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角錐の体積計算

範囲：0 cm²〜1,000,000,000,000,000,000 cm²

範囲：0 cm〜1,000,000,000 cm

計算結果

48.00 cm³

体積

角錐の体積計算は、底の面積と角錐の高さから、その角錐が囲む体積を返します。底面積 × 高さ ÷ 3です。このサイトでいちばん短い式で、いちばん意外な定数が入っています。同じ底と高さの角柱には、同じ角錐がちょうど3つ入ります。底が何角形であっても、正方形でも三角形でも六角形でも変わりません。÷ 3はここから来ていて、角錐の体積が、同じ底面積と高さの箱の三分の一になる理由でもあります。この関係は覚えておく価値があります。難しい問いが易しい問いになるからです。角柱の体積が出せれば、角錐の体積はもう分かっています。このページが底を辺の長さではなく面積で尋ねるのは、意図した設計です。角錐の底はどんな多角形でもよく、正方形、三角形、六角形のランプシェード、五角形のテントの底、何でも構いません。三角錐でも四角錐でも、式が底を使うのは面積を通してだけなので、2辺を尋ねると長方形の底に話を狭めるだけで、計算は1歩も短くなりません。その代わり、このページは斜高を出せません。斜高は頂点から面の中央を通って辺の中央まで下りた距離で、底の面積だけでなく底の形に依存します。細長い底と詰まった底は、同じ面積でも斜高がまったく違います。そもそも底の面積を測るのは別の手順で、長方形・正方形・三角形・円の面積計算がこのサイトにそろっています。このページはその結果を受け取って、三次元の部分だけを引き受けます。2つの例が数の感触を決めます。底が36平方センチメートル、高さ4の角錐は48立方センチメートルで、同じ底と高さの角柱はその3倍の144を持ちます。そして史上最大の角錐、ギザの大ピラミッドは底が約52,900平方メートル（1辺230メートル）、高さが約146.6メートルで、およそ260万立方メートルの石になります。÷ 3が雑学でなくなるのはこの規模で、岩の山と山の差になります。下の表は底1平方センチメートルからそのピラミッドまでをたどり、最後の行がこのページのいちばん小さな正規の答えです。底がなく高さもない角錐に体積はなく、それはエラーではなく結果です。

底1平方センチメートルからギザの大ピラミッドまでの角錐

底面積（cm²）高さ（cm）体積（cm³）
36448
110.33
1009300
48348
10012400
25001210000
529000000146602585046666666.67
000

7つの角錐と、からの角錐1つです。1行目はページが読み込まれる大きさ。3行目はすべての数が正確なので、算術を試す行になります。底面積100平方センチメートル・高さ9の体積は300で、同じ底と高さの箱は900入ります。角柱はこの表のどの行でも、いつも角錐のちょうど3倍です。2行目は ÷ 3が手の内を見せる行です。底1・高さ1は0.33、つまり三分の一で、このページが小数第4位ではなく第2位まで出す理由です。5行目と6行目は同じ角錐を2つの縮尺で見たもので、最後の行がギザの大ピラミッドです。底の529000000平方センチメートルは52,900平方メートル（1辺230メートル）、高さの14660センチメートルは146.6メートルにあたります。この行が立方センチメートルなのはこのページの単位だからで、100万で割ると258.5万立方メートルの石になります。いちばん最後の行はすべて0で、底がないか高さがない角錐、つまりエラーではなく答えです。どのセルもページの構築時にその行から計算し直しており、単位は平方センチメートルと立方センチメートルです。表の中の数は計算結果をそのまま出しているので、4桁の数にも3桁ごとの区切りは入っていません。

公式

V = A × h ÷ 3

A
底の面積で、単位は平方センチメートルです。底の2辺の長さではなく面積なのは、底がどんな多角形でもよいからです。式は底を「どれだけ地面を覆うか」としてしか使わないので、1辺が36平方センチメートルの正方形の底と、同じ36平方センチメートルの六角形の底は、同じ高さなら同じ体積になります。面積を出すのは別の手順で、長方形・三角形・円・正多角形の面積計算がこのサイトにそろっています
h
高さで、単位はセンチメートルです。底から頂点までの垂直の距離で、斜めの辺に沿った長さではありません。角錐でいちばん間違えやすい測定で、表面に沿ってテープを当てても測れません。角の辺の長さはいつも高さより長く、それは高さと底の半分を他の2辺とする三角形の斜辺にあたるからです
V
体積で、単位は立方センチメートルです。同じ底と高さの角柱が持つ量の三分の一で、それがこの式の中身そのものです。角錐を3つ並べると、底がどんな形でも角柱をちょうど埋めます。表示は小数第2位までで、小数第4位までではないのは、この一族で整数を割り切れない小数に変える唯一の演算がこの ÷ 3だからです。底1・高さ1なら0.3333となり、読むべき情報は「三分の一である」ことだけです
÷ 3
角錐を角錐たらしめている定数です。合同な角錐3つが同じ底と高さの角柱に組み上がるという事実から来ていて、角錐はその角柱のちょうど三分の一になります。近似ではなく、正方形の底に限った話でもありません。円錐の体積のページと同じ割り算で、円錐は底がたまたま円である角錐だからです

