表面積計算
計算結果
表面積
表面積計算ツールは、立体の外側の面積を求めます。それを覆うのにどれだけ材料が要るか、塗るのにどれだけ塗料が要るか、箱にするのにどれだけ段ボールが要るか、という量です。図形を選び、その図形が読む寸法を入力してください。球なら半径、円錐と円柱なら半径と高さ、直方体なら長さ・幅・高さです。返ってくるのは平方センチメートルで表した1つの数です。ここにある4つの立体は、学校や作業場の問いのほとんどを覆います。球は4πr²です。円錐はπr(r + l)で、母線lは半径rと高さhから三平方の定理で求める√(r² + h²)です。円柱は2πr(r + h)で、1つあたりπr²の底面が2つと、広げると長方形になる側面を足したものです。直方体は2(lw + lh + wh)で、3組の面の和の2倍、つまり長さ×幅、長さ×高さ、幅×高さです。4つの立体、4つの式で、どれがどれかは下の参考表に書いてあります。始める前に知っておくべきことがあります。4つの長さの欄は同時に画面に出ていて、図形を切り替えても値が入ったままです。これは見落としではなく意図した選択です。図形が使わない欄を隠す形にすると、考えが変わるたびに手の下で入力欄が動くことになり、欄は残すが無視する形にすると、入力した数を黙って捨てることになります。だからこのページはすべての欄をそのままの位置に置き、選んだ図形が必要とする欄だけを読みます。どれが必要かは単純です。球は半径だけを読み、円錐と円柱は半径と高さを読み、直方体は長さ・幅・高さを読みます。半径の欄は直方体には読まれず、長さと幅の欄はほかの3つには読まれません。読まれない欄に入っている値は、答えを何も変えません。参考表はこれを具体的にします。式の列が、その行がどの式を使ったかを示しているからです。もう1つ知っておくとよいことがあります。答えはドロップダウンが何に設定されていても平方センチメートルです。このページだけでなく、まわりのページすべてに当てはまる決まりです。
半径と高さから決まる丸い立体
| 式 | 半径（cm） | 高さ（cm） | 表面積（cm²） |
|---|---|---|---|
| 4πr² | 3 | — | 113.1 |
| 4πr² | 5 | — | 314.16 |
| πr(r + l) | 3 | 4 | 75.4 |
| πr(r + l) | 5 | 12 | 282.74 |
| 2πr(r + h) | 3 | 4 | 131.95 |
| 2πr(r + h) | 5 | 12 | 534.07 |
| 4πr² | 1 | — | 12.57 |
| 2πr(r + h) | 1 | 2 | 18.85 |
球・円錐・円柱を合わせて8行です。1列目がこの表の要点です。図形が解けてしまうと、その行がどの立体だったかを示すものが何も残らないので、式が図形名のかわりを務めます。さらに図形名にはできないこともします。その行のほかの2つの数のうち、どちらが実際に使われたかを教えるのです。球の2行は高さの列がダッシュになっています。球に高さはなく、その欄はまったく読まれないからです。最初の2行は半径3と5の球で、両者の比は確かめる価値があります。5を3で割った値の2乗はおよそ2.78、113.1に2.78を掛けると314.16で、これが2行目です。面積は半径の2乗に比例し、半径そのものには比例しません。3行目は母線がちょうど5になる3-4-5の円錐、5行目は円柱のページ自身の既定値である半径3・高さ4で、表面積131.95はあちらのページが合計として印字するのと同じ数です。7行目は半径1の球で12.57平方センチメートル、これは4πにあたり、この表で唯一なじみのある定数であって測定値ではない数です。8行目は半径1・高さ2の円柱で18.85、これは6πです。ここにある数はすべて、ページのビルド時に半径と高さからセンチメートルで計算し直したもので、ダッシュはそのまま印字されます。
長さ・幅・高さから決まる直方体
| 長さ（cm） | 幅（cm） | 高さ（cm） | 表面積（cm²） |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 4 | 112 |
