長方形計算
計算結果
面積
- 周長
- 14.0000 cm
- 対角線
- 5.0000 cm
長方形計算ツールは、長方形の長さと幅から面積・周長・対角線の3つを求めます。学校で習った内容ばかりで驚きはありませんが、それこそがこのページの役割です。この3つは同じ2つの入力から出てきて、どれも入力の変わり方に対して違う反応をします。面積は長さ×幅で、その長方形が覆う面の広さを答えます。面積の求め方としてはこれがいちばん基本です。周長は（長さ＋幅）×2で、縁の長さを答えます。額縁や縁石を買うときに知りたいのはこちらです。対角線は√(長さ²＋幅²)で、一つの角から向かいの角までの距離を答えます。ドアや部屋を通るかどうかを確かめるときの問いです。最初の2つは学校で習う公式ですが、3つ目は三平方の定理そのものです。対角線は長方形を2つの直角三角形に分け、長さと幅が2つの脚、対角線が斜辺になります。だから答えが平方の和の平方根になるのです。直角三角形の2辺を知っていれば、このページのやり方はもう分かっています。そうでなければ、隣の三平方の定理のページで単独に説明しています。
よく使う長方形、4 × 3からつぶれた形まで
| 長さ（cm） | 幅（cm） | 面積（cm²） | 周長（cm） | 対角線（cm） |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 3 | 12 | 14 | 5 |
| 5 | 5 | 25 | 20 | 7.0711 |
| 6 | 4 | 24 | 20 | 7.2111 |
| 12 | 5 | 60 | 34 | 13 |
| 10 | 10 | 100 | 40 | 14.1421 |
| 100 | 50 | 5000 | 300 | 111.8034 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 | 14 | 7 |
長方形が8つ、1行目がこのページの初期値です。注意して読む列は周長で、値が繰り返します。1行目と最終行がどちらも14、2行目と3行目がどちらも20です。それは表の計算ミスではなく、周長が形を決めないという事実そのものです。5 × 5と6 × 4は縁の量が同じで面積も対角線も違います。このページが1つではなく2つの数を訊く理由がそこにあります。4行目は5-12-13の長方形で、ここで3つの出力がすべて整数になる唯一の行です。4 × 3と並べて2つ目の確認に使ってください。5行目は10 × 10の正方形で、対角線は14.1421です。終わらない平方根で、その大きさの正方形の正しい答えです。6行目は意図的に大きくしてあり、面積が他から離れていくのを見せています。100 × 50では面積が5,000なのに対し、周長は300、対角線は111.8しかありません。面積は大きさの2乗で、残り2つは大きさそのもので増えるからです。7行目は0 × 0で、これは大きさのない長方形、つまり面積も周長も対角線も0になる点です。8行目は幅0までつぶした長方形で、面積は0、周長はそれでも14です。ここにある数はどれも、ページを組み立てるときに長さと幅からセンチメートルで再計算したもので、4桁の小数は結果パネルが使うのと同じ4桁です。
公式
A = l × w P = 2(l + w) d = √(l² + w²)
- 長さ
- 2辺のうち長いほうの辺。センチメートルで入力します。長いほうを入れたかどうかは判定しません。2つの箱を入れ替えても3つの答えはまったく同じです。ここにある式はどれも長さと幅を同じように扱うからです
- 幅
- 長さに対して直角のもう1辺。センチメートルで入力します。長さと幅の2つで長方形は完全に決まります。長方形に必要な独立した数は2つで、正方形は1つ、三角形は3つです
- 面積
- 長方形が覆う面の広さ。平方センチメートルで、長さ×幅です。3つの出力のうち、大きさの2乗で増えるのはこれだけです。両辺を2倍にすると面積は4倍になります
- 周長
- 縁を一周する長さ。センチメートルで、（長さ＋幅）×2です。辺の2組それぞれに1回ずつ数えます。縁に沿って何かを使うときの数で、形について最も多くを語らない数でもあります。同じ周長をもつ長方形はいくつもあるからです
- 対角線
- 一つの角から向かいの角までの直線距離。センチメートルで、長さと幅が作る直角三角形の斜辺です。長方形の中に引ける直線のうち、常に最も長いものです
- l² + w²
