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球の体積計算

範囲：0 cm〜1,000,000,000 cm

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計算結果

523.5988 cm³

体積

球の体積計算ツールは、球の半径・直径・円周のうちどれか1つを受け取り、その球が占める空間の量を立方センチメートルで返します。隣の球の計算のページから他のすべてを削ぎ落とした形です。あちらは同じ3つの入力を受け取って5つの問いに一度に答えますが、こちらは実際に人が知りたくて来る1つ、つまり球がどれだけ入るか、どれだけ押しのけるか、どれだけの材料でできているかに答えます。体積の公式は3分の4にπを掛け、半径を3乗したものを掛けた形です。この形には少し見る価値があります。この一群の体積の式はほとんどが底面積に高さを掛けた形です。ほとんどすべての立体は平らな層に切って積み上げられるからです。球はそれができません。層はどの高さでも大きさが変わり、真ん中あたりの層は広く、極の近くの層はごく小さくなります。それを足し上げるために生まれたのが微積分です。3分の4はその和が行き着く先で、覚え方として満足できるのは、それが球をちょうど包むいちばん小さな円筒の3分の2にする数だという点です。アルキメデスがこれを導き、墓に球と円筒を刻ませたと伝わっています。もう一つ知っておく価値があるのは、この数が増える速さです。体積は半径の3乗で増えるので、球を2倍にすると体積は8倍、3倍にすると27倍になります。直径を少し変えただけでタンクに入る量が大きく変わる理由であり、ここの答えがすぐ非常に大きな数になり得る理由でもあります。

球が占める空間、3つの測定それぞれから入ったもの

入力半径（cm）直径（cm）体積（cm³）
r510523.5988
d612904.7787
C3.18316.3662135.0949
r10204188.7902
r124.1888
r0.510.5236
r000
d50100523598.7756

球が8つで列が4つ、隣の球のページより2列狭くなっています。あちらは同じ3つの入力を印字したうえで表面積と円周も返します。1列目はどの箱を埋めたかを示します。半径と直径がどの行にも印字されているので、これが無いと表が読めません。1行目はこのページの初期値で、4行目はそれと比べる価値のある行です。半径5と半径10で、半径が2倍になると体積は523.5988から4,188.7902へ、8倍になります。3乗の法則が1歩で見えます。3行目は自分で計算するつもりなら読む行です。円周20として入れると体積は135.0949ですが、隣に印字された丸め後の半径3.1831を3乗すると135.0950になります。5行目は単位球で、体積は4πを3で割ったもの、同じ球について球のページが返す表面積は4πです。数値の上ではその3分の1にあたります。7行目は半径0で、球は何も抱えず、その答えは欠落ではなく実在します。最後の行は直径100で、体積は50万立方センチメートルを超えます。0.5立方メートルの球で、この量が日常の単位の範囲をどれだけ速く離れていくかを思わせます。なお、表の中の数は計算結果をそのまま出しているので、4桁以上の数にも3桁ごとの区切りは入っていません。ここにある数はどれも、ページを組み立てるときに入力されたその1つの量からセンチメートルで再計算したもので、4桁の小数は結果パネルが使うのと同じ4桁です。

公式

V = 4⁄3 × πr³ r = d ÷ 2 r = C ÷ 2π

半径
中心から表面までの距離（センチメートル）。体積が本当に依っている唯一の数で、残り2つの箱はそこへたどり着く別の道にすぎません
直径
真ん中をまっすぐ通した距離（センチメートル）で、このページはこれを2で割って半径にします。球が目の前にあって物差しを渡すのがいちばん楽なときに使う箱です
円周
いちばん太いところを一周した長さ（センチメートル）で、このページはこれを2πで割って半径にします。外側に巻き尺を回すことしかできないときに使う箱です
体積
球が占める空間の量（立方センチメートル）。このページ唯一の出力で、ここにある量の中で大きさそのものではなく大きさの3乗で増えるのはこれだけです
4⁄3 πr³
公式そのもので、意味を持っているのは3分の4の部分です。球をちょうど包む円筒の3分の2にする数で、算術の気まぐれではなく球についての事実です
r³
半径の3乗で、このページが控えめな入力から大きな数を出せる理由です。半径を2倍にすると体積は8倍になります。それがビー玉でも惑星でも同じように成り立ちます
小数第4位
読みを書く桁幅。体積は常にπと3乗を含むので、半径が0でない限り正確にはなりません。4桁は精度の主張ではなく表示幅です

