 cm

範囲：0 cm〜1,000,000,000 cm

計算結果

113.10 cm³

体積

底面積
28.27 cm²
側面積
75.40 cm²
表面積
131.95 cm²

円柱の体積計算は、円の端の半径と、2つの端のあいだの高さを入れると、4つの数を返します。中の体積、片方の端の面積、曲面の側面の面積、そして両端を含めた全体の表面積です。豆の缶、給水タンク、コンクリートの柱、テープの巻き——どれも円柱で、必要な測定は巻尺で取れる半径と高さの2つだけです。上の直径と、横の高さです。計算は2本の式です。円柱の体積は、円の端の面積に高さを掛けたもので、π × 半径² × 高さになります。円柱の表面積は、2つの端と曲面を足したものです。端はそれぞれπ × 半径²で、側面を開くと、幅が端の円周で高さが円柱の高さの長方形になるので、2π × 半径 × 高さになります。足すと2π × 半径 × (半径 + 高さ)です。このページが底面積と側面積を合計とは別に出しているのは、思ったより大事なことです。タンクにどれだけ塗料が要るかは側面だけの問いで、端にどれだけ金属が要るかは底面積だけの問いです。合計しか出さないページだと、自分で分解しなければなりません。4つの出力のうち2つは、信じる前に一度見ておく価値があります。まず、入力の横のドロップダウンが何であっても、出力は立方センチメートルと平方センチメートルです。これは見落としではなく意図した選択で、4つの出力は固定の組であり、下の参考表も同じ単位で計算されているからです。入力をインチに変えても変わるのは「入ってくる数をどう読むか」だけで、答えの書き方は変わりません。インチで測ったなら、答えは自分で戻してください。体積は16.387で、面積は6.4516で割ります。そして表面積は、丸めていない半径から計算していて、上に印字されている2つの面積を足したものではありません。印字された底面積と印字された側面積を足すと、100分の1ずれることがあります。正しいのは印字された合計のほうで、このずれは「終わらない数を2回書き写したとき」に起きるものです。

よくある円柱と、その値

半径（cm）高さ（cm）体積（cm³）底面積（cm²）側面積（cm²）表面積（cm²）
512942.4878.54376.99534.07
34113.128.2775.4131.95
68904.78113.1301.59527.79
10103141.59314.16628.321256.64
2675.412.5775.4100.53
7.5203534.29176.71942.481295.91
113.143.146.2812.57
126.283.1412.5718.85

8本の円柱で、2行目がこのページが読み込まれるときの入力です。半径3・高さ4で、いちばん検算しやすい組です。1行目は幅広で低い円柱、半径5・高さ12で、942.48cm³すなわち0.942リットル入ります。半径が2倍になれば体積は4倍、高さが2倍なら2倍です——1行目と4行目を並べると、半径を5から10に倍にして高さを12から10に下げただけで、体積は約3.3倍になっています。πr²hの平方が効いているということです。3行目は半径6・高さ8の組です。4行目は誰もが描く形で、高さが半径に等しい円柱です。このとき側面積はちょうど底面積の2倍になります。「10」という数に特別な意味はなく、高さが半径に等しければどこでも成り立ちます。5行目は問い合わせる前に出会っておくべき偶然を運んでいます。半径2では体積と側面積がどちらも75.4になります。πr²h = 2πrhが成り立つのは半径2のときだけで、高さは関係ありません。7行目は高さが1の行で、体積と底面積が一致します。1を掛けても何も変わらないからです。6行目は背の高い細い円柱で、半径7.5・高さ20、3.53リットルあまり。最後の行は7行目の半径をそのままに高さだけ2倍にしたもので、体積と側面積が2倍になり、底面積はそのままです。どの値もページの構築時に半径と高さからcmで計算し直したもので、小数点以下2桁は結果パネルと同じ2桁です。

公式

体積 = πr²h、底面積 = πr²、側面積 = 2πrh、表面積 = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