| 1 | 2 | 3 | 22 |
| 2 | 2 | 2 | 24 |
| 10 | 10 | 10 | 600 |
| 0.5 | 0.5 | 0.5 | 1.5 |
| 3 | 4 | 0 | 24 |
直方体が6つで、1行目は直方体を選んだときにこのページが開く値です。2行目は最小の整数の箱、1 × 2 × 3で22平方センチメートル。暗算で追える短さなので、式を確かめる行に向いています。2 × (2 + 3 + 6) = 22です。3行目は1辺2センチメートルの立方体で24、6行目は高さ0の3 × 4の平らな板で、これも24です。この2つがこの表でいちばん役に立つ組み合わせです。見た目がまったく違う2つの立体が同じ数を共有しているからです。立方体は4の面が6つ、板は12の面が2つと、つぶれてなくなった4つです。表面積だけでは形は決まりません。それをいちばん安く示しているのがこの2行です。4行目は1辺10センチメートルの立方体で600平方センチメートル。切りがよく、面積が急に大きくなることを示しています。5行目は1辺0.5センチメートルで、ここから小数が効いてきます。直方体の式にπは入らないので、数はどれも正確で、6つともページのビルド時に計算されます。
公式
Sphere: S = 4πr² Cone: S = πr(r + l), l = √(r² + h²) Cylinder: S = 2πr(r + h) Rectangular prism: S = 2(lw + lh + wh)
- 図形
- どの立体を覆うのか。4つの式のどれを走らせるかが決まり、その結果として下の長さの欄のどれが読まれるかも決まります。球は半径だけを使い、直方体は長さ・幅・高さを使って半径をまったく無視します
- r
- 半径（センチメートル）。球なら中心から面までの距離、円錐や円柱なら円の面の中心から縁までの距離です。4つの図形のうち3つが読み、直方体は無視します
- h
- 高さ（センチメートル）。直方体では底面から向かいの面までの垂直な距離、円錐では底面から頂点まで、円柱では2つの円の面の間の距離です。高さを持たない球は無視します
- l
- 2つの意味を持つ文字で、このページで唯一読み分けが要る場所です。円錐の式では母線、つまり頂点から縁まで側面に沿って下りたまっすぐな距離で、半径と高さから三平方の定理で求めます。直方体の式では箱の長さです。参考表の式の列がどの行がどちらかを示します
- lw、wなどの文字
- 直方体の3つの寸法（センチメートル）。長さ・幅・高さです。直方体には6つの面が3組あり、1組が3つの積のそれぞれにあたるので、式は6つの項を足すのではなくその和を2倍します
- π
- 円周と直径の比で、およそ3.14159。4つの式のうち3つに現れ、直方体の式には現れません。箱の表面積がしばしば正確な数になり、球のそれはほとんど正確にならない理由がここにあります
- 平方センチメートル
- 答えの単位で、ドロップダウンが何であってもこれです。表面積は2次元の量なので、単位は入力の単位の2乗になります。半径をセンチメートルで入れたら面積は平方センチメートルで、このページに3乗の段はどこにもありません
- 小数第2位
- 答えを書く桁幅。4桁ではなく2桁なのは、これが平面上の座標ではなく物の寸法だからです。物差しで測った半径は、すでに小数第3位より大きく不確かです
ほとんどの場合、問いは材料の話で、図形がどの式を使うかを教えてくれます。ボール、地球儀、風船は球で、問いはたいていそれを覆う布や塗料の量です。パーティー帽子、じょうご、砂の円錐形の山は円錐で、忘れられがちな測定値が母線です。母線は円錐の高さではなく、側面に沿って下りた距離で、半径3・高さ4の円錐なら母線はちょうど5になります。三平方の定理が最小の整数の組で現れる形です。缶、パイプ、柱は円柱で、ここの式は覚えるというより導けるものです。1つあたりπr²の底面が2つと、幅2πr・高さhの長方形に広がる側面です。箱、木箱、部屋は直方体で、6つの面が3組というのが要点です。4つすべてに共通する注意が1つあります。表面積と体積は比例しません。すべての長さを2倍にすると、面積は4倍、体積は8倍になります。大きな動物のほうが小さな動物より熱を失いやすいのはそのためで、小さな箱が中身の割に段ボールを食うのも同じ理由です
