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球の計算

範囲：0 cm〜1,000,000,000 cm

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計算結果

523.5988 cm³

体積

表面積
314.1593 cm²
半径
5.0000 cm
直径
10.0000 cm
円周
31.4159 cm

球の計算ツールは、球の半径・直径・円周のうちどれか1つを受け取り、体積・表面積・そしてその3つの長さを返します。入力欄の形には見ておく価値があります。埋めるのは1つだけで、このページはどれを埋めてもそこから計算します。3つの長さは同じ球を別の服で表しただけの同じ測定だからです。赤道に沿って測っても、中心から表面まで測っても、球の説明としては同じだけのことが言えます。対称でないのは反対向きのほうです。円の4つの量は対等で、隣の円のページはどれからでも始められます。球はそうではありません。体積と表面積は計算して出すもので、入れるものではないからです。体積から逆にたどるには立方根が要り、面積からたどるには平方根が要りますし、そのどちらの問いにもすでに専用のページがあります。だからこのページは箱が3つで読みが5つあり、増えた2つの読みこそがこのページの要点です。体積は球が抱えたり押しのけたりする量で、サッカーボールにどれだけ空気が入るか、球形のタンクにどれだけ水が入るか、軸受の球がどれだけの材料でできているかです。表面積はその球が持つ皮の量で、どれだけ塗料が要るか、どれだけ革が要るか、どれだけめっきが要るかです。この2つが球を3次元の物体にしていて、隣り合う平らな図形のページには比べる相手がありません。

よく使う球、3つの測定それぞれから入ったもの

入力半径（cm）直径（cm）円周（cm）表面積（cm²）体積（cm³）
r51031.4159314.1593523.5988
d61237.6991452.3893904.7787
C3.18316.366220127.324135.0949
r102062.83191256.63714188.7902
r126.283212.56644.1888
r0.513.14163.14160.5236
r00000
d50100314.159331415.9265523598.7756

球が8つ、1列目は3つの箱のどれを埋めたかを示します。5つの数がどの行にも印字されているので、これが無いと表が読めません。最初の3行は意図的に3通りの入り口から入っています。半径5cm、直径12cm、円周20cmで、3つの入り口が並んで見えるようにしてあります。1行目はこのページの初期値で、その円周31.4159は円のページが半径5に対して印字する値とちょうど同じです。円周は平らに描いても球に巻いても同じだからです。3行目は自分で計算するつもりなら読む行です。円周20として入れると体積は135.0949ですが、隣に印字された丸め後の半径3.1831を3乗すると135.0950になります。最後の桁だけが違い、ページのほうが正しいのです。真の答えは入力した20に属し、表示されている丸め後の半径には属しません。4行目は半径10で、1行目と並べて読む行です。半径が2倍になると体積は523.5988から4,188.7902へ、ちょうど8倍になります。3乗の法則が1歩で見えます。5行目は単位球で、表面積は4π、体積は4πを3で割ったものです。6行目は立ち止まる価値のある一致で、半径2分の1では表面積と円周がどちらも3.1416になります。4πr²と2πrがちょうどそこで交わるからです。7行目は半径0で、どの列も0になり、その答えは欠落ではなく実在します。最後の行は直径100で1行目の半径の10倍にあたり、縮尺の関係がそこに見えます。半径が10倍なら円周も10倍、表面積は100倍、体積は1,000倍です。なお、表の中の数は計算結果をそのまま出しているので、4桁以上の数にも3桁ごとの区切りは入っていません。ここにある数はどれも、ページを組み立てるときに入力されたその1つの量からセンチメートルで再計算したもので、4桁の小数は結果パネルが使うのと同じ4桁です。