半径
端の円の中心から縁までの距離で、単位はcmです。直径の半分なので、上を渡って測った円柱はまず2で割ります。0も許され、その場合の円柱は幅を持たず、4つの出力はすべて0になります。
高さ
2つの円の端のあいだの垂直距離で、単位はcmです。曲面を横切って反対の縁まで測った距離ではありません。そちらは回り込むぶん長く、使うと体積を大きく見積もってしまいます。
体積
円柱の中の空間で、単位はcm³。片方の端の面積に高さを掛けたものです。1cm³は1mLなので、この単位の体積は1,000で割るとそのままリットルになります。
底面積
片方の円の端の面積で、単位はcm²、π × 半径²です。両端は同じ大きさなので、これは2つ合わせた面積ではなく、どちらか片方の面積です。
側面積
曲面だけの面積で、単位はcm²。開くと、高さhと幅2πrの長方形になります。式がそうなっている理由がここにあり、高さと円周がどちらも式中に出てくるわけがこれで見えます。
表面積
2つの端と曲面を足したもので、単位はcm²。体積と近い関係にありますが比例はしません。高さを2倍にすると両方2倍になり、半径を2倍にすると体積は4倍、表面積は4倍未満になります。
π
円周と直径の比で、およそ3.14159。このページは短くした値ではなく倍精度の値をそのまま使うので、3.14で手計算すると最後の桁でずれます。
小数第2位
すべての出力の表示桁数です。4桁ではなく2桁なのは、これが実物の物理的な測定だからです。物差しで測った半径はそれ自体が3桁目より不確かで、それ以上の桁を印字すると入力が持っていない精度を主張することになります。

このページは同じ2つの入力で、性格の違う2種類の問いに答えます。1つ目は容量です。タンク、ドラム缶、パイプ、缶にどれだけ入るか。それが体積で、円柱の体積は半径の2乗で増えることを知っておく価値があります。2倍の太さのタンクは4倍入り、2倍の高さなら2倍しか入りません。狭い場所では太いタンクが有利な理由です。2つ目は材料です。缶に必要な板金、柱に塗るペンキ、ロールに要る包装。それらは表面積で、端と側面はふつう別に手配するので、ページは両者を分けています。側面積は人を驚かせるほうでもあります。側面を長方形に開くことは、一度やるまで自明ではありません。半径5・高さ12の円柱の側面は、幅31.4cm・高さ12cmの長方形に開きます。持ち歩く価値のある換算が1つあります。cm³の体積はmLの体積なので、942.48cm³の円柱は0.942リットル入ります。段は1,000で割るだけです。

計算例

  1. 半径3・高さ4

    1. 底面積：π × 3 × 3 = 28.274333…、小数第2位に丸めると28.27
    2. 体積：28.274333… × 4 = 113.097335…、丸めると113.1
    3. 側面積：2 × π × 3 × 4 = 75.398223…、丸めると75.4
    4. 表面積：2 × 28.274333… + 75.398223… = 131.946891…、丸めると131.95

    このページが読み込まれるときの入力です。同じ半径3・高さ4で、円錐のページは体積37.7を返します。こちらの113.1はそのちょうど3倍です。円錐は、ちょうど収まる円柱の3分の1だからです。2つのページを並べて読むと、この一致が間違いに見えなくなります。電卓が要らない検算も1つあります。半径3の端はおよそ28cm²で、それを4段重ねるとおよそ113になります。

  2. 半径5・高さ12

    1. 底面積：π × 5 × 5 = 78.539816…、丸めると78.54
    2. 体積：78.539816… × 12 = 942.477796…、丸めると942.48
    3. 側面積：2 × π × 5 × 12 = 376.991118…、丸めると376.99
    4. 表面積：2 × 78.539816… + 376.991118… = 534.070751…、丸めると534.07

    1本だけ覚えるならこれ、という行です。側面が長方形に開く様子が目に浮かびます。2π × 5で円周は31.4159cm、幅31.4159・高さ12の長方形は376.99cm²で、これが側面積です。ミリリットルでいうと942.48なので、この円柱は1リットルを少し下回ります。高さを24にすると体積と側面積は2倍になりますが、底面積は78.54のままです。どの出力がどの入力に比例するかがいちばんきれいに見える行です。

  3. 半径10・高さ10

    1. 底面積：π × 10 × 10 = 314.159265…、丸めると314.16
    2. 体積：314.159265… × 10 = 3141.592654…、丸めると3141.59
    3. 側面積：2 × π × 10 × 10 = 628.318531…、丸めると628.32
    4. 表面積：2 × 314.159265… + 628.318531… = 1256.637061…、丸めると1256.64

    高さと直径が同じ円柱で、円柱を描いてと言われたときに多くの人が描く形です。体積は1,000πで、1cm³は1mLなので3.14リットルになります。ここでは側面積がちょうど底面積の2倍になっています。これは高さが半径に等しいことの帰結で、「10」という数に特別な意味はありません。半径と高さが等しければどこでも同じことが起きます。

  4. 半径2・高さ6

    1. 底面積：π × 2 × 2 = 12.566370…、丸めると12.57
    2. 体積：12.566370… × 6 = 75.398223…、丸めると75.4
    3. 側面積：2 × π × 2 × 6 = 75.398223…、丸めると75.4
    4. 表面積：2 × 12.566370… + 75.398223… = 100.530964…、丸めると100.53