計算例
半径3・高さ4の円柱
- 2つの底面：2 × π × 3 × 3 = 56.548667…
- 側面を広げた長方形：2 × π × 3 × 4 = 75.398223…
- 合計：56.548667… + 75.398223… = 131.946891…、四捨五入して131.95
- 長さと幅の欄は円柱には読まれず、そこの5と4は何も変えない
このページを開いたときの図形で、円柱のページと突き合わせる行でもあります。あちらは同じ半径と高さに対して、合計の表面積として131.95を返します。2つのページ、2つのツール、1つの数。同じ式を走らせているので、一致していることを確かめるのが要点です。電卓のいらない確認もあります。2つの底面はそれぞれ約28、側面は幅およそ18.8・高さ4の長方形に広がるので、合計は130を少し超えるはずです。
半径3・高さ4の円錐
- 母線：√(3² + 4²) = √25 = 5
- 底面：π × 3 × 3 = 28.274333…
- 側面：π × 3 × 5 = 47.123889…
- 合計：28.274333… + 47.123889… = 75.398223…、四捨五入して75.4
3-4-5の三角形がいつもどおりの仕事をしています。半径3・高さ4なら母線はちょうど5になり、計算は最後まで気持ちよく進みます。この75.4は、円柱のページが半径3・高さ4に対して側面積として返す数と同じです。これは2つの立体の偶然であって、式を共有しているからではありません。円錐の側面と円柱の側面は別の形で、たまたまここで同じ数になっただけです。
半径3の球
- 円4つ分：4 × π × 3 × 3 = 36π = 113.097335…
- 四捨五入して113.1
- 読まれるのは半径だけで、高さ・長さ・幅の欄は球に無視される
球の表面積は、いちばん大きい断面の面積のちょうど4倍です。これが球について覚えておく価値のある事実で、半径3の円は28.27、その4つ分が113.1になります。高さの欄には前の図形の4が入ったままですが、ページは気にしません。introで説明したとおりの振る舞いで、説明してあるのはそのためです。
5 × 4 × 4の直方体
- 上と下：2 × 5 × 4 = 40
- 前と後ろ：2 × 5 × 4 = 40
- 左右の側面：2 × 4 × 4 = 32
- 合計：40 + 40 + 32 = 112平方センチメートルで、こちらは正確な値
4つの図形のうち、答えが日常的に正確になるのはこれだけで、半径を無視するのもこれだけです。ここでは長さと高さがたまたま等しいので、3組の面のうち2組が同じ大きさになり、40、40、32という足し算が追いやすくなっています。半径の欄に入っている3は何の役にも立ちません。
2 × 2 × 2の立方体と、3 × 4 × 0の直方体
- 上と下：2 × 3 × 4 = 24
- 前と後ろ：2 × 3 × 0 = 0
- 左右の側面：2 × 4 × 0 = 0
- 合計：24平方センチメートル
並べて見るべき2つです。1辺2センチメートルの立方体と、3 × 4の平らな板が、どちらも24平方センチメートルになります。立方体は2 × 2 × 2で2 × (4 + 4 + 4) = 24、もう1つは高さが0なので6つの面のうち4つがつぶれてなくなり、残るのは上と下だけです。同じ数、まったく違う立体。表面積だけでは形が決まらないという注意が、いちばん安く手に入ります。
適用限界