公式

V = 4⁄3 × πr³ A = 4πr² d = 2r C = 2πr

半径
中心から表面までの距離（センチメートル）。球が本当に依っている唯一の数で、このページの他のすべて、残り2つの入力も、これを言い換えたものです
直径
真ん中をまっすぐ通した距離（センチメートル）で、半径の2倍です。球が手元にあって物差しを渡せるならこれを使います。ほとんどの球はそうやって表されます
円周
いちばん太いところを一周した長さ（センチメートル）で、半径の2π倍です。巻き尺しか無く、外側を回すことしかできないときに使います。木の幹、管、大きすぎて向こう側に手が届かない球などです
体積
球が占める空間の量（立方センチメートル）。ここで半径の3乗で増えるのはこれだけで、球が大きくなるほど他の読みからどんどん離れていく理由です
表面積
球が持つ皮の量（平方センチメートル）で、同じ半径の円の面積の4倍です。その球をちょうど包む円筒の側面の面積とまったく同じでもあります
4⁄3 πr³
体積の式で、覚えておく価値があるのは3分の4の部分です。球はそれをちょうど包む円筒の3分の2を占めます。アルキメデスが自分の墓に刻ませたと伝わる結果です
4πr²
表面積で、体積の3分の4の隣に並ぶとただの4が目に留まります。同じ半径の平らな円4枚分の面積で、これは展開して見えるものではなく微積分から出てくる一致です
小数第4位
すべての読みを書く桁幅。正確になり得るのは半径と直径だけで、円周・表面積・体積はどれもπを含み、体積はさらに3乗も含むので、末尾の桁は精度の主張ではなく表示幅です

このページは3次元の丸いものすべてのためのもので、円のページより多く返す2つの読みが実物では効いてきます。体積は容量と押しのけた量のためです。サッカーボールにどれだけ空気が入るか、球形のタンクやガスホルダーにどれだけ入るか、材質が分かっているとき軸受の球がどれだけの重さになるか、浮きがどれだけの浮力を生むかです。表面積は球を覆うものすべてのためです。塗料、サッカーボールの革のパネル、軸受のめっき、液滴の冷却面、粒子の表面に載せる薬の量などです。逆向きの使い方もあり、それこそがいちばんよくある形です。球と巻き尺があって、手の届かない数が欲しいときです。巻き尺を赤道に回して円周を入れれば、球を割らずに直径と体積が出ます。木の幹や管や惑星の大きさは、まさにそうやって求められています。

計算例

  1. 半径5cmの球

    1. 直径：2 × 5 = 10
    2. 円周：2 × π × 5 = 10π = 31.4159…
    3. 表面積：4 × π × 5² = 100π = 314.1593…
    4. 体積：(4 ÷ 3) × π × 5³ = 500π ÷ 3 = 523.5987…、四捨五入して523.5988

    このページの初期値です。πを含む2つの読みはπの整数倍として読む価値があります。表面積は100π、体積は500πを3で割ったものです。この行は球の数を円のページと突き合わせられる行でもあります。この球の円周31.4159は、円のページが半径5に対して印字する値とちょうど同じです。円周は平らな紙の上に描いても球に巻いても同じだからです。3次元が顔を出すのは体積のほうです。

  2. 直径12cmの球

    1. 半径：12 ÷ 2 = 6
    2. 円周：2 × π × 6 = 12π = 37.6991…
    3. 表面積：4 × π × 6² = 144π = 452.3893…
    4. 体積：(4 ÷ 3) × π × 6³ = 288π = 904.7787…

    球が目の前にあるときの入力です。真ん中に物差しを渡して出るのが直径で、サッカーボールも軸受も惑星もそうやって表されます。ここにある数はどれもπの整数倍、12πと144πと288πです。半径が整数になるときはいつもそうなり、計算が合っていることの良い目印になります。

  3. 赤道を測った球

    1. 半径：20 ÷ (2π) = 3.1830988…、四捨五入して3.1831
    2. 直径：2 × 3.1830988… = 6.3661977…、四捨五入して6.3662
    3. 表面積：4 × π × 3.1830988…² = 400 ÷ π = 127.3239…、四捨五入して127.324
    4. 体積：(4 ÷ 3) × π × 3.1830988…³ = 4,000 ÷ 3π² = 135.0948…、四捨五入して135.0949

    自分でこの計算をやるつもりなら読むべき行です。早く丸めると痛い目に合う唯一の行だからです。上に印字されている半径は3.1831で、これはすでに丸められています。これを3乗すると体積は135.0950になり、ページが返す135.0949と1だけ違います。どちらも言い分はありますが正しいのは1つだけで、真の答えは入力した20に属します。3.1831はその表示であって、そのものではありません。木の幹や管のように巻き尺しか回せないものに使う入力でもあります。

  4. 半径2分の1の球

    1. 直径：2 × 0.5 = 1
    2. 円周：2 × π × 0.5 = π = 3.1416…
    3. 表面積：4 × π × 0.5² = π = 3.1416…
    4. 体積：(4 ÷ 3) × π × 0.5³ = π ÷ 6 = 0.5236…