    2つの出力が等しくなる行です。体積と側面積がどちらも75.4になります。打ち間違いでも特別な場合でもありません。πr²h = 2πrhを解くと、高さに関係なく半径2だけが残ります。つまりこの半径では、どんな高さでも体積と側面積が同じ数になります。単位は立方と平方で違いますから、一致しているのは数値だけです。読者が結果パネルで見つけて問い合わせてくる類のものなので、先にここで出会っておくほうがよいのです。

  5. 半径1・高さ1

    1. 底面積：π × 1 × 1 = 3.141592、丸めると3.14
    2. 体積：3.141592 × 1 = 3.141592、丸めると3.14
    3. 側面積：2 × π × 1 × 1 = 6.283185…、丸めると6.28
    4. 表面積：2 × 3.141592 + 6.283185… = 12.566370…、丸めると12.57

    同じ偶然が別の列の組で起きます。高さが1だと体積と底面積が等しくなります。1を掛けても何も変わらないからです。これもどの半径でも成り立ち、やはり一致するのは数値だけで単位は違います。前の行と合わせると、覚えておく価値のあることが言えます。表の2つの列が一致したら、まずその入力がそうなる値をたまたま取っていないかを疑い、次にその2つの列がそもそも同じ種類の量なのかを疑う——この順で見るのが正解です。

適用限界

出力は、入力のドロップダウンが何であっても、いつも立方センチメートルと平方センチメートルです。インチを選んでも変わるのは入ってくる2つの数の読み方だけで、答えの出し方は変わりません。2インチ×3インチと入れた円柱は38.61cm³で返ってくるので、戻すのは自分でやることになります。これは意図したもので、参考表も同じ規則に従っているので、ページが自分と矛盾することはありません。半径と高さは半径と垂直の高さとして読まれ、測ったのが直径なのか曲面を横切った距離なのかをページは知りません。どちらもそのまま入り、もっともらしい間違った答えを出します。小数第2位は表示の幅であって精度の主張ではありません。これは実物の測定で、最後の桁は入力が厳密な値のとき以外は意味を持ちません。表面積は丸めていない半径から計算しているので、印字された底面積と印字された側面積を足したものは、印字された合計と100分の1ずれることがあります。信じるべきは印字された合計のほうです。このページは円柱が両端で閉じていると仮定しています。パイプや開いた缶の表面積はここに出る数より小さく、その差はちょうど底面積1つ分です。肉厚も考慮していないので、タンクの容量は内側の体積、材料は外側の表面積という、ドロップダウンでは同時に表せない2つの測定になります。

よくある質問

どの2つを測ればよいか
円の端の半径と、2つの端のあいだの垂直の高さです。半径は端を渡った距離の半分なので、上を渡って10cmの缶は5になります。高さは曲面を横切るのではなく、まっすぐ横を測ります。この違いは効きます。半径5・高さ12ではまっすぐな距離は12ですが、外側を回る最短の道はもっと長く、長いほうを使うと体積を大きく見積もってしまいます。
インチで入れたのに答えがセンチメートルなのはなぜか
4つの出力がセンチメートルの固定の組になっていて、結果パネルと下の参考表がいつも一致するように選ばれているからです。ドロップダウンが変えるのは入ってくる数の読み方で、答えの書き方ではありません。自分の単位で答えが要るなら、体積を16.387で割れば立方インチ、3つの面積を6.4516で割れば平方インチになります。
側面積と表面積の違いは何か
側面積は曲面だけです。表面積は曲面に2つの円の端を足したものです。閉じた円柱なら表面積、パイプや開いたドラムのように端がないものなら側面積を使います。このページは底面積も含めて3つとも印字するので、端についての問いにも何も引かずに答えられます。
体積をリットルにするにはどうするか
1,000で割ります。1cm³は1mLで、1,000mLが1リットルなので、942.48cm³の体積は0.942リットルです。この換算はどちらの向きも厳密で、このページに容量モードが要らない理由でもあります。ミリリットルはもともと立方センチメートルとして定義されたからです。
体積と側面積が同じ数になるのはなぜか
半径が2のときだけです。体積πr²hと側面積2πrhを等しいと置いて約分すると、高さに関係なくr = 2が残るので、その半径ではどの行でも2つの列が一致します。高さが1のときの体積と底面積も同じことです。一致しているのは値だけで、片方は体積、片方は面積で、単位が違います。
パイプや開いた缶にも使えるか
体積と側面積には使えますし、パイプや開いた缶が実際に必要とするのはその2つです。表面積は両端が閉じている前提なので、開いた容器では底面積を1つ引いてください。肉厚も考慮していないので、タンクの容量は内側の測定、材料は外側の測定になり、2つは別の半径が要ることになります。

参考文献

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