- 2乗の和。平方根を取る前に足します。長方形が使う形の三平方の定理そのもので、対角線が長さより少し長く、しかし長さ＋幅よりは短いという性質はここから出ます
- 小数第4位
- すべての出力を書く桁幅。面積と周長は2つの入力が正確なら正確ですが、対角線はほとんどそうなりません。平方根なので桁が続き、4桁は表示幅であって精度の主張ではありません
3つの出力は、同じ物体についての3つの別々の実務的な問いに答えます。どれが欲しいのかを見極めることが、この作業の大半です。床材、塗料、芝、布は面積で買うので、長方形が面ならその列を読みます。幅木、縁石、枠、フェンス、見切りは長さで買うので、そちらは周長です。そして周長だけでは形が決まらないことも知っておいてください。4 × 3の部屋と7 × 0の帯は同じ長さの幅木を必要とし、それは正しいと同時に役に立ちません。対角線が要るのは、長方形を何かに通したり収めたりするときです。ドアの開口、直角を確かめる額縁、辺ではなく対角で表記される画面、箱に平らに入る最も長いもの。長方形が本当に直角かどうかを確かめる最短の方法でもあります。長方形のはずのものの対角線を2本測って一致すれば、四つの角は直角です。部屋で大工が、額縁で額装屋が使う手です。
計算例
4 × 3の長方形
- 面積：4 × 3 = 12
- 周長：2 × (4 + 3) = 14
- 対角線：√(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5
これがこのページの初期値で、3つの答えがどれも小さな整数になる唯一の長方形です。3-4-5の三角形を斜辺で半分に折った形なので、数がきれいに出ます。この長方形の対角線は、いちばん古くから知られている整数の直角三角形のひとつです。このページの1行だけ手で確かめるなら、この行にしてください。どの段も電卓なしでできる算術です。
正方形、5 × 5
- 面積：5 × 5 = 25
- 周長：2 × (5 + 5) = 20
- 対角線：√(5² + 5²) = √50 = 7.0710678…、四捨五入して7.0711
辺がたまたま等しい長方形、つまり正方形ですが、別のページは要りません。両方の箱に同じ数を入れれば3つの式が正しい答えを返します。対角線は5√2で、終わらない平方根です。隣の正方形計算が辺5に対して同じ7.0711を印字するのはそのためで、2つのページが1つの数を出すのは偶然ではなく意図です。
6 × 4の長方形
- 面積：6 × 4 = 24
- 周長：2 × (6 + 4) = 20
- 対角線：√(36 + 16) = √52 = 7.2111025…、四捨五入して7.2111
すぐ上の行と並べて見る行です。この長方形は5 × 5より細長く、覆う面積はわずかに小さく——24に対して25——、周長はまったく同じ20ですが、対角線は7.0711に対して7.2111です。縁の量が同じでも形が違う、そしてそれに気づくのが対角線の出力です。周長だけでは長方形の説明として弱い理由が、ここに全部あります。
5-12-13の長方形
- 面積：12 × 5 = 60
- 周長：2 × (12 + 5) = 34
- 対角線：√(144 + 25) = √169 = 13
このページに出てくるもうひとつの整数直角三角形で、3-4-5より大きいほうです。5-12-13の長方形は3-4-5と並べて覚えておく価値があります。拡大縮小のミスがあらわれる大きさだからです。12 × 5メートルは現実的な部屋の寸法で、対角線がちょうど13メートルというのは、式ではなくメジャーで確かめられる数です。
幅のない長方形
- 面積：7 × 0 = 0
- 周長：2 × (7 + 0) = 14
- 対角線：√(49 + 0) = 7
幅0は許されていて、返ってくる3つの出力はどれも正しく、どれも別のことを意味します。長方形は線分に押しつぶされています。面を覆わないので面積は0、対角線といえるものはないので対角線は長さそのものの7に潰れ、周長はそれでも2 × 7 = 14です。線分に沿って行って戻る距離の2倍です。面積のない図形に周長があるのは間違いに見えますが、間違いではありません。
適用限界
