円錐の体積計算

体積 = π × 半径² × 高さ ÷ 3、斜高 = √(半径² + 高さ²)、側面積 = π × 半径 × 斜高、表面積 = π × 半径 × (斜高 + 半径)

半径

円形の底面の半径で、単位はcmです。必須で、0も許されます。半径0の円錐は、1点の上に立つ線分になります。

高さ

底面の中心から頂点までまっすぐ上に測った垂直の高さで、単位はcmです。必須で、斜高ではありません。高さが0のつぶれた円錐を除けば、この2つはどの円錐でも違う数になります。

斜高

頂点から側面を下って縁までの距離で、母線ともいいます。半径・高さ・側面が作る直角三角形の斜辺なので、どちらよりも必ず長くなります。4つの出力のうち、日常的に正確な値が出るのはこれだけです。半径と高さが整数でも斜高が整数になることがあるからです。

体積

立方センチメートルで表した体積で、底面積に高さを掛けたものの3分の1です。この3分の1が、このページと円柱のページとの違いそのものです。あちらでは同じ式に割る数がありません。

側面積

曲面だけの面積で、π × 半径 × 斜高です。底面は含みません。高さではなく斜高を使うことに注意してください。この形でいちばん多い取り違えがこれです。

表面積

曲面に円形の底面を足したもので、π × 半径 × (斜高 + 半径) に整理できます。2つの面積を足すのではなく、半径と斜高から1段で計算するので、画面に出ている側面積にπr²を足した値とは一致しないことがあります。

小数第2位

すべての出力の表示桁数です。体積と2つの面積はほとんどの入力で無理数になります。斜高は半径と高さがピタゴラスの三つ組になるときに正確な値になり、既定値が末尾に0を並べているのはそのためです。

わかりやすい用途は、目の前に円錐があってその数を知りたいというものです。砂や穀物の円錐状の山は、底面の幅と高さは測れても斜高が中の材料に埋もれています。円錐屋根や尖塔では、覆うべきなのは傾いた面のほうで、屋根の見積もりは斜高で決まります。じょうご、ホッパー、紙コップ、パーティー用の帽子——体積はどれだけ入るかを、側面積はどれだけ材料が要るかを教えてくれます。同じページにある、答えの違う2つの問いです。このページが答える3つ目の問いは比較です。容器や収納では、円錐と円柱のどちらを選ぶかが実際の判断になります。そして比較はいつも同じ3倍です。同じ底面・同じ高さの円柱はちょうど3倍入るので、ある設置面積の円錐ホッパーは、同じ設置面積の円柱ホッパーの3分の1しか入りません。持ち歩く価値のある習慣が2つあります。斜高は側面の三角形のうちでいちばん長い辺なので、斜高が高さより短く出たら、2つの箱が逆に入っています。外側をなぞって測るのは斜高のほうで、それが小さくなることはありません。そして側面積はいつも表面積より小さくなります。表面積は側面積に底面を足したものだからです。合計が側面積より小さいなら、足すはずのものを引いています。

1. 半径3・高さ4

   1. 斜高：√(3² + 4²) = √25 = 5
   2. 体積：π × 3² × 4 ÷ 3 = π × 36 ÷ 3 = 12π = 37.6991…、小数第2位に丸めると37.7
   3. 側面積：π × 3 × 5 = 15π = 47.1239…、丸めると47.12
   4. 表面積：π × 3 × (5 + 3) = 24π = 75.3982…、丸めると75.4

   このページが読み込まれるときの入力で、この組で唯一どの段も暗算で確かめられます。3と4は斜辺がちょうど5になるので、斜高は整数、2つの面積はπの整数倍になります。体積の計算に注目してください。底面積は9π、その3分の1に4を掛けて12πです。答えが100台ではなく40弱になるのはこのためです。この大きさの円錐はおよそ38ミリリットル入り、結果が3倍ずれているときに気づく目安になります。

2. 半径5・高さ12

   1. 斜高：√(25 + 144) = √169 = 13
   2. 体積：π × 25 × 12 ÷ 3 = 100π = 314.1592…、丸めると314.16
   3. 側面積：π × 5 × 13 = 65π = 204.2035…、丸めると204.2
   4. 表面積：π × 5 × (13 + 5) = 90π = 282.7433…、丸めると282.74