このページは容量・押しのけた量・材料のためのもので、その3つで球に求められることのほとんどを覆います。容量なら、球形のタンクやガスホルダーや給水塔にどれだけ入るか、サッカーボールにどれだけ空気が入るか、アイスクリームの1スクープがどれだけ出るかです。押しのけた量なら、浮きや船体がどれだけの水を押しのけるかで、これは体積そのものであり、浮くかどうかとどれだけ載せられるかを決めます。材料なら、軸受の球にどれだけ鋼が入っているか、ドームを埋めるのにどれだけのコンクリートが要るか、密度が分かっているときパン生地や粘土の球がどれだけの重さになるかです。ここにある体積の公式は、球に近いだけのものにもよく使われますし、その近似で足りることが普通です。卵、液滴、雹、赤道が少し膨らんだ惑星などです。逆向きの使い方もあります。容器が入れなければならない体積が先に決まっているとき、球をどれだけ大きくすればよいかを教えるのがこのページです。両者の間にあるのは立方根だけです。

計算例

  1. 半径5cmの球

    1. 半径を3乗する：5³ = 125
    2. πと3分の4を掛ける：(4 ÷ 3) × π × 125 = 500π ÷ 3
    3. 500π ÷ 3 = 523.5987…、四捨五入して523.5988

    このページの初期値で、公式を確かめる行です。体積は500πを3で割ったものなので、全体がπのきれいな倍数になっています。5センチメートルはテニスボールより少し小さいくらいで、答えが0.5リットルを少し超えるというのは感覚をつかんでおく価値があります。レシピや小さな容器が扱うのはそのくらいの量だからです。

  2. 直径12cmの球

    1. 半径：12 ÷ 2 = 6
    2. 半径を3乗する：6³ = 216
    3. πと3分の4を掛ける：(4 ÷ 3) × π × 216 = 288π
    4. 288π = 904.7786…、四捨五入して904.7787

    球が手元にあるときに頼る入力です。真ん中に物差しを渡して出るのが直径で、ほとんどの球はそうやって表されます。答えは288πで、またπの整数倍になりました。半径が整数になるときはいつもそうなります。すぐ上の行と比べてください。半径が5から6へ5分の1増えただけで、体積は523.5988から904.7787へ、3分の2以上増えています。

  3. 赤道を測った球

    1. 半径：20 ÷ (2π) = 3.1830988…
    2. 半径を3乗する：3.1830988…³ = 32.2519…
    3. πと3分の4を掛ける：(4 ÷ 3) × π × 32.2519… = 4,000 ÷ 3π²
    4. 4,000 ÷ 3π² = 135.0948…、四捨五入して135.0949

    自分でこの計算をやるつもりなら読む行です。早く丸めると壊れるのはここだからです。球のページはこの球の半径を3.1831として印字していて、それは正確に見えて正確ではありません。これを3乗して掛けていくと135.0950になります。このページは135.0949を返し、ページのほうが正しいのです。真の答えは入力した20に属し、表示されている丸め後の半径には属しません。違いは最後の桁だけで、それは見直しをすり抜ける種類の誤りです。

  4. 半径1cmの球

    1. 半径を3乗する：1³ = 1
    2. πと3分の4を掛ける：(4 ÷ 3) × π × 1 = 4π ÷ 3
    3. 4π ÷ 3 = 4.18879…、四捨五入して4.1888

    単位球で、3分の4が何なのかがいちばんよく出る行です。体積は4πを3で割ったもので、同じ球について球のページが印字する表面積は4πです。数値の上では体積が表面積の3分の1になっています。半径が1という偶然の産物であって一般則ではありませんが、覚えておくと便利な数の組で、2つの式を見分けやすくしてくれます。