このページは長方形専用です。4辺、4つの直角、向かい合う辺が等しい、という図形です。長方形でない平行四辺形は同じ「2つ入れて3つ出す」形をしていますが対角線が違い、そちらは隣の平行四辺形のページで扱います。出力はドロップダウンが何であれセンチメートルと平方センチメートルなので、インチで入れた長さはセンチメートルの答えで返り、換算は自分ですることになります。小数第4位は表示幅であって精度の主張ではありません。面積と周長は入力が正確なら正確ですが、対角線は平方根なので、入力がもともと正確でない限り下2桁に意味はありません。2つの入力のどちらが長いかは判定しませんし、する必要もありません。ここにある式は長さと幅について対称なので、入れ替えても同じ3つの答えが出て、警告も出ません。幅0は受け付け、退化してはいますが実在する答えを返します。空欄扱いにはしません。角が丸い長方形、曲面に描いた長方形、板や梁の厚みは扱いません。それはこのページに欄のない3つ目の次元です。
よくある質問
- 長さの箱に入れる辺は決まっているか
- 決まっていません。このページの式はどれも長さと幅を同じように扱います。面積は掛け、周長は足し、対角線は2乗して足すので、2つの箱を入れ替えても同じ3つの答えが出ます。どちらが長いかは判定しませんし、する必要もありません。長いほうを先に入れると分かりやすいというのは習慣であって、決まりではありません。
- 対角線が長さより長く、長さ＋幅より短いのはなぜか
- 対角線が切り取る直角三角形の斜辺だからです。つまり長さの2乗＋幅の2乗の平方根です。2乗して足してから根を取ると、必ず2つの間の値になります。根を取る前に正の数を足しているのでどちらの辺より大きく、和の2乗は2乗の和より大きいので2辺の和よりは小さいままです。対角線と「長さ＋幅」の差は、回り道をせずに横切ることで節約できる分です。
- 違う長方形なのに周長が同じになるのは不具合か
- いいえ、それを見せるために表が並べてあります。4 × 3と7 × 0はどちらも周長14、5 × 5と6 × 4はどちらも周長20です。周長は縁の量を決めますが形は決めません。同じ周長を共有する長方形はいくつもあり、面積も対角線もそれぞれ違います。長方形を完全に記述するには2つの数が要り、このページが2つ訊くのはそのためです。
- 角が直角かどうかの確認に使えるか
- 使えます。いちばん古い手です。確かめたいものの対角線を2本とも測ってください。等しければ四つの角は直角で、それは長方形です。等しくなければ平行四辺形か、角が1つ曲がった形で、長いほうの対角線が鈍角の側にあります。広い部屋では、90度の角度を測るより2本の対角線を比べるほうが簡単なので、建築の現場はこの方法を使います。
- 幅0で周長が14になるのはなぜか
- 平らな長方形も、退化してはいますが図形だからです。幅を0に押しつぶすと長さ7の線分になり、面を覆わないので面積は0、対角線は長さに重なります。周長の式は気にしません。（長さ＋幅）×2は7の2倍で、線分に沿って行って戻る距離です。今は重なっている2本の長辺それぞれに1回ずつ数えています。答えは実在し、このページは0を空欄ではなく入力として扱います。
- 正方形計算との違いは何か
- 正方形は辺が等しい長方形なので、このページの計算はすべて正方形にも効きます。両方の箱に同じ数を入れれば3つの答えは正しく出ます。違いは問いの向きです。このページは2つの数を受け取って答えを出しますが、正方形のページは辺・周長・面積のどれか1つから残りを割り出します。正方形の自由度は1で、長方形は2だからです。両辺が分かっているときはこのページ、1つ分かっていて残りが欲しいときは正方形のページを使ってください。
参考文献
- Rectangle — 直角をもつ四辺形。このページが計算する面積・周長・対角線と、対角線が三平方の定理から出るという注記 — Wolfram MathWorld (United States)
- Pythagorean theorem — 対角線の出力が寄りかかっている関係。斜辺の上の正方形は他の2辺の上の正方形の和に等しく、長方形では長さの2乗＋幅の2乗になる — Wolfram MathWorld (United States)
- Quadrilateral — 長方形が属する族。すべての正方形は長方形で、すべての長方形は平行四辺形だという包含の木があり、正方形と平行四辺形のページがここからリンクされている理由でもある — Wolfram MathWorld (United States)
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。長方形と正方形の周長と面積は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部