   もう1つのよく知られた整数の三つ組で、既定値より背が高くて細い円錐です。体積がちょうど100π、つまり314.16cm³になります。リットルに直すと0.314リットル、3分の1リットル弱です。ここで一度立ち止まってください。1cm³は1mL、1リットルは1,000cm³なので、1リットルには1,000という数が要ります。画面に出る314.16は3分の1リットルであって1リットルではありません。100πは1cmの立方体100個分をπ倍したもので、だから答えは300台前半に見えるのです。

3. 半径6・高さ8、2つの答えが一致する場合

   1. 斜高：√(36 + 64) = √100 = 10
   2. 体積：π × 36 × 8 ÷ 3 = 96π = 301.5928…、丸めると301.59
   3. 側面積：π × 6 × 10 = 60π = 188.4955…、丸めると188.5
   4. 表面積：π × 6 × (10 + 6) = 96π = 301.5928…、丸めると301.59

   下の表で誤りとして報告される行です。体積と表面積がどちらも301.59になります。計算の結果であって、列の重複ではありません。体積は96π、表面積もπ × 6 × 16で96πになり、同じ数に着地します。斜高が半径 × (高さ − 3) ÷ 3に等しいときにだけ起きる偶然で、この行では6 × 5 ÷ 3 = 10がそれにあたります。規則ではないので、隣の行は共有していません。そしてこの2つは同じ種類の量ではありません。片方は立方センチメートル、もう片方は平方センチメートルで、一致しているのは数字だけです。

4. 半径と高さが等しい場合

   1. 斜高：√(100 + 100) = √200 = 14.1421…、丸めると14.14
   2. 体積：π × 100 × 10 ÷ 3 = 1,000π ÷ 3 = 1047.1975…、丸めると1047.2
   3. 側面積：π × 10 × 14.14214 = 444.2883…、丸めると444.29
   4. 表面積：π × 10 × (14.14214 + 10) = 758.4479…、丸めると758.45

   底面の半径と同じ高さの円錐で、側面の三角形が二等辺になり、斜高は半径の√2倍ちょうどになります。その√2は無理数なので、これが普通の場合です。斜高は終わらず、2つの面積もそれに従います。体積の式がいちばん読みやすい形になるのもこの場合で、1,000πを3で割るだけです。3分の1を忘れた読者は3141.59に着地しますが、それはちょうど3倍です。3倍のずれは、このページでいちばん多い誤りです。

5. 高さが0の場合

   1. 斜高：√(16 + 0) = 4。頂点がまったく持ち上がっていないので、半径そのものです
   2. 体積：π × 16 × 0 ÷ 3 = 0。高さがなく、何も入りません
   3. 側面積：π × 4 × 4 = 16π = 50.2655…、丸めると50.27
   4. 表面積：π × 4 × (4 + 4) = 32π = 100.5310…、丸めると100.53

   合法な入力なのに意外な行が出ます。体積は0で、残り3つは0ではありません。高さ0の円錐は平らな円板です。底面の上には何もないので何も入りませんが、曲面が消えたわけではなく、底面と同じ大きさの2枚目の円板に潰れたので、2つの面の合計は円板1枚の2倍になります。一度見ておく価値があるのは、体積が0で他の3つが0でない画面が、計算が途中で失敗したように見えるからです。この行は、上で説明した近道も暴きます。ここでは表面積がπr² + πr²、つまり側面積のちょうど2倍なので、2つを足しても同じ答えになりますが、それはこの行だからで、1行目では違いが出ます。

出力は、入力のドロップダウンが何であっても、いつもセンチメートル・平方センチメートル・立方センチメートルです。インチを選んでも変わるのは入ってくる2つの数の読み方だけで、結果には影響しません。4インチ×6インチと入れた円錐は体積が立方センチメートルで返ってきます。これは意図したもので参考表も同じ約束に従っていますが、入力した単位で答えが欲しいなら自分で換算することになります。体積は立方センチメートルで報告され、リットルやミリリットルではありません。リットルが要るなら1,000で割ってください。ミリリットルが要るなら、立方センチメートルの数がそのままミリリットルの数です。4つの答えのうち3つはπを含むので、ほとんどの入力で無理数です。小数第2位は答えを切り取った場所であって、数の終わりではありません。4つの答えは半径と高さから直接計算され、互いからは計算しません。だから表面積は、画面に出ている側面積に画面に出ている底面積を足した値とは一致しないことがあり、同じ式を1段で評価した値のほうが正しいのです。高さは垂直の高さであって斜高ではなく、ページはその2つが取り違えられたことを検知できません。斜高を高さの箱に入れると、4つの答えがどれも内部的には整合したまま、どれも間違った値になります。このページは斜高を入れる箱を持たないので、斜高は測れるが高さが材料に埋もれている円錐は、そのままでは入れられません。逆向きに、体積から半径を求めることもできません。意味のある答えには少なくとも片方が0でない必要がありますが、形ではなく計算が欲しいだけなら両方0でも構いません。そしてこれは底面の中心の真上に頂点がある直円錐です。片側に傾いた円錐や、底面が楕円のものは別の立体で、ここの式は当てはまりません。