  5. 半径0の球

    1. 半径を3乗する：0³ = 0
    2. πと3分の4を掛ける：(4 ÷ 3) × π × 0 = 0

    大きさのない球は1点で、何も入りません。0は空欄ではなく正規の入力なので、これは本物の答えです。このページは、3つの箱をすべて空にした状態とは区別しています。そちらは結果がまったく出ません。手がかりが何も無いからです。

適用限界

このページは球専用です。表面のどの点も中心から同じ距離にある立体だけを扱います。卵もラグビーボールも少し潰れた惑星も球ではありませんし、半球も違います。半球は球を半分に切った形で、ここで計算する体積のちょうど半分が入りますが、表面積は半分ではありません。体積は入力できないので、容量で示された球はまずどこかで半径に戻す必要があります。読みはドロップダウンが何であれ立方センチメートルなので、インチで入れた直径はセンチメートルの答えで返り、換算は自分ですることになります。しかも体積なので、換算は3乗になります。立方インチから立方センチメートルへは約16.4倍で、2.54倍ではありません。小数第4位は表示幅であって精度の主張ではありません。体積は常にπと3乗の両方を含むからです。埋めてよい箱は1つだけで、2つ同時は黙って解決せずに拒否します。中空の殻の壁の厚み、球の材質、重さは扱いませんし、表面積も出しません。同じ3つの入力で体積と並べてそれを印字するのは隣の球のページです。

よくある質問

球の計算のページとは何が違うのか
入力は同じです。3つの箱も、ちょうど1つを埋めるという決まりも同じです。違うのは返ってくるものです。球のページは体積・表面積・3つの長さの5つを印字します。このページは体積だけを印字します。たいていの人が求めて来るのがそれで、他を削ると画面に残るのはそれだけになるからです。
体積が直径よりずっと速く増えるのはなぜか
体積が半径の3乗で増えるのに対し、直径は半径そのもので増えるからです。球の直径を2倍にすると体積は8倍、3倍にすると27倍になります。タンクの大きさを少し変えただけで入る量が大きく変わる理由であり、見た目は控えめな入力からとても大きな答えが出る理由でもあります。
3分の4はどこから来るのか
球をちょうど包むいちばん小さな円筒、つまり半径が同じで高さが半径の2倍の円筒の、3分の2にする数だからです。アルキメデスがこれを証明し、墓に球と円筒を刻ませたと伝わっています。式に分数が入っている理由でもあります。球は平らな層の積み重ねではなく、曲がった層を足し上げる微積分が3分の4を生みます。
自分で計算すると135.0950になるが、どちらが正しいのか
ページのほうが正しいです。この球の半径はπ分の10、つまり3.1830988…で、画面に印字されている半径は3.1831に丸められています。丸めた数を3乗することが135.0950を生みます。違いは最後の桁だけで、すべて早く丸めたことから来ています。真の答えは入力した数に属し、このページは最後まで正確な半径を内部に保っています。
体積から半径を戻せるか
このページではできません。体積は出力であって入力ではないからです。体積の3倍を4πで割ったものの立方根が半径なので、原理的には可能ですが別の操作であり、このページはそれをしません。容器が入れなければならない量が決まっていて、それにはどれだけの球が要るのかを知りたいときは、別に計算することになります。
答えはリットルになるのか
このページは立方センチメートルで印字します。1,000立方センチメートルが1リットルなので、523.5988立方センチメートルはおよそ0.524リットルで、1ミリリットルは1立方センチメートルです。大きい球では数がすぐ大きくなります。直径1メートルの球は0.5立方メートルを超え、500リットル以上になります。単位のドロップダウンが変えるのは入力する数であって、出てくる数の単位ではありません。

参考文献

関連する計算ツール

球の計算半径・直径・円周のどれかから体積と表面積を計算。円柱の体積計算円柱の体積と底面・側面の面積を計算。円錐の体積計算円錐の体積・斜高・表面積を求める。円の計算半径・直径・円周・面積をどれか1つから計算。