    立ち止まる価値のある行です。円周と表面積が同じ3.1416になり、それは書き間違いではありません。2つの式は半径の2π倍と半径の2乗の4π倍で、半径2分の1で交わります。2πに2分の1を掛けても4πに4分の1を掛けてもπになるからです。この半径より下では表面積のほうが小さく、上では大きくなります。長さと面積がたまたま同じ単位で測られるときにしか出てこない種類の一致で、このページでは同じ単位なのです。

  5. 半径0の球

    1. 直径：2 × 0 = 0
    2. 円周：2 × π × 0 = 0
    3. 表面積：4 × π × 0² = 0
    4. 体積：(4 ÷ 3) × π × 0³ = 0

    大きさのない球は1点で、5つの読みがすべて0になります。0は空欄ではなく正規の入力なので、0の並んだ行は本物の答えです。このページは、3つの箱をすべて空にした状態とは区別しています。そちらは何も表示しません。手がかりが何も無いからです。

適用限界

このページは球専用です。表面のどの点も中心から同じ距離にある立体だけを扱います。卵もラグビーボールも地球そのものも球ではありませんし、半球も違います。半球は球を半分に切った形で、余分な平らな面が増え、その面積はここには含まれていません。体積と表面積は入力できません。答えであって入力ではないので、容量で示された球はまずどこかで半径に戻す必要があります。5つの読みはドロップダウンが何であれセンチメートル・平方センチメートル・立方センチメートルなので、インチで入れた直径はセンチメートルの答えで返り、換算は自分ですることになります。小数第4位は表示幅であって精度の主張ではありません。正確になり得るのは半径と直径だけで、残り3つはπを含み、体積はさらに3乗も含みます。読みは正確な半径から独立に丸められるので、このページに印字された値が隣に印字された別の値を再現しないことがあります。真の答えは入力した数に属します。埋めてよい箱は1つだけで、2つ同時は黙って解決せずに拒否します。半径5と直径10は同じ球ですが、半径5と直径12は違うからです。中空の殻の厚み、球の材質、重さは扱いません。

よくある質問

入力欄を1つしか埋められないのはなぜか
3つの箱が同じ球を表しているからです。半径・直径・円周は同じ1つの測定が別の服を着たもので、どれか1つを埋めればこのページはその球を把握します。2つ埋めた場合は、黙って片方を採用するのではなく拒否します。半径5と直径10は一致しますが、半径5と直径12は一致しないので、どちらを指したのかを正直に推測する方法が無いからです。
体積を入れて半径を出せないのはなぜか
それは別の問いで、掛け算ではなく立方根が要るからです。表面積を入れる場合も同じで、こちらは平方根が要ります。どちらももっともな要望ですが別の問題ですし、このページは3つの長さを入力に取ることで体積と面積を答えとして出せるようにしています。逆向きの計算には専用のページがあります。
表面積と円周が同じ数になったが間違いか
間違いではありません。半径2分の1では本当に等しくなります。円周は半径の2π倍、表面積は半径の2乗の4π倍で、半径が2分の1ならどちらもπになります。それより小さい半径では表面積のほうが円周より小さく、大きいと表面積のほうが大きくなります。別の種類の量なので、この等しさは数値的な一致であって、長さが面積に等しいという主張ではありません。
体積の式の3分の4はどこから来るのか
球をちょうど包む円筒の3分の2にする数だからです。アルキメデスがこれを導き、それだけの値打ちがあると考えて、墓に球と円筒を刻ませたと伝わっています。箱や角柱の式に比べて体積の式が重たく見える理由でもあります。曲面は平らな層を積んでも埋まらず、そこに微積分が要るからです。
手が回らない大きさの球にはどの測定を使うのか
円周です。巻き尺をいちばん太いところに回し、その数を円周の箱に入れると、直径と半径、それに体積と表面積が出ます。木の幹や管、大きすぎたり扱いにくすぎたりして向こう側まで測れないものの大きさを出す標準的な方法で、円周が単なる読みの1つではなく入力になっている理由でもあります。
答えは立方センチメートルか、リットルか
このページは立方センチメートルで印字します。換算はいつものとおりで、1,000立方センチメートルが1リットルなので、523.5988立方センチメートルはおよそ0.5236リットルです。もっと小さい量なら、1ミリリットルは1立方センチメートルと同じです。単位のドロップダウンが変えるのは入力する数であって、出てくる数の単位ではありません。

参考文献

関連する計算ツール

球の体積計算半径または直径から球の体積を計算。円の計算半径・直径・円周・面積をどれか1つから計算。表面積計算球・円錐・円柱・角柱の表面積を計算。円柱の体積計算円柱の体積と底面・側面の面積を計算。