体積を3で割るのはなぜか

円錐は、同じ底面・同じ高さの円柱が入る量のちょうど3分の1しか入らないからです。底面積に高さを掛けるとその円柱の体積になり、円錐はその3分の1です。角錐と、それがちょうど収まる角柱にも同じ関係があります。この計算でいちばん忘れられるのがこの係数で、結果が3倍大きいときは、計算違いではなく3で割り忘れていることがほとんどです。

高さと斜高は同じものか

違います。そしてこの形がいちばん多く招く間違いがこれです。高さは底面の中心から頂点までまっすぐ上に測ります。斜高は頂点から縁まで面に沿って測るので、半径・高さ・側面が作る三角形の斜辺になり、必ずほかの2つより長くなります。体積が使うのは高さ、側面積が使うのは斜高です。取り違えると、円錐の高さに応じた分だけずれた答えが出ますが、ページはそれに気づけません。

斜高はどうやって求めるか

半径の2乗と高さの2乗を足したものの平方根です。円錐の側面にできる三角形にピタゴラスの定理を当てはめたものです。半径3・高さ4なら斜高はちょうど5になり、このページがその値で読み込まれるのはそのためです。どの段も暗算で確かめられます。ほとんどの組み合わせはそこまできれいにはならず、斜高は小数第2位に丸めた無理数になります。

表面積は側面積＋底面積ではだめか

厳密な計算ではそれで正しく、このページも別々に丸めた2つを足すのではなくまとめた形のπr(l + r)を使っています。違いは印字された桁に出ます。側面積は画面に出る前にすでに小数第2位へ丸められているので、それを自分で底面積に足すと、ページの答えと100分の1ずれることがあります。正しいのは半径と斜高から1段で計算したページの値のほうです。

インチで入れたのに答えがセンチメートルなのはなぜか

このページはドロップダウンに関係なく、すべてをセンチメートル・平方センチメートル・立方センチメートルで報告し、結果とその下の参考表がいつも一致するようにしているからです。ドロップダウンが変えるのは入ってくる数の読み方です。換算するなら、長さを2.54で、面積を6.4516で、体積を16.3871で割ります。あるいは最後まで換算せずに答えの単位だけを変えるほうが、たいてい手間が少なくて済みます。

半径や高さに0を入れてよいか

入れられ、どちらも空白ではなく実際の答えが返ります。高さを0にすると円錐は円板に潰れます。底面の上に何もないので体積は0ですが、曲面は2枚目の円板になっただけなので、側面積は底面積と等しくなり、表面積はその2倍です。半径を0にすると円錐は垂直な線分になり、体積と2つの面積は0、斜高は高さと等しくなります。両方0にするとすべて0です。

• Cone — 円形の底面と頂点でできた立体。体積が底面積 × 高さの3分の1、側面積がπrlで、このページはその両方を計算している。項目は3分の1という結果をエウドクソスに帰し、のちのアルキメデス『球と円錐について』とエウクレイデス『原論』第12巻命題10の証明にも触れている — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean theorem — 半径と垂直の高さから斜高を出す関係。この2つは円錐の側面にできる直角三角形の脚にあたる — Wolfram MathWorld (United States)
• Pi — 体積と2つの面積に入っている定数で、このページの4つの答えのうち3つがほとんどの入力で無理数になる理由 — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——同通知の添付資料リストの第5項が『義務教育数学課程標準（2022年版）』にあたり、円錐の体積と側面積、母線は義務教育段階の数学課程の内容である。原文と学段の区分は同添付資料による — 中华人民共和国教育部