角錐があって、それがどれだけ入るか、あるいはどれだけ材料が入っているかを知りたいときに使うページです。ただし底を面積として数値にできることが条件で、この条件が「このページでよいか」を決めます。底が正方形や長方形で2辺が分かっているなら、暗算で足りる長さですし、このサイトの面積計算が1手で底を出します。底が六角形や五角形だったり、別の方法で測った不規則な輪郭だったりするなら、その面積を入れる場所がこのページです。この式は、角錐の形をしたものすべてに対する最短の妥当性チェックにもなります。底が何であれ、同じ底面積と高さの箱の三分の一がその形の体積です。数字を信じる前にこれを当てはめる価値があります。100平方メートルの底を9メートルの高さで覆う角錐形の屋根は300立方メートルの空間を囲み、同じ屋根を平らな箱に押し上げると900になります。角錐屋根が今の形をしている理由は、この2つの数の差です。小さな用途も2つあります。固まりから角錐を切り出すのは、無駄についての体積の問いです。塊から削り出した角錐は、塊の三分の二を後ろに残します。これは材料から形を削ることと、鋳て形を作ることのいちばん素朴な違いです。そして角錐を満たすこと（ホッパー、穀物ビン、円錐形の砂利の山、砂時計）は、底を床面積としてこのページを使うことです。答えは容量になり、丸いものであれば円錐のページが出す答えと同じになります。角錐が直線的でなかったり、頂点が底の中央の真上になかったりしても、このページは使えます。体積の式は垂直の高さと底面積しか使わないので、同じ底と同じ高さの傾いた角錐は、まっすぐ立ったものとまったく同じ体積になります。これは本当に意外な事実で、しかも役に立ちます。

計算例

  1. 底面積36平方センチメートル、高さ4の角錐

    1. 底 × 高さ：36 × 4 = 144
    2. 3で割る：144 ÷ 3 = 48

    ページが読み込まれる入力で、式が何の上に成り立っているかが見える行です。同じ底と高さの角柱なら144立方センチメートル入り、角錐はそのちょうど三分の一を持ちます。どちらの数も覚えておく価値があります。片方から片方へはかけ算1回か割り算1回で移れますし、角柱の値のほうが物体の大きさに対して検算しやすいからです。

  2. 底面積1、高さ1の角錐

    1. 底 × 高さ：1 × 1 = 1
    2. 3で割る：1 ÷ 3 = 0.33333…、四捨五入して0.33

    単位角錐で、このページが直方体のページの小数第4位ではなく小数第2位までしか出さない理由です。1 ÷ 3は小数第4位まで書くと0.3333になり、何かの測定値が1,000分の333だったように見えます。0.33は、それが何かの三分の一であると読めます。表示幅を狭くしている理屈はこれで全部です。3で割るのはこの一族で確実に循環小数を生む唯一の演算で、桁を増やしても情報は増えません。

  3. 底面積100、高さ9の角錐

    1. 底 × 高さ：100 × 9 = 900
    2. 3で割る：900 ÷ 3 = 300

    ページ全体を検算するための行です。3つの数がすべて正確で、角柱のほうも明らかだからです。底面積100平方センチメートル・高さ9の箱は900立方センチメートル入り、角錐はそのうち300を持ちます。角錐形の屋根が100平方メートルを9メートルの高さで覆うなら300立方メートルの空間を囲むことになり、建物がどれだけの空気を暖めなければならないかを決めるのはこの種の数字です。

  4. ギザの大ピラミッド

    1. 底面積（平方センチメートル）：230 m × 230 m = 52,900 m²、つまり529000000 cm²
    2. 高さ（センチメートル）：146.6 m = 14660 cm
    3. 底 × 高さ：529000000 × 14660 = 7755139999999.999…、つまり7.75514 × 10¹²
    4. 3で割る：7755140000000 ÷ 3 = 2585046666666.666…、四捨五入して2585046666666.67

    エジプトのピラミッドの中で最大のもので、元の底は1辺およそ230メートル、元の高さはおよそ146.6メートルでした。答えが立方センチメートルなのはこのページの単位だからで、そのまま読む数字ではありません。100万で割ると約258.5万立方メートル、石でおよそ260万立方メートルになります。3で割ることが効いてくる行でもあります。このピラミッドを収める箱は776万立方メートル入り、角錐のちょうど3倍です。同じ底面積と同じ高さで体積が3倍になるということです。