答えはいつも平方センチメートルで、ドロップダウンが何に設定されていても変わりません。インチを選ぶと、入ってくる数値の解釈が変わるだけで、答えの書き方は変わりません。4つの長さの欄はどの図形でも画面に残り、選んだ図形が読まない欄は消されるのではなく無視されるので、球のときに残った半径が箱の答えを変えることはありません。前の図形に合わせた値が入ったままでも、ページは止めませんし、使わなかったとも言いません。どの数がその行に入ったのかをページ上で示すのは参考表の式の列だけで、それがそこにある理由です。小数第2位は精度についての主張ではなく表示幅です。円錐の表面積は垂直な高さではなく母線を使い、母線はページが半径と高さから計算するので、斜辺に沿って測った円錐をそのまま入力することはできません。このサイトの別の場所にある円柱と円錐のページは同じ入力のいくつかについて数値を返し、同じ式を走らせているのでこのページと一致します。食い違えばそれは意見の違いではなく不具合です。ここにある4つ以外の図形、両端の開いた容器、穴の開いた立体は扱いません。
よくある質問
- それぞれの図形が実際に読む欄はどれか
- 球は半径だけを読み、ほかは読みません。円錐と円柱は半径と高さを読みます。直方体は長さ・幅・高さを読み、半径を無視します。どの欄も画面に残り、入っている値もそのままなので、前に見ていた図形の数が残っていても何も起きません。ある行にどの数が入ったかは、参考表の式の列を見るのがいちばん速い方法です。
- 母線とは何か、どう測るのか
- 円錐の頂点から縁まで、側面に沿って下りたまっすぐな距離です。円錐が平らでないかぎり、垂直な高さより長くなります。自分で測る必要はありません。半径と高さと母線が直角三角形を作るので、ページが三平方の定理で計算します。半径3・高さ4の円錐なら母線はちょうど5です。
- インチで入力したのに答えが平方センチメートルなのはなぜか
- 答えは平方センチメートルという固定の出力で、結果パネルとその下の参考表が常に一致するようにそう決めてあるからです。ドロップダウンが変えるのは入ってくる測定値の読み方で、答えの書き方ではありません。平方インチで読みたいときは、結果を6.4516で割ってください。面積は長さの2乗で効くので、換算係数を2乗することになります。
- 1辺2センチメートルの立方体と3 × 4の板の表面積が同じなのはなぜか
- どちらも24平方センチメートルになるからで、それ以上の話ではありません。立方体は4の面が6つ、平らな板は12の面が2つと、高さが0なのでつぶれてなくなった4つです。表面積が1つ決まっても形は決まりません。2つ目の立体は退化した場合ですが、ページはエラーではなく喜んで計算します。
- 円柱と円錐のページはこのページと同じ答えを出すのか
- 重なる入力については一致します。偶然ではなく、3つのページが同じ式を走らせているからです。半径3・高さ4の円柱の合計表面積はここでも131.95で、円柱のページも合計表面積として同じ131.95を印字します。どちらも同じ2つの底面に、同じ広げた側面を足しているからです。
- 塗料や包装材の必要量を求められるか
- 閉じた立体なら求められ、それがこのページのいちばん多い使い道です。注意点が2つあります。答えは外側の全体なので、開いた容器では1つの面を引く必要があります。また重なりやロスや厚みは一切考えていないので、実務の見積もりはそのまま使うのではなく切り上げてください。面積は平方センチメートルなので、平方メートルにするには10,000で割ります。
参考文献
- Surface area — 立体の境界面の面積。このページが実装している球・円錐・円柱・直方体の式が載っている — Wolfram MathWorld (United States)
- Cone — 側面を広げると扇形になる立体。母線は半径と高さが作る直角三角形の斜辺にあたる — Wolfram MathWorld (United States)
- Sphere — 中心から一定の距離にある面。面積は大円のちょうど4倍で、このページの球の式が述べているのはその関係 — Wolfram MathWorld (United States)
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——同通知の添付資料リストの第5項が『義務教育数学課程標準（2022年版）』にあたり、直方体、円柱、円錐の表面積と展開図は義務教育段階の数学課程の内容である。原文と学段の区分は同添付資料による — 中华人民共和国教育部