適用限界

底は平らで、側面は底の辺から単一の頂点へまっすぐ上がっていなければなりません。段状の輪郭を持つ角錐（初期のエジプトのピラミッドやジッグラト）は箱と板の積み重ねであって1つの角錐ではなく、この式では大きく外れます。台形錐（角錐の上を切り落としたもの。屋根やホッパーの多くはこれです）もこの形ではありません。そちらの体積には上の面積と下の面積の両方が要り、このページの底の欄は1つだけです。高さは底の面から頂点までの垂直の距離でなければならず、斜めの辺や面に沿った長さではありません。斜めの辺を測ってしまうのが、大きすぎる値を出すいちばんよくある原因で、高い角錐では少しどころではなく大きく出ます。底の面積はページが計算するものではなく入力なので、2辺で測った底は先に面積へ直す必要があり、不規則な底はそれに合った方法で測る必要があります。このページは斜高も表面積も辺の長さも出せません。どれも底の面積だけからは導けないからです。細長い底と詰まった底は、同じ面積でも斜高が違い、表面積も辺の長さも違います。出力は底と高さのドロップダウンが何であっても立方センチメートルなので、平方メートルで入れた底は自分で換算する必要があります。1立方メートルは100万立方センチメートル、逆に1立方センチメートルは100万分の1立方メートルです。小数第2位は精度の主張ではなく表示の幅で、測った角錐には正直ですが、大きな角錐にはかなり粗くなります。そこでは小数点の前の下2桁だけが意味を持ちます。このページは頂点が底の上のどこかにあることだけを前提にしていて、どこにあるかは問いません。まっすぐな角錐と傾いた角錐が同じ底と同じ高さなら体積は同じで、それは正しいことであり、制限ではなく知っておく価値のある事実です。重さ、材料費、固まりから削り出したときに出る無駄についても何も言いません。どれも体積から計算できますが、このページには印字されていません。

よくある質問

なぜ角錐の体積は、それを囲む角柱の三分の一なのですか
同じ底と高さの角錐3つが、すき間なく重なりもなく角柱にちょうど収まるからです。底が何角形であっても変わりません。近似ではなく、正方形の底に限った話でもありません。三角形の底の角錐も六角形の底の角錐も、それを囲む角柱のちょうど三分の一です。同じ三分の一は円錐の体積のページにも出てきます。円錐は底が円である角錐だからです。
底は辺の長さを入れるのですか、面積を入れるのですか
面積を入れます。式は底を「どれだけ地面を覆うか」としてしか使わないので、長方形の底の2辺を尋ねるのは不要に狭い聞き方になります。面積を入れる形にすると、それ以外では記述できない底も扱えます。六角形の底、三角形の底、別の方法で測った不規則な輪郭などです。底が長方形や正方形なら、このサイトの長方形と正方形の面積計算が1手で面積を出します。
高さはどこを測ればよいのですか
垂直の高さです。底の面から頂点まで、底に対して直角に測った直線距離です。斜めの辺の長さでも、面の中央を上がった距離でもありません。斜めの辺はいつも高さより長く、高さと底の対角線の半分を他の2辺とする三角形の斜辺にあたります。ですから斜めの辺を測ると答えは大きくなりすぎ、高い角錐では大幅に大きくなります。
ギザの大ピラミッドにはどれだけの石が入っていますか
元の底は1辺およそ230メートル、つまり52,900平方メートルで、元の高さはおよそ146.6メートルでした。底面積 × 高さ ÷ 3でおよそ260万立方メートルになります。役に立つのは、それを収める箱との比較です。箱はその3倍の776万立方メートル入り、この差が割り算の狙いそのものです。同じ底面積と同じ高さで、体積は三分の一になります。
斜高や表面積も出せますか
出せません。理由は入力にあります。斜高は頂点から辺の中央まで下りた距離で、底の面積だけでなく底の形に依存します。100平方センチメートルの細長い底と、同じ面積の詰まった底では、斜高も表面積もまったく違います。どちらかを計算するには底の輪郭が要り、2辺ではなく面積を入れる形にしたのは、まさにそれを避けるためです。
傾いた角錐はまっすぐな角錐より少なく入りますか
いいえ、底面積と垂直の高さが同じならまったく同じだけ入ります。体積の式はその2つの数しか使わず、頂点が底の上どこにあるかは問いません。ですから山が片側に傾いた角錐も、中央にまっすぐ立った角錐とまったく同じだけ入ります。これは丸めの誤差ではなく本当の結果で、コインの山がきれいにそろっていてもいなくても同じ体積になるのと同じ理由です。

参考文献

関連する計